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Балкански 2000, Теория — Задача 2

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INSTITUT DES HAUTES ÉTUDES · POUR LE DÉVELOPPEMENT DE LA CULTURE, DE LA SCIENCE ET DE LA TECHNOLOGIE EN BULGARIE · Concours Général de Physique Minko Balkanski · 7 mai 2000 · 7 май 2000 г. · 15 т.

Бележка от източника

La clarté et la précision de la rédaction, qui doit être obligatoirement en français, seront prises en compte dans la note finale.

Les deux problèmes sont indépandants entre eux et peuvent être abordés dans n’importe quel ordre.
La durée de la composition est de 4 heures.

Условие

On considère un wagon de longueur $L$ divisé en deux compartiments par un piston de masse $m$ , mobile sans frottements et isolant thermique parfait (fig.2.1). Chaque compartiment est rempli d’un mole du même gaz parfait. Dans le compartiment de droite se trouve un radiateur de masse négligeable. Les parois du wagon sont aussi des isolants thermiques parfaits. La masse du wagon (sans le piston) est notée $M$ . On négligera dans toute la suite la masse du gaz.

Wagon sur rails divisé par un piston; compartiments p₁,V₁ et p₂,V₂, radiateur à droite, longueur L, section S, repère ROxy. — Figure 2.1

Le wagon peut se déplacer sur des rails horizontaux sans frottements.
Dans tout l’exercice on considérera un repère $ROxy$ attaché au wagon, comme indiqué sur la figure. On rappelle la formule :

x_G=\frac{mx_{G1}+Mx_{G2}}{m+M},

qui donne l’abscisse $x_G$ du centre de gravité d’un système composé des deux masses $m$ et $M$ en fonction des abscisses $x_{G1}$ et $x_{G2}$ de leurs centres de gravité.

2.1.Initialement les gaz dans les deux compartiments se trouvent à la même température $T_0$ .

Wagon avec paroi gauche conductrice thermique au contact de l’air à température T₀; axe x et piston intérieur.

2.1.a. Rappeler l’équation d’état pour $n$ moles de gaz parfait. L’écrire pour chaque compartiment. On notera $p_1,p_2$ les pressions et $V_1,V_2$ les volumes correspondants. [0,5 т.]

2.1.b. Exprimer la force agissant sur le piston en fonction de $p_1,p_2$ et $S$ -la section du piston ( $S$ est également la section du chaque compartiment). Quelle est alors la condition sur $p_1$ et $p_2$ pour avoir l’équilibre mécanique du piston? Montrer alors qu’à l’équilibre $V_1=V_2=V_0$ . Quelle est alors la position du piston? [1 т.]

2.2.On branche le radiateur jusqu’à ce que la température du deuxième compartiment augmente de $T_0$ à $T$ de façon quasistatique. On notera $V_1\prime,V_2\prime,p_1\prime,p_2\prime$ les nouvelles valeurs des volumes et des pressions.

2.2.a. Le gaz dans le premier compartiment subit une transformation adiabatique, on rappelle que dans ce cas la pression et le volume sont reliés par:

pV^{\gamma}=const,

où $\gamma$ est une constante caractéristique pour le gaz étudié. Donner une relation entre $p_1\prime,V_1\prime$ et $p_1,V_0$ . [0,5 т.]

2.2.b. Donner la relation entre $p_2\prime,V_2\prime,p_2,V_0,T$ et $T_0$ . [0,5 т.]

2.2.c. Soit $\Delta x$ le déplacement du piston (fig.2.2). Donner $V_1\prime$ et $V_2\prime$ en fonction de $\Delta x,S,V_0$ . Pour la suite on considérera que $S|\Delta x|\ll V_0$ (soit $|\Delta|x\ll L/2$ ). Exprimer alors $p_1\prime$ en fonction de $p_1$ et le rapport $\frac{S\Delta x}{V_0}$ . On rappelle la formule aprochée :

(1+\epsilon)^{\alpha}\approx1+\alpha\epsilon,

valable $\forall\alpha\in\mathbb R$ et pour $\epsilon\ll1$ . [1,5 т.]

Wagon divisé par un piston déplacé de Δx depuis L/2; volumes V′₁ et V′₂, section S, axes x et y.

2.2.d. Donner également l’expression approchée de $p_2\prime$ en fonction de $p_2$ et $\frac{S\Delta x}{V_0}$ . Avec la condition d’équilibre du piston montrer que $\Delta x$ s’exprime:

\Delta x=\frac L2\frac{T_0-T}{T_0\gamma+T}.

[2,5 т.]

2.2.e. Le signe de $\Delta x$ semble-t-il conforme à votre intuition? [1,5 т.]

2.2.f. On donne $T=30^{\circ}C$ , $T_0=20^{\circ}C$ , $L=5m$ et $\gamma=1{,}4$ . Calculer $\Delta x$ . L’hypothèse $\Delta x\ll L/2$ est-elle vérifiée? Proposer des ordres de grandeur pour le rapport $\frac{T}{T_0}$ pour que cette condition ne soit plus valable. Ces ordres de grandeur sont-ils réalistes pour les radiateurs dans la vie quotidienne? [1,5 т.]

2.2.g. On note par $G$ le centre de gravité du système [piston+wagon]. Quel est le déplacement algébrique $\Delta x_{G|R}$ de $G$ dans le repère $ROxy$ ? Donner alors le déplacement algébrique $\Delta x_{G|sol}$ du wagon par rapport au sol en vous justifiant le plus complètement possible. On donne $M=1ton$ et $m=200kg$ . Donner la valeur numérique de $\Delta x_{G|sol}$ . [2,5 т.]

2.3. On change maintenant radicalement les conditions physiques du problème: l’air est considéré comme restant à température constante $T_0$ et la paroi gauche du premier compartiment comme un conducteur parfait de chaleur (fig.2.3). Expliquer comment varie la température de ce compartiment lors du chauffage. Montrer qu’on peut se ramener au cas précédent en attribuant une valeur spéciale à la constante $\gamma$ . Toujours dans l’hypothèse $\Delta x$ petit, donner la nouvelle valeur pour le déplacement $\Delta x_{G|sol}^{\prime}$ du wagon par rapport au sol. [3 т.]

Отговори

Решение

Problème 2
2.1.a. Pour un gaz parfait quelconque $pV=nRT$ , ici $p_1V_1=RT_0$ et $p_2V_2=RT_0$ .
2.1.b. La force s’exprime algébriquement $F=S(p_1-p_2)$ . La condition d’équilibre est $F=0$ soit $p_1=p_2=p_0$ . $p_1=p_2$ implique $V_1=V_2$ donc le piston est au milieu.
2.2.a. Evidemment $p_1^{\prime}V_1^{\prime\gamma}=p_0V_0^{\gamma}$ .
2.2.b. Comme on a $p_0V_0=RT_0$ et $p_2^{\prime}V_2^{\prime}=RT$ on en déduit immédiatement $p_2^{\prime}V_2^{\prime}=\frac{T}{T_0}p_0V_0$ .
2.2.c On a $V_1^{\prime}=V_0+S\Delta x$ et $V_2^{\prime}=V_0-S\Delta x$ . Pour $p_1^{\prime}$ on obtient: $p_1^{\prime}=p_0\left(\frac{V_0}{V_1^{\prime}}\right)^{\gamma}=p_0\left(\frac{V_0}{V_0+S\Delta x}\right)^{\gamma}=p_0\left(1+\frac{S\Delta x}{V_0}\right)^{-\gamma}$ , soit avec la formule approchée: $p_1^{\prime}=p_0\left(1-\gamma\frac{S\Delta x}{V_0}\right)$ .
2.2.d. On a $p_2^{\prime}=\frac{T}{T_0}p_0\left(\frac{V_0}{V_0-S\Delta x}\right)=p_0\frac{T}{T_0}\left(1-\frac{S\Delta x}{V_0}\right)^{-1}=p_0\frac{T}{T_0}\left(1+\frac{S\Delta x}{V_0}\right)$ . Maintenant la condition d’équilibre donne $p_1^{\prime}=p_2^{\prime}$ d’où: $1-\gamma\frac{S\Delta x}{V_0}=\frac{T}{T_0}\left(1+\frac{S\Delta x}{V_0}\right)$ d’où (avec $V_0=SL/2$ ): $\Delta x=\frac L2\frac{1-T/T_0}{\gamma+T/T_0}$ .
2.2.e. On a $\Delta x<0$ car $\frac{T}{T_0}>1$ . En effet on a $V_2^{\prime}\approx V_0$ , donc on peut considérer que $p_2^{\prime}$ est proportionelle à $T$ au cours de la transformation. Comme $T$ augmente $p_2^{\prime}$ augmente aussi et pousse le piston dans le sens négatif de l’axe $Ox$ .
2.2.f. Numériquement $\Delta x=-3{,}5cm$ . Or $0{,}035$ est assez petit devant $2{,}5$ donc la condition $\Delta x\ll L/2$ est assez bien vérifiée. Pour que cette condition soit violée, il faut que $\frac{T}{T_0}\approx2$ ce qui n’est pas possible pour les radiateurs de tous les jours.
2.2.g. Avec la formule de l’énoncé on obtient, comme le centre de gravité $x_{G2}$ du wagon seul reste immobile: $\Delta x_{G|R}=\frac{m\Delta x_{2G}+M\Delta x_{1G}}{m+M}=\frac{m}{m+M}\Delta x=\frac{m}{m+M}\frac L2\frac{1-T/T_0}{\gamma+T/T_0}$ . Or, la force agissant sur le piston est interne pour le système considéré, comme il n’y a pas des forces de frottements entre les roues et les rails la résultante des forces extérieures agissant sur le wagon est égale à $0$ . Donc $G$ ne peut pas bouger par rapport au sol, comme $G$ recule dans $R$ le wagon doit avancer par rapport au sol, d’où $\Delta x_{G|sol}=-\Delta x_{G|R}$ . Numériquement on obtient $\Delta x_{G|sol}=5{,}8cm\approx6cm$ .
2.3. Comme l’une des parois communiquant avec l’air est un conducteur parfait, la température du premier compartiment reste égale à $T_0$ . On peut donc écrire $p_1^{\prime}V_1^{\prime}=const$ ce qui revient à poser $\gamma=1$ dans tous les calculs qu’on vient d’effectuer. On aura alors: $\Delta x_{G|sol}=\frac{m}{m+M}\frac L2\frac{T/T_0-1}{T/T_0+1}$ .

Бележка от източника

FIN

Теми и трудност

Оценена трудност: 4/5.

Топлинни явления · Механика · Идеални газове · Първи принцип на термодинамиката · Център на масите

Предпоставки: Гимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

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