Съдържание

Условие 1.1 Questions Préliminaires 1.2 Première Partie : La Planète 1.3 Deuxième Partie : L’Animal Решение

Балкански 2003, Теория · френски — Задача 1. Premier Problème : Ordres de grandeur

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Concours Général de Physique “Minko Balkanski” — 3 mai 2003

Concours Général de Physique “Minko Balkanski” — 3 mai 2003

INSTITUT DES HAUTES ÉTUDES

pour le développement de la culture, de la science et de la technologie en Bulgarie

http://www.ccr.jussieu.fr/iheb/

La rédaction doit être obligatoirement en français.

Les quatres problèmes sont indépendants entre eux et peuvent être abordés dans n’importe quel ordre. La durée de la composition est de 4 heures.

La calculatrice n’est pas autorisée.

Условие

Le but de ce premier problème est d’établir, à l’aide d’arguments qualitatifs simples, comment le seul jeu des forces électromagnétiques et gravitationnelles détermine l’échelle d’une planète habitable et une taille caractéristique de la vie animale à sa surface. On obtiendra, comme conséquence une évaluation du nombre d’Avogadro en terme des constantes fondamentales de la physique.

Dans les considérations qui vont suivre nous nous servirons du Principe numéro Zéro de la physique formulé par J.A.Wheeler comme il suit :

Dans (presque) toute expression physique, les constantes sans dimensions sont de l’ordre de l’unité…

, à condition ”…que les grandeurs physiques soient correctement choisies”. Nous allons utiliser ce principe pour estimer l’ordre de grandeur de différentes grandeurs physiques, c’est-à-dire des résultats qui ne diffèrent que par une constante numérique (de l’ordre de l’unité) des véritables valeurs. Il est fort commode d’introduire une notation qui prenne en charge cette idée. Aussi noterons-nous l’égalité à une constante près (constante numérique sans dimension et de l’ordre de l’unité donc)par le signe $\approx$ , et les inégalités à une constante près par les signes $\prec$ et $\succ$ . A titre d’exemple, si nous considérons un objet de taille caractéristique $l$ , sans plus de précisions sur sa forme, nous pourrons écrire son volume $v\approx l^3$ . Nous allons donc considérer la matière constituée de protons et d’électrons en nombre égal. On peut aussi dire que nous considérons la matière comme faite d’une seule sorte d’atomes, les plus simples possibles. Cette hypothèse, quoiqu’un peu rustique, nous suffira pour les buts que nous nous sommes posés. Fixons alors nos notations concernant la taille, la masse et le nombre d’atomes, des trois objets de notre analyse la planète, l’animal et l’atome par le tableau suivant :

Objet	Nombre d’atomes	Masse	Taille
Atome	$1$	$\mu$	$a$
Animal	$n$	$m=n\mu$	$l\approx n^{1/3}a$
Plante	$N$	$M=N\mu$	$L\approx N^{1/3}a$

Les “tailles” sont à entendre comme donnant l’ordre de grandeur des dimensions géométriques des objets, dont nous supposons qu’elles ne diffèrent pas trop dans les différentes directions. Cela va de soi pour les atomes et la planète, un peu moins pour les animaux ; mais nous considérerons les mille-pattes et les girafes comme des cas particuliers... Certaines grandeurs utiles sont données dans le formulaire (voir page 6).

1.1 Questions Préliminaires

1.1.1 Donner, à partir des grandeurs caractéristiques des atomes, un ordre de grandeur de l’énergie gravitationnelle d’interaction entre deux atomes.

1.1.2 Faire la même chose pour l’énergie d’interaction électromagnétique.

1.1.3 Evaluer numériquement le rapport des deux énergies.

1.2 Première Partie : La Planète

Dans cette partie nous donnons une condition nécessaire à l’existence de la vie, telle que nous la connaissons sur terre, qui nous permettra d’estimer la taille d’une planète habitable.

Un être vivant, forme d’organisation autonome et temporaire de la matière, doit être susceptible d’échanger de la matière avec son environnement, à la fois solide (croissance,nourriture, reproduction) et gazeux (respiration, métabolisme).

Cette simple exigence exerce une contrainte sévère sur la taille d’une planète susceptible d’abriter la vie, au point d’en déterminer l’ordre de grandeur..

1.2.1 En s’appuyant sur l’écrantage des forces électromagnétiques, c’est-à-dire qu’un atome d’un assemblage d’atomes n’interagit qu’avec ses plus proches voisins, estimer l’ordre de grandeur de l’énergie électromagnétique d’une planète constituée de $N$ atomes. Pourquoi peut-on dire que les interactions électromagnétiques ont la propriété de ”saturation”. Pouvez-vous donner des exemples convaincants de manifestations de ce phénomène dans la vie courante.

1.2.2 Estimer un ordre de grandeur de l’énergie gravitationnelle de la-dite planète. On rappelle que pour estimer un ordre de grandeur les constantes numériques (de l’ordre de l’unité) ne doivent pas être prises en compte.

1.2.3 Quelle inégalité doivent satisfaire ces énergies pour permettre de mettre “en pièces” la matière ce qui est nécessaire de point de vue physiologique. Définir le “nombre planétaire” vérifiant l’équation suivante :

N_p=\left(\frac{e^2}{G\mu^2}\right)^{3/2}\qquad (1)

1.2.4 Pour qu’une (bio)chimie active puisse se dérouler, la température ne doit pas être trop basse (le facteur de Boltzmann inhibant les réactions chimiques), ni trop haute (déstabilisant les fragiles molécules organiques). L’énergie thermique moyenne doit être de l’ordre d’une énergie caractéristique, écrivez cette relation.

1.2.5 L’atmosphère n’existe que si les atomes sont retenus à la surface de la planète. Ecrivez une condition sur l’énergie thermique moyenne qui tient compte de ce fait.

1.2.6 En tenant compte de ces deux dernières conditions établir une borne inférieure du nombre d’atomes $N$ de la planète.

1.2.7 En regroupant les encadrements sur $N$ trouvés dans les questions (1.2.3) et (1.2.6) montrez que le nombre $N$ doit être de l’ordre de $N_p$ . Faites l’application numerique. Evaluez l’ordre de grandeur de la taille et de la masse de la planète. Ce résultat vous semble-t-il raisonnable.

1.3 Deuxième Partie : L’Animal

Nous ne tenons compte, pour caractériser un animal vivant sur notre planète, que d’une condition mécanique minimale :

Un animal doit pouvoir se déplacer sans risques à la surface de la planète : il doit être assez solide pour ne pas se briser lors d’une chute.

Par souci de simplicité on a choisi cette définition de l’animal qui ne prend pas en compte les insectes et d’autres espèces animales qui peuvent très bien tomber de plusieurs dizaines de mètres (et même s’envoler) sans se faire mal. Ici on s’occupera de ce modèle qui veut dire en d’autres termes, que l’énergie cinétique acquise lors d’une chute dans le champs de gravité à la surface de la planète (l’animal tombant de sa propre hauteur, soit $l$ ), doit rester largement inférieure à l’énergie nécessaire pour briser son corps.

1.3.1 En estimant le nombre d’atomes dans une section plane du corps exprimer l’énergie de rupture.

1.3.2 Estimer l’énergie cinétique acquise lors d’une chute de l’animal de sa propre hauteur $l$ .

1.3.3 Quelle condition doit vérifier le nombre d’atomes $n$ de l’animal. Exprimer cette relation en fonction de $N_p$ seulement.

1.3.4 Exprimer les grandeurs caractéristiques $n_0$ , $m_0$ et $l_0$ en fonction des constantes fondamentales seulement. Faire l’application numérique. Commenter les résultats.

1.3.5 Quelles réflexions vous inspire la valeur numérique de $n_0$ ? Quelle relation symbolique avez-vous envie d’écrire entre les échelles atomique, humaine et planétaire ?

Решение

Note de source : la dernière égalité de (19) porte E_em, tandis que la ligne suivante utilise E_gr. Les deux formes imprimées sont conservées. Le corrigé écrit également « Plante » dans (24).

1.1 Questions Préliminaires

1.1.1

E_{gr}\approx\frac{G\mu^2}{a}\qquad (1)

1.1.2

E_{em}\approx\frac{e^2}{a}\qquad (2)

1.1.3

\frac{E_{em}}{E_{gr}}\approx\frac{e^2}{G\mu^2}\approx10^{36}\qquad (3)

1.2 Première Partie : La Planète

1.2.1 Comme chaque atome interagit avec un nombre fini d’atomes on peut écrire pour l’énergie électromagnétique totale de la planète la relation suivante :

U_{em}\approx NE_{em}\qquad (4)

La propriété de “saturation” de forces électromagnétiques est fondamentale. Ainsi ce phénomène est la cause de l’existences de la vie sous la forme qu’on voit aujourd’hui. Il est très facile de trouver des exemples de manifestations de ce fait dans la vie de tous les jours. Par exemple il est aussi facile de casser un bâton de craie usé que neuf et il est aussi facile de laper une gorgée d’eau dans une flaque que dans un lac.

1.2.2 L’énergie gravitationnelle d’une sphère est facile à calculer, le calcul nous donne :

U_{gr}=\frac{3GM^2}{5R}\qquad (5)

Ici comme on fait un calcul d’ordre de grandeur on négligera le terme 3/5 dans la formule ci-dessus et on prendra comme rayon la taille caractéristique de la planète. Ceci nous donne le droit d’écrire :

U_{gr}\approx\frac{GM^2}{L}\approx\frac{GN^2\mu^2}{N^{1/3}a}=\frac{GN^{5/3}\mu^2}{a}\qquad (6)

On pourrait utiliser une autre méthode pour aboutir au même résultat en remarquant qu’il y a $N(N-1)/2$ paires d’atomes qui interagissent et qu’on peut attribuer à chaque paire une énergie d’interaction gravitationnelle de l’ordre de $G\mu^2/L$ . Après multiplication on retrouve effectivement le même résultat.

1.2.3 Pour que la matière puisse exister en fragments il faut que l’énergie électromagnétique prédomine sur l’énergie gravitationnelle, c’est-à-dire on doit avoir l’inégalité suivante :

U_{em}\succ U_{gr}\qquad (7)

En terme de nombre $N$ d’atomes dans la planète on a :

N\prec N_p=\left(\frac{e^2}{G\mu^2}\right)^{3/2}\qquad (8)

1.2.4 Comme on ne considère pas les effets quantiques dans notre raisonnement les seules forces mises en jeu dans la matière sont les forces électromagnétiques et les forces gravitationnelles. Donc les seules énergies constructives de la matière sont les énergies liées à ces forces. Or pour deux atomes on a vu que l’énergie électromagnétique est beaucoup plus importante que l’énergie caractéristique d’interaction gravitationnelle ( $\frac{E_{em}}{E_{gr}}\approx10^{36}\gg1$ ). Donc la seule énergie à prendre en compte est l’énergie d’interaction électromagnétique, dans ces conditions on peut écrire que l’énergie d’agitation thermique, qui de l’ordre de $kT$ ne doit pas être supérieure à l’énergie $E_{em}$ , sinon les édifices biologiques tels les molecules organiques seraient instables. En définitif on a :

kT\approx E_{em}\qquad (9)

1.2.5 Pour que une atmosphère existe il faut que les atomes, qui la constituent ne puissent pas la quitter. En d’autres termes il faut que l’énergie d’agitation thermique soit inférieure au puits gravitationnel qui est de l’ordre de $\frac{GM\mu}{L}$ . Ceci se concrétise par la relation suivante :

kT\prec\frac{GM\mu}{L}\qquad (10)

1.2.6 Des deux dernières relations on tire (équations 9 et 10) :

E_{em}\prec\frac{N^{2/3}G\mu^2}{a}\qquad (11)

En introduisant les notations de plus haut on peut écrire un encadrement pour le nombre $N$ d’atomes d’une planète habitable qui se présente sous la forme suivante :

N\succ N_p\qquad (12)

1.2.7 D’après les équations (8) et (12) on déduit que le nombre d’atomes d’une planète habitable doit être de l’ordre de $N_p$ , qui est un résultat bouleversant car on trouve que la taille d’une planète susceptible d’abriter la vie doit être d’un ordre de grandeur déterminé. Effectivement si on avait fait un raisonnement moins brutal on aurait bien sûr trouvé une plage de valeurs possibles pour la taille caractéristique de la planète, ce qui est plus acceptable de point de vue physique. Après application numérique on trouve :

N_p\approx10^{54}\qquad (13)

M_p=N_p\mu\approx10^{27}\mathrm{kg}.\qquad (14)

L_p=N_p^{1/3}a\approx10^8\mathrm m.\qquad (15)

Ces ordres de grandeur sont bien ceux d’une “grosse” planète, intermédiaire entre la Terre et Jupiter. Compte tenu de la brutalité de nos approximations, en particulier du complet “oubli” de la composition atomique de la matière, et de l’incertitude quant aux constantes sans dimension (certes de l’ordre de l’unité selon le Principe numéro Zéro, mais le produit de plusieurs nombres de cet ordre de grandeur peut fort bien lui échapper !),ce résultat est fort satisfaisant.

1.3 Deuxième Partie : L’Animal

1.3.1 L’énergie de rupture est celle du nombre de liaisons atomique rompues, soit en gros le nombre $n'$ d’atomes dans une section plane du corps. Ce nombre peut être évaluer en divisant l’aire caractéristique d’une telle section, soit $l^2$ , par l’aire du domaine occupé par chaque atome, soit $a^2$ :

n'\approx\frac{l^2}{a^2}\approx n^{2/3}\qquad (16)

de sorte que l’énergie de rupture s’écrit :

E_{rup}\approx n^{2/3}E_{em}\qquad (17)

1.3.2 L’énergie de chute, quant à elle, n’est autre que l’énergie potentielle du corps dans le champ de pesanteur de la planète quand il se tient à sa propre hauteur $l$ au-dessus de la surface. Or l’accélération de la pesanteur à la surface de la planète vaut :

g\approx\frac{GM}{L^2}\approx N^{1/3}\frac{G\mu}{a^2}\qquad (18)

L’énergie cinétique acquise lors de la chute s’écrit alors :

E_{cin}\approx mgl\approx N^{1/3}n^{4/3}\frac{G\mu^2}{a}\approx N^{1/3}n^{4/3}E_{em}\qquad (19)

1.3.3 La condition assurant l’intégrité du corps de l’animal lors d’une chute, soit $E_{cin}\prec E_{rup}$ , devient alors :

N^{1/3}n^{4/3}E_{gr}\prec n^{2/3}E_{em},

ou encore :

n^{2/3}\prec N^{-1/3}N_p^{2/3}.

Il est logique, en effet, que la limite supérieure pour la taille d’un animal soit d’autant plus basse que la taille de la planète est forte, puisque la pesanteur y est d’autant plus intense, et les conséquences d’une chute d’autant plus graves. Mais la taille d’une planète habitée n’est pas quelconque, et le nombre d’atomes y est justement donné par $N_p$ : nous en arrivons ainsi à notre résultat essentiel :

n\prec N_p^{1/2}\qquad (20)

1.3.4 Il existe donc une taille maximale pour la vie animale. Le nombre d’atomes correspondant s’exprime simplement en terme des constantes fondamentales :

n_0\approx\left(\frac{e^2}{G\mu^2}\right)^{3/4}\qquad (21)

La masse correspondante est :

m_0\approx\mu\left(\frac{e^2}{G\mu^2}\right)^{3/4}\qquad (22)

et la taille :

l_0\approx a\left(\frac{e^2}{G\mu^2}\right)^{1/4}\qquad (23)

Les valeurs numériques de ces grandeurs sont alors :

n_0\approx10^{27},m_0\approx1\mathrm{kg},l_0\approx10\mathrm{cm}.

Ici encore, en égard à la simplicité de nos arguments, ce sont là des ordres de grandeur plus que satisfaisants. Il est clair que des estimations plus raffinées pourraient sans mal induire un facteur 10 à 100 sur l’échelle de la taille.

Il existe naturellement un moyen de dépasser la limitation imposée par le critère de résistance aux chutes-c’est de ne pas tomber ! Ceci peut se faire, pour des animaux terrestres, en retournant à l’eau, et en jouant la poussée d’Archimède contre la gravité de Newton. Aussi ne doit-on pas être surpris que les plus grands et plus lourds animaux ayant jamais existé soient les cétacés géants. Une autre façon de pallier le risque de chutes est de ne pas se déplacer ! Un être vivant fixé (sur notre planète, ce sont les plantes qui sont immobiles, mais ailleurs ?) n’est pas assujetti à la limitation de taille que nous avons mise en évidence-d’où les séquoias...

1.3.5 Ici on a défini la taille caractéristique des êtres vivants donc c’est aussi celle de l’échelle humaine, on n’est pas surpris de retrouver alors le nombre d’Avogadro (à quelques puissances de 10 près, dues à la fois à la grossièreté de nos approximations-et à sa définition historique particulière via le système CGS : si la mole avait été définie par rapport au kilogramme plutôt qu’au gramme, le nombre d’Avogadro serait de $6\cdot10^{26}$ ) dans $n_0$ . Ainsi, le nombre d’Avogadro, loin d’avoir une valeur numérique arbitraire, liée à une convention arbitraire, est-il en réalité déterminé par les constantes fondamentales de la physique, et plus spécifiquement, par le rapport des intensités des forces électromagnétiques et gravitationnelles.

On peut encore présenter ces résultats d’une façon particulièrement frappante, en réalisant que les grandeurs caractéristiques de l’échelle humaine, selons les estimations obtenues ici, correspondent tout juste à la moyenne géométrique entre les grandeurs atomiques et planétaires. En d’autres termes, et de façon hautement symbolique :

Homme=\sqrt{Atome.Plante}\qquad (24)

5 Formulaire

Taille caractéristique de l’atome $a=0,53\cdot10^{-10}\mathrm m$

Constante gravitationnelle $G=6,67\cdot10^{-11}\mathrm m^2\mathrm{kg}^{-2}$

Masse caractéristique de l’atome $\mu=1,67\cdot10^{-27}\mathrm{kg}$

Constante de Boltzmann $k=1,38\cdot10^{-23}\mathrm J\mathrm K^{-1}$

Charge de l’électron $q_e=1,6\cdot10^{-19}\mathrm C$

Relation utile :

e^2=\frac{q_e^2}{4\pi\epsilon_0}=2,3\cdot10^{-28}\mathrm J\mathrm m\qquad (2)

Note de source : l’unité de $G$ est reproduite telle qu’imprimée. Le renvoi « page 6 » de l’énoncé désigne ce formulaire, qui apparaît sur la page 4 du PDF. Les renvois « fig. ?? » sont également présents dans la source ; les figures correspondantes sont conservées.

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