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Балкански 1999, Теория — Задача 2. Problème II

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Concours Général de Physique Minko Balkanski 1999 · 9 т.

Бележка от източника

La clarté et la précision de la rédaction, qui doit être obligatoirement en français, seront prises en compte dans la note finale.

La durée de la composition est de 4 heures.

Условие

Les parties de ce problème sont indépendants et peuvent être traitées dans l’ordre choisit par le candidat.

Récipient suspendu à un fil de longueur L, déplacé horizontalement de Δx ; origine 0 et axe x.

1. on considère un pendule simple de longueur $L$ et de masse $M$ . [4,5 т.]

Pendule de longueur L portant la masse M; projectile m de vitesse v dirigé vers M.

Des points matériels de masse $m$ et de vitesse $v$ rencontrent successivement le pendule à chaque fois qu’il passe par sa position d’équilibre après avoir effectué une période complète. Le pendule est immobile au début. Les chocs sont parfaitement mous.

1.a. Donner la période des petites oscillations du pendule. Varie-t-elle avec la masse du pendule? [0,5 т.]

1.b. Donner la hauteur à laquelle le pendule s’élève après $n$ rencontres avec les points matériels. [1,5 т.]

1.c. Donner une condition nécessaire pour que le pendule puisse faire un tour complet. Cette condition étant satisfaite donner le nombre $n$ de rencontres pour que cela puisse produire(on notera $E(x)$ la partie entière de $x$ ). [2,5 т.]

2. Dans un récipient plein d’un fluide on perse un petit trou de section $s$ . Le fluide a une masse volumique $\rho$ et la masse du récipient avec le fluide (considérée invariable) est $M$ . On note avec $h$ la distance entre le trou et le niveau du fluide. [4,5 т.]

Récipient de fluide avec trou latéral de section s, hauteur h et force F appliquée vers la droite.

2.a. Donner la vitesse d’écoulement du fluide à la sortie du trou. [0,5 т.]

2.b. Quelle force $F$ doit-on appliquer pour maintenir le récipient immobile. [2 т.]

On accroche maintenant le récipient avec un fil de longueur $L$ .

2.c. Calculer $\Delta x$ . [1,5 т.]

2.d. Expliquer brièvement ce qui se passe si le niveau du fluide varie lentement. (Une justification mathématique n’est pas demandée, mais le raisonnement doit être clair). [0,5 т.]

2.e. Question bonus(facultative)(+2.5 points): Donner l’expression de $\Delta x$ en fonction du temps et la durée pour laquelle $h$ devient nulle. On supposera la section $S$ du récipient connue. [2,5 т.]

Решение

1.a. La période des petites oscillations est $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ . Elle ne dépend évidemment pas de la masse du pendule.

1.b. Soit $V_n$ la vitesse du pendule juste après le n-ième choc. Alors, d’après la conservation de la quantité du mouvement on a:

-au rang un $mv=(m+M)V_1$ ;

-au rang deux $mv+(m+M)V_1=(2m+M)V_2$ d’où $V_2=\frac{2m}{2m+M}v$ , par récurrence on obtient $V_n=\frac{nm}{M+nm}v$ . Alors, comme après le choc le pendule oscille librement il y a conservation de l’énergie donc $(M+nm)gh_n=\frac{(M+nm)V_n^2}{2}$ , d’où $h_n=\frac{(nmv)^2}{2g(M+nm)^2}$ .

1.c. Pour que le pendule puisse faire le tour complet il faut qu’il existe un entier $n$ tel que $h_n\geq2L$ , c’est à dire $\frac{(nmv)^2}{2g(M+nm)^2}=2L$ . On remarque que $V_n\rightarrow v$ en croissant. Donc si $v<2\sqrt{gL}$ , le pendule ne ferra jamais le tour complet. En revanche si $v\geq2\sqrt{gL}$ on trouve $n=E\left[\frac{2M\sqrt{gL}}{m(v-2\sqrt{gL})}\right]+1$ .

2.a. On applique la formule de Torricelli. On trouve $v=\sqrt{2gh}$ .

2.b. On a que $F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{\Delta m}{\Delta t}v$ . Pendant un intervalle $\Delta t$ il y a une quantité $\Delta m=sv\Delta t\rho$ qui sort. Donc $\vec F=sv^2\rho\vec e_x=2s\rho gh\vec e_x$ .

2.c. Les forces s’exerçant sur le récipient sont : le poids $\vec P=m\vec g$ , la force de tension du fil $\vec T$ et l’opposé de la force calculé précédemment $\vec F=-sv^2\rho\vec e_x$ . Comme le pendule est à l’équilibre on a $\vec F+\vec T+m\vec g=0$ . En projetant cette équation selon la direction orthogonale à $\vec T$ on trouve $mg\sin(\theta)=2s\rho gh\cos(\theta)$ , où $\theta$ est l’angle entre la verticale et le fil du pendule. Sachant que $\frac{\Delta x}{L}=\sin(\theta)$ , on obtient $\Delta x=\frac{L}{\sqrt{1+\frac{m^2}{(2s\rho h)^2}}}$ .

2.d. Quand $h$ diminue $\Delta x$ diminue aussi, comme on le voit sur la formule précédente.

2.e. On suppose que le niveau diminue lentement. Alors on a $-S\frac{dh}{dt}=sv=s\sqrt{2gh}$ . D’où en intégrant $h=\left(\sqrt{h_0}-\frac{st}{2S}\sqrt{2g}\right)^2$ . D’où $t=\frac{s}{S}\sqrt{\frac{h_0}{2g}}$ . On a aussi :

\Delta x=\frac{L}{\sqrt{1+\frac{m^2}{\left(2s\rho\left(\sqrt{h_0}-\frac{st}{2S}\sqrt{2g}\right)^2\right)^2}}}.

Теми и трудност

Оценена трудност: 4/5.

Механика · Флуиди · Махала · Непрекъснатост и закон на Бернули

Предпоставки: Гимназиална подготовка

Оригинал в Архива: CGP_1999.pdf · официални решения: CGP_1999_cr.pdf