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Балкански 2004, Теория — Задача 1. L’expérience de Millikan

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Concours Général de Physiques “Minko Balkanski” · 15 май 2004 г. · 22,5 т.

Consignes

Les deux exercices sont indépendantes.

La clarté et la précision de la rédaction, qui doit être obligatoirement en français ou en anglais, seront prises en compte dans la note finale.

La durée de la composition est de 4 heures.

Barème

Les points attribué à chaque question sont donnés en gras. Barème :

Millikan : 22.5 points Optique : 5.5 points Total : 28.0 points, la note finale sera normalise à 20 : Note = 20*(Nb des points)/28.

Условие

La charge électrique $e$ portée par l’électron est une constante fondamentale de la physique. Ce fut le physicien américain Robert Andrews Millikan qui la mesura pour la première fois en 1909 et démontra que toute charge apparaît comme un multiple de $e$ . Les expériences de Millikan lui ont valu le prix Nobel en 1923.

Dans notre problème on présente une version simplifiée de l’expérience originale de Millikan, décrite à la figure ci-dessous :

Condensateur, sphères de polystirène, microscope, tension +500V et distance d=4mm.

Des très petites sphères en polystirène (de rayons de l’ordre de quelques microns) sont injectées entre les plaques d’un condensateur plan. On observe les sphères dans un microscope. La distance entre les plaque du condensateurs est $4mm$ , la tension appliquée est notée $U$ . Les sphères peuvent se charger suite au frottement dans l’aire.

1. La tension appliquée sur les plaques est nulle. Soit une sphère de rayon $r$ . On rappelle la formule de Stokes :

F=6\pi\eta rv,

qui donne la force du frottement d’un corps sphérique dans un fluide de viscosité $\eta$ .

1.a Donnez la vitesse limite $v_0$ atteinte par la sphère en fonction de $\rho$ - la masse volumique du polystirène, $\eta$ , $r$ et $g$ - l’accélération de la pesanteur.

Précisez le sens de mouvement de la sphère. [1,5 т.]

1.b Donnez la relation entre le rayon $r$ et la vitesse $v_0$ sous la forme :

r=A\sqrt{v_0},

où $A$ est une constante que l’on calculera numériquement. Données : $\rho=1{,}2\times10^3kg/m^3$ , $\eta=1{,}8\times10^{-5}$ unités SI, $g=9{,}8ms^{-2}$ . [0,5 т.]

2. On applique maintenant une tension $U=+500V$ . On constate que la sphère de la question précédente se déplace vers le haut, avec une vitesse $v_1$ .

2.a Précisez le signe de la charge électrique de la sphère en justifiant votre réponse. [0,5 т.]

2.b Faites un bilan des forces. Donnez la nouvelle vitesse de la sphère $v_1$ en fonction des données et $q$ - la charge de la sphère. On rappelle que la distance entre les plaques du condensateur est $d=4mm$ . [1 т.]

2.c En éliminant la force de pesanteur de l’expression obtenue dans 2.b démontrez la relation suivante :

|q|=Br(v_0+v_1)

où $B$ est une constante que l’on exprimera en fonction de $V$ , $d$ et $\eta$ . [1 т.]

2.d Que vaut numériquement la constante $B$ en unités SI ? [0,5 т.]

3 On effectue plusieurs mesures de $v_0$ et $v_1$ avec chaque fois de sphères différentes. On ne connaît pas les rayons des sphères. On obtient le tableau suivant :

Expérience n°	$v_0$ mm/min	$v_1$ mm/min
1	4,3	10,9
2	2,6	10,2
3	7,9	10,7
4	7,5	11,5
5	5,6	3,3
6	5,6	7,7
7	8,7	5,4
8	12,5	5,1
9	3,9	11,9
10	2,2	12,0
11	7,9	7,0
12	11,5	3,8

3.a. A l’aide des résultats précédents, complétez les colonnes ”r” et ”q”. (Attention aux unités employées !) [6 т.]

3.b. Représentez chaque mesure par un point sur un système de coordonnées dont l’axe ”x” est le rayon mesuré, est l’axe ”y” est la charge. [6 т.]

3.c. Que remarque-t-on ? Que vaut ”la charge élémentaire” d’après ces mesures ? Quelle est la charge minimale observée dans les mesures ? [2 т.]

3.d. Au lieu de partir vers le haut, certaines sphères continuent à se déplacer vers le bas. Que pouvez-vous dire sur les charges de ces sphères ? Est-il possible qu’une sphère chargée comme dans la question 2.a puisse se déplacer vers le bas ? [2 т.]

3.e. Sachant que la densité volumique de l’aire est $\approx1kg.m^{-3}$ estimez la force d’Archimèd. Pourquoi ne prend on pas en compte cette force ? [1 т.]

Отговори

Решение

1.a La sphère commence à se déplacer vers le bas (0.5) sous l’action du poids. Lorsque le frottement fluide compense le poids, la vitesse limite atteinte est donnée par(1.0) :

6\pi\eta rv_0=mg=\frac{4\pi}3\rho r^3g\rightarrow v_0=\frac{2\rho gr^2}{9\eta}

1.b On a

r=3\sqrt{\frac\eta{2\rho g}}\sqrt{v_0}=A\sqrt{v_0}

avec $A=8{,}3.10^{-3}SI$ (0.5). Si on mesure $v_0$ en $mm/min$ et $r$ en $microns$ on aura :

r=0{,}3388\sqrt{v_0}.

2.a La sphère se déplaçant vers le haut, elle est attiré par l’électrode positive, donc chargée négativement(0.5).

2.b Il y a en plus la force électrique $|q|U/d$ avec $q$ la charge de la sphère. Cette force est dirigée vers le haut, elle s’oppose au poids et la force de frottement fluide, d’où :

\frac{|q|U}d=mg+6\pi\eta rv_1

, d’où(1.0) :

v_1=\frac1{6\pi\eta r}(\frac{|q|U}d-mg).

2.c Avec la remarque $6\pi\eta rv_0=mg$ on obtient(1.0) :

|q|=\frac{6\pi\eta d}U r(v_0+v_1)=Br(v_0+v_1),

soit

B=\frac{6\pi\eta d}U.

2.d Numériquement $B=2{,}7.10^{-9}SI$ (0.5). Si on normalise $|q|$ par $10^{-19}$ et on adopte les unités du tableau, on obtient :

|q|=0{,}45216r(v_0+v_1).

3.a. A l’aide des formules établies précédemment on complète le tableau (6.0 points aux total, 0.5 par ligne) :

Exp. n°	$v_0$ mm/min	$v_1$ mm/min	rayon $r$ (microns)	charge $\lvert q\rvert\times10^{-19}$ C
1	4,3	10,9	0,7	4,83
2	2,6	10,2	0,55	3,16
3	7,9	10,7	0,95	8,0
4	7,5	11,5	0,93	7,97
5	5,6	3,3	0,8	3,2
6	5,6	7,7	0,8	4,81
7	8,7	5,4	1,0	6,375
8	12,5	5,1	1,2	9,53
9	3,9	11,9	0,67	4,78
10	2,2	12,0	0,5	3,22
11	7,9	7,0	0,95	6,46
12	11,5	3,8	1,15	7,95

3.b. On obtient la graphique suivante (6.0) :

Charge des sphères en fonction de leur rayon, points regroupés par paliers.

3.c. On remarque que les points se groupent sur paliers bien définies, distants de $1{,}6$ . La charge élémentaire(1.0) est alors $e=1{,}6.10^{-19}C$ . Par contre, le premier palier est à $3{,}2$ , donc la charge minimale(1.0) est de $|q|=3{,}2.10^{-19}C=2\times e$ .

3.d. Soit la sphère est chargée positivement, et alors elle est repulsée par l’électrode supérieure, soit elle est chargée négativement comme dans la question 2.a, mais elle est trop lourde (de rayon trop grande) pour que la force électrique puisse compenser le poids (2.0).

3.e. Vue la difference des densités volumique de l’aire et le polystirène, la force d’Archimèd est négligeable devant le poids(1.0).

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Електричество · Флуиди · Електрично поле · Вискозитет и съпротивление

Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: CGP_2004_fr.pdf · официални решения: CGP_2004_cr.pdf