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Условие 2.1. (1 т.)2.2.2.3.2.4.Отговори Решение

Балкански 2002, Теория — Задача 2. Problème II

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Concours Général de Physique Minko Balkanski · Mai 2002 · 19 т.

Внимание: Бележка към темата

Le corrigé comporte plusieurs expressions mathématiques incohérentes, conservées telles qu’imprimées.

Указания

La clarté et la précision de la rédaction, qui doit être obligatoirement en français, seront prises en compte dans la note finale.

Les deux problèmes sont indépendants entre eux et peuvent être abordés dans n’importe quel ordre.

La durée de la composition est de 4 heures.

Условие

On considère l’expérience décrite sur la figure 2.1.

Une source $S$ de rayonnement de fréquence $\nu$ illumine une plaque métallique reliée à la terre. A distance $L_1$ de la plaque se trouve une électrode sphérique $E_1$ de rayon $r$ reliée à un condensateur plan de capacité $C$ à travers un interrupteur $I$ . Une autre électrode $E_2$ , de rayon $r$ et maintenue à une tension constante $V_g$ est placée à une distance $L_2$ du $E_1$ .

On supposera $r\ll L_1,L_2$ .

L’ensemble se trouve dans un tube de verre et maintenu sous vide.

Montage photoélectrique: source S, plaque à la terre, électrodes E₂ et E₁, distances L₂ et L₁, potentiel Vg, interrupteur I, condensateur C et tension V. — Figure 2.1

2.1. (1 т.)

Quand la source illumine la plaque, les photons éjectent des électrons par effet photoélectrique. En supposant que chaque électron est éjecté par un photon unique, donner l’énergie cinétique et la vitesse de l’électron. On donne $A$ - le travail pour détacher un électron de la surface de la plaque, $\hbar$ - la constante de Planck et $e$ la charge de l’électron.

2.2.

Pour cette question l’interrupteur $I$ est ouvert.

a. La charge initiale de $E_1$ est zéro. Donner le potentiel du champ électrostatique créé par $E_2$ au point où se trouve $E_1$ .(Vous pouvez assimiler l’électrode à une sphère de rayon $r$ uniformément chargée, sous potentiel $V_g$ ). [2 т.]

b. La charge de $E_1$ est maintenant $Q$ . Que vaut le potentiel total au centre de $E_1$ ? [1 т.]

c. Un électron, éjecté par effet photoélectrique avec une vitesse $v$ , arrive en $E_1$ lorsque celle-ci porte une charge $Q$ . Avec quelle vitesse arrive cet électron? [1 т.]

d. Lorsqu’un électron arrive en $E_1$ , il est capté par l’électrode. Quelle est le nombre maximal d’électrons emmagasiné par $E_1$ si elle est initialement neutre? [2 т.]

2.3.

Pour la suite on ferme l’interrupteur $I$ . La charge totale de l’ensemble $E_1$ + condensateur est $Q$ . Elle se distribue en une partie $Q_1$ dans la balle et $Q_2$ dans le condensateur.

a. Quelle est la tension $V$ aux bornes du condensateur en fonction de $Q_2$ ? [0,5 т.]

b. En équilibre électrostatique le potentiel d’un conducteur électrique est le même dans tout les points du conducteur. Donner la relation qui s’ensuit entre $Q_1$ et $Q_2$ . [0,5 т.]

c. Exprimer $V$ en fonction de $Q$ . Montrer que si $E_1$ se charge avec les électrons obtenus par effet photoélectrique, la valeur maximale de $V$ est:

V_{max}=\frac{\hbar\nu-A}{e}\frac{1}{1+C/4\pi\varepsilon_0r}

[3 т.]

2.4.

On imagine une situation où la source du rayonnement ne peut marcher que par coups de durée finie et très courte, et sa puissance est calibrée de façon qu’après chaque coup un et un seul électron est éjecté vers $E_1$ . On a $V_g=0$ pour cette question.

a. A $t=0$ , on a $V=0$ et la source est déclenchée une seule fois. Dessiner l’allure qualitative de $V(t)$ . Soyez aussi précis que possible. [2 т.]

b. La source et le condensateur sont reliés à une circuit électronique qui déclenche la source chaque fois que la dérivée $dV/dt$ s’annule. Dessiner alors l’allure qualitative de $V(t)$ . Soyez aussi précis que possible. [3 т.]

c.* Lorsqu’il y a un seul électron capté par $E_1$ , il semblerait que sa charge est répartie entre l’électrode et le condensateur, alors que les manuels de physique nous instruisent que l’électron porte la charge électrique le plus petit possible. Comment expliquez-vous que, par exemple, le condensateur peut porter une charge électrique $e$ fractionnaire? [3 т.]

Отговори

Решение

Corrigé du Problème 2

2.1.

La fameuse relation d’Einstein donne: $\boxed{\hbar\nu=A+\frac{mv^2}{2}}$ .

2.2.

a. Le potentiel de l’électrode $E_2$ décroît comme 1/distance, d’où: $\boxed{\varphi=V_g\frac{r}{L_2}}$ .

b. Principe de superposition $\Rightarrow\boxed{\varphi=V_g\frac{r}{L_2}+\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}}$ .

c. Conservation d’énergie: $\frac12mv^2=\frac12mv_1^2+e\varphi=\frac12mv_1^2+eV_g\frac{r}{L_2}+\frac{eQ}{4\pi\varepsilon_0r}$ , d’où:

\boxed{v_1=\sqrt{v^2-\frac{2}{m}[eV_g\frac{r}{L_2}+\frac{eQ}{4\pi\varepsilon_0r}]}}.

d. La charge de l’électrode $E_1$ provient des électrons qui y sont captés, donc $Q=Ne$ avec $N$ : le nombre des électrons. Les électrons arrivent jusqu’à ce que leur vitesse s’annule, d’où, à partir du résultat précédent on obtient facilement:

\boxed{N_{max}=\frac{4\pi\varepsilon_0r}{e^2}(\frac12mv_1^2-eV_g\frac{r}{L_2})}.

2.3.

a. $\boxed{V=Q_2/C}$ .

b. On a: $\boxed{V_g\frac{r}{L_2}+\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0r}=\frac{Q_2}{C}}$ .

c. En utilisant $Q_1+Q_2=Q$ et le résultat de la question précédent on obtient:

\boxed{V=(V_g\frac{r}{L_2}+\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r})\frac{1}{1+C/4\pi\varepsilon_0r}}.

Pour la valeur maximal de $V$ l’expression dans les parenthèses est l’énergie cinétique initiale divisée par $e$ , d’où, en utilisant 2.1. on obtient le résultat.

2.4.a.

Lorsque l’électron arrive sur $E_1$ , le potentiel de l’électrode croît de $\Delta V=e\frac{1}{C+4\pi\varepsilon_0r}$ , puis reste constante. En autre, l’électron arrive dans un temps $\sim L_1/v$ (pas tout à fait parcours libre car il y a aussi des effet d’induction électrique). D’où les variations de $V$ :

Graphique V(t): montée arrondie depuis zéro jusqu’au palier e/(C+4πε₀r), atteint vers L₁/v.

b.

L’effet du circuit électronique et de faire passer les électrons l’un après l’autre: en effet, elle déclenche la source chaque fois que $V(t)$ commence un pallier. Mais chaque électron supplémentaire augmente la charge négative de la balle, et la répulsion électrostatique prolonge le temps de parcours de la distance $L_1$ pour l’électron suivant. D’où la graphique de $V(t)$ ”en escalier”, le dernier pas étant d’une durée infinie...

Graphique V(t) en escalier arrondi, instants t₁ à t₄ et hauteur de marche ΔV=e/(C+4πε₀r).

c.

Le métal contient un grand nombre des électrons libres. Même un seul électron provoque une modification locale de la densité électronique (induction électrostatique, au cause de la répulsion avec les autres électrons), et en théorie l’intégrale de la densité électronique sur une sub-domaine est plus petit que la charge d’un seul électron.

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Съвременна физика · Електричество · Фотони и фотоефект · Кондензатори и диелектрици

Предпоставки: Гимназиална подготовка

Оригинал в Архива: CGP_2002.pdf · официални решения: CGP_2002_cr.pdf