Балкански 2009, Теория — Задача 1. Quelques aspects de l’astronautique

I - Principe de la propulsion par réaction.

Dans cette partie, on étudie le principe de la propulsion. Pour ce faire, on considère une planche à roulettes ou un chariot sur lequel se trouvent un opérateur et $n$ sacs de sable de masse $m$ chacun. On néglige l’effet des actions dissipatives. Pour simplifier les expressions demandées on négligera la masse du chariot et de l’opérateur devant la masse d’un sac. Le référentiel $R$, attaché à l’axe $Ox$ est galiléen.

Chaque symbole en gras est considéré comme une variable vectorielle.

I.A A l’instant $t=0$, l’opérateur lance le premier sac de masse $m$ à la vitesse $\mathbf u=-u\mathbf e_x$ évaluée par rapport au chariot ! Montrer que, dans le référentiel $R$ lié au sol (à l’axe $Ox$), la quantité de mouvement d’un système clairement défini se conserve. En déduire la vitesse $\mathbf V_1$ (évaluée dans $R$), du chariot et de tout ce qu’il contient après ce premier lancer. [1 т.]

I.B A l’instant $t_2=t_1+T$, l’opérateur lance un deuxième sac à la vitesse $\mathbf u=-u\mathbf e_x$ évaluée par rapport au chariot ! Evaluer la vitesse par rapport à $R$ du chariot et tout ce qu’il contient après ce deuxième lancer. Montrer que cette vitesse peut se mettre sous la forme $\mathbf V_2=-\left(\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}\right)\mathbf u$. On précisera le système étudié. [1 т.]

I.C Etablir l’expression de la vitesse $\mathbf V_k$ du chariot, toujours évaluée par rapport au référentiel $R$, après le $k$ - ième jet effectué à l’instant $t_1+(k-1)T$, en fonction de $n,k$ et $\mathbf u$. On précisera le système étudié. [1,5 т.]

I.D Etablir l’expression $\mathbf a_k$ de l’accélération moyenne du chariot sur une durée incluant le $k$ - ième jet (par exemple entre $t_1+(k-3/2)T$ et $t_1+(k-1/2)T$) en fonction de $n,k,T$ et $\mathbf u$ (par rapport à $R$). [1 т.]

I.E On appelle $D_m$ le « débit de masse », c’est-à-dire la masse propulsée hors du chariot par unité de temps. Exprimer $\mathbf a_k$ en fonction de $n,k,D_m,m$ et $\mathbf u$. [0,5 т.]

I.F Montrer que le système {chariot et son contenu après le $k$ - ième jet} semble soumis, sur une durée incluant le jet, à une force de poussée $\Pi$ moyenne que l’on exprimera en fonction de $D_m$ et $\mathbf u$. [0,5 т.]

II - Propulsion par moteur fusée.

On étudie une fusée de masse total (à l’instant $t$) $m(t)$ et de vitesse $\mathbf V(t)$ dans un référentiel galiléen $R$ ; soit $D_m$ le débit massique (constant) de gaz éjectés, et $\mathbf u$ leur vitesse d’éjection dans le référentiel $R\prime$ lié à la fusée. La résultante des forces extérieures exercées sur la fusée est notée $\mathbf R$.

II.A En effectuant un bilan de quantité de mouvement entre les instants $t$ et $t+dt$ sur un système fermé, montrer que $m(t)\frac{d\mathbf V(t)}{dt}=\mathbf R+\mathbf T$, où $\mathbf T$ est une « force de poussée » dont on donnera l’expression en fonction de $\mathbf u$ et de $D_m$. [1 т.]

II.B On considère une fusée se déplaçant dans le vide, en l’absence de pesanteur ; les masses initiale et finale de cette fusée sont $m_i$ et $m_f$ ; $\mathbf u$ et $\mathbf V(t)$ ont la même direction fixe. Exprimer l’accroissement de vitesse $\Delta V=V_f-V_i$ en fonction de $m_i,m_f$ et $u$ où $u$ est la norme de $\mathbf u$ supposée constante. [0,5 т.]

II.C On définit l’efficacité propulsive comme le rapport $Q$ entre l’énergie cinétique communiquée à la « masse utile » $m_f$ à partir d’une fusée au repos et l’énergie total dépensée, définie comme $m_eu^2/2$, où $m_e$ est la masse éjectée entre l’instant initial et l’instant final. Exprimer $Q$ en fonction de $x=V_f/u$. Tracer l’allure de $Q$ en fonction de $x$. Comment interpréter qualitativement l’existence d’un maximum ? [1 т.]

II.D La masse totale au décollage d’une fusée Saturn V était de $2\times10^6kg$ ; la vitesse d’éjection des gaz était de l’ordre de $4\ km.s^{-1}$. L’accélération au décollage était d’environ $1g$ ($g\cong10\ m.s^{-2}$). Evaluer le débit massique et commenter. [0,5 т.]

Dans les questions suivantes, le référentiel $R$ (muni du repère $Oxyz$) est lié au sol.

II.E A $t=0$, une fusée initialement immobile située à l’altitude $z=0$ est mise à feu. Supposons que la fusée s’élève verticalement, dans un champ de pesanteur $\mathbf g$ supposé constant, avec un débit massique $D_m$ constant. La planète est supposée sans atmosphère. Etablir les expressions de la vitesse $V(t)$ et de l’altitude $z(t)$ en fonction du temps, de $m(0),g,u$ et $D_m$. On rappelle que $\int\ln xdx=x\ln(x)-x$. [1 т.]

II.F Le rayon de la Terre est $R_T=6400\ km$. L’intensité de la pesanteur au niveau de la surface de la Terre est $g_0$ ($g_0\cong10\ m.s^{-2}$). Evaluer l’énergie potentielle d’une masse de $1\ kg$ au repos à la surface de la Terre en prenant son énergie potentielle nulle à l’infini. [0,5 т.]

II.G L’énergie libérée par la combustion d’un kilogramme de mélange de dioxygène et de dihydrogène ne dépasse pas $2\times10^7\ J$. Dans ces conditions, est-il possible de s’échapper du champ gravitationnel terrestre ? On demande une étude qualitative. [0,5 т.]

III – Le moteur ionique.

L’éjection de matière peut être obtenue par un moyen électrique, et non plus chimique.

III.A A l’intérieure d’un véhicule spatial, des particules chargées de masse $\mu$ et de charge $q$ positive sont accélérées par une différence de potentiel $U_t$ puis éjectées hors du véhicule. Soit $D_m$ le débit massique de matière éjectée. Exprimer la « force de poussée » $T$ exercée sur le vaisseau spatial en fonction de $q,U_t,D_m$ et $\mu$. [0,5 т.]

III.B Dans le cas où on néglige la force de pesanteur et la résistance de l’air, évaluer la puissance électrique minimale $P_{emin}$ que doit fournir le générateur, pour que l’accélération du vaisseau soit $\gamma$. $P_{emin}$ sera exprimée en fonction de $\gamma,\mu,q,U_t$ et de la masse totale $m$ du vaisseau à l’instant considéré. [0,5 т.]

III.C Applications numériques : Le moteur NSTAR équipant la sonde Deep Space One, lancée le 24 Octobre 1998, possède les caractéristiques suivantes :

• Tension accélératrice : $U_t=1090V$
• Puissance électrique consommée par le moteur ionique : 2,3kW
• Particules éjectées : ions Xenon, de charge $+e$ ($N_A=6{,}02\times10^{23}mol^{-1}$, la masse molaire du Xenon est $M_{Xe}=131{,}3g.mol^{-1}$, la charge élémentaire vaut $e=1{,}6\times10^{-19}\ C$)
• Force de poussée : 93mN

Calculer le rapport $T/P_e$ de deux façons différentes. Les données fournies sont-elles cohérentes ? (une réponse limitée à « oui » ou « non » sera considérées comme insuffisantes) [0,5 т.]