Балкански 2001, Теория — Задача 2. L’interaction lumière matière

• a) $\vec p_1+\hbar\vec k=\vec p_2$
• b) $\omega=2\pi f,\quad k=\frac{2\pi}{\lambda}$
• c) $\frac{\Delta N}{\Delta t}=\frac{W}{\hbar\omega}$
• d) $F=-\frac{qW}{c}$
• e) La force ne change pas en moyenne; des fluctuations sont possibles.
• a) $\vec F_{el}=-e\vec E,\quad \vec F_k=-2K\Delta z\vec e_z$
• b) $m\frac{d^2\Delta z}{dt^2}+2K\Delta z=-eE_0\cos(\omega t)$
• c) $Z_0=-\frac{eE_0/m}{\Omega^2-\omega^2},\quad\Omega^2=\frac{2K}{m}$
• d) $\omega\to0: Z_0\to-\frac{eE_0/m}{\Omega^2};\quad\omega\to\infty: Z_0\to0;\quad\omega=\Omega: \text{divergence}$
• e) Pour assurer la meilleur absorption de la lumière, près de la résonance.
• f) $Z_0=\frac{eE_0/m}{\sqrt{(\Omega^2-\omega^2)^2+\omega^2\beta^2}}$

Problème 2.

Partie 1.
a) (0.5) Pour un choc parfaitement inélastique la seule quantité conservée est la quantité du mouvement. On peut donc écrire que lors d’un choc entre l’atome de quantité de mouvement $\vec p_1$ et le photon de quantité de mouvement $\hbar\vec k$ on a la relation $\vec p_1+\hbar\vec k=\vec p_2$. En projetant sur l’axe x, on trouve $p_1-\hbar k=p_2$.
b) (0.5) La fréquence et la pulsation du laser sont liées par la formule $\omega=2\pi f$. On trouve donc $k=\frac{2\pi}{\lambda}$.
c) (1.0) La puissance du laser est $W=\frac{\Delta E}{\Delta t}=\frac{\hbar\omega\Delta N}{\Delta t}$. D’ou $\frac{\Delta N}{\Delta t}=\frac{W}{\hbar\omega}$.
d) (3.0) Lors d’un choc l’atome reçoit une quantité de mouvement $\Delta p=-\hbar k$. Vu que le laser envoie $\frac{\Delta N}{\Delta t}$ photons par unité de temps et qu’une fraction $q$ interagissent avec l’atome, la quantité de mouvement par unité de temps reçu par l’atome est $\frac{\Delta p}{\Delta t}=-\hbar kq\frac{\Delta N}{\Delta t}=-\frac{Wkq}{\omega}=-\frac{qW}{c}$ la force est donc de direction $-x$ est $F=-\frac{qW}{c}$.
e) (+1) En réalité le bilan de quantité de mouvement est le suivant $\vec p_1+\hbar\vec k=\vec p_2+\hbar\vec\xi$ ou $\vec\xi$ est un vecteur d’onde aléatoire mais de module égal à $k$. Comme la probabilité d’envoyer un atome dans une direction donnée est la même pour toutes les directions on a que $\langle\vec\xi\rangle=0$, d’ou on obtient en moyenne l’équation $\vec p_1+\hbar\vec k=\langle\vec p_2\rangle$. On retrouve la même équation que dans a) et donc tout ce passe comme si l’atome absorbait les photons incidents. La force ne change pas (en moyenne) mais on voit que des petites fluctuations sont possibles.

Partie 2
a) (0.5) Sur notre système il y a deux forces qui s’exercent. Une d’origine interaction champ électrique – électron $\vec F_{el}=-e\vec E$ et l’autre c’est l’interaction élastique qui est $\vec F_k=-2K\Delta z\vec e_z$.
b) (1.0) L’équation du mouvement s’écrit $m\frac{d^2\Delta z}{dt^2}+2K\Delta z=-eE_0\cos(\omega t)$.
c) (1.0) En supposant que le système oscille à la pulsation $\omega$ et en notant alors $\Delta z=Z_0\cos(\omega t)$ on trouve $-m\omega^2Z_0+2KZ_0=-eE_0$, d’ou $Z_0=-\frac{eE_0/m}{\Omega^2-\omega^2}$ avec $\Omega^2=\frac{2K}{m}$.
d) (1.0) Quand $\omega\to0$, $Z_0\to-\frac{eE_0/m}{\Omega^2}$ et quand $\omega\to\infty$, $Z_0\to0$. On trouve une divergence pour $\omega=\Omega$.
e) (1.5) Comme la probabilité d’absorption d’un photon est grande si l’amplitude d’oscillation est grande, alors on choisit la fréquence du laser proche de $\Omega$ pour assurer la meilleure absorption de la lumière. On dit qu’on se place près de la résonance.
f) (+2) L’introduction d’un terme de frottement fluide complique un peu l’équation. On suppose que le frottement est relativement faible (pour qu’on puisse avoir une résonance). On essaie de résoudre l’équation de la même façon que dans c). Il suffit de remarquer que $\cos(\omega t)=\operatorname{Re}(e^{i\omega t})$, alors on prend d’abord une solution du type $\Delta z=Z_0^{im}e^{i\omega t}$ et on écrit aussi $E=E_0e^{i\omega t}$. Avec ceci on obtient l’équation $-\omega^2Z_0^{im}+i\omega\beta Z_0^{im}+\Omega^2Z_0^{im}=-\frac{e}{m}E_0$ d’où $Z_0^{im}=-\frac{eE_0/m}{\Omega^2-\omega^2+i\omega\beta}$. En prenant le module pour avoir l’amplitude des oscillations on trouve $Z_0=\frac{eE_0/m}{\sqrt{(\Omega^2-\omega^2)^2+\omega^2\beta^2}}$. On voit qu’avec ce terme on ne diverge pas. La partie du frottement fluide correspond à une dissipation d’énergie. C’est ce qu’on avait modélisé dans la partie 1. par une absorption et une réémission d’un photon. En fait la dissipation est justement la partie de réémission du photon.