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Балкански 2009, Теория — Задача 3. Exercice 2

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Concours Général de Physiques « Minko Balkanski » · 16 май 2009 г. · 5 т.

Указания

Le problème est les deux exercices sont entièrement indépendants et peuvent être traités dans n’importe quel ordre.

La clarté et la précision de la rédaction, qui doit être en français ou en anglais, seront prises en compte dans la note finale.

La durée de la composition est de 4 heures! Les calculatrices sont autorisées.

Условие

Considérons un disque, qui conduit parfaitement le courant électrique, de rayon $r_0$ qui est soumis à un champ magnétique $B$ perpendiculaire du plan de disque. Des contactes mobiles sont ajoutés sur le bord du disque ( $C_1$ ) et sur son axe ( $C_2$ ) ( cf. Figure 2 ). Ce système est appelé « générateur homopolaire » de Faraday. Quand il tourne avec une vitesse angulaire constante un courant électrique constant est généré dans le circuit. Un moment de torsion est introduit par une masse $M$ attachée sur une corde, passant par le périmètre du disque.

Disque conducteur dans le champ magnétique, contacts C1 et C2, résistance R et masse M.

(a) Expliquer pourquoi et comment le courant circule. Donner une expression quantitative pour le courant comme fonction de la vitesse angulaire. [2 т.]

(b) Si on a une corde infiniment longue, le système va attendre une vitesse angulaire constante $\omega_f$ . Trouver cette vitesse et le courant associé. [3 т.]

Отговори

Решение

(a) Considérons un électron à une distance $r$ de l’axe ( $C_2$ ) du disque (voir la figure ci-dessous). Il est subis à la force de Lorentz, qui s’écrit : $\mathbf F=\frac ec(\mathbf v\times\mathbf B)$ ,avec $\mathbf v=\boldsymbol\omega\times\mathbf r$ . (0,5p.)

Disque de Faraday avec électron, rayons r et r0, contacts C1 et C2, résistance et masse.

D’où l’existence d’une force radiale : $\mathbf F_r=\frac ec[(\boldsymbol\omega\times\mathbf r)\times\mathbf B]=\frac ec\omega B\mathbf r$ (0,5p.) On en déduit le champ électrique correspondant $E=-(1/c)\omega Br$ , et la tension :

V=-\int_0^{r_0}\mathbf E\cdot d\mathbf r=\frac1c\omega B\int_0^{r_0}rdr=\frac{\omega Br_0^2}{2c}

(0,5p.)

Enfin pour le courant on trouve l’expression :

i=\frac VR=\frac{\omega Br_0^2}{2Rc}

(0,5p.)

(b) La puissance dissipée dans la résistance s’écrit :

P=i^2R=\frac{\omega^2B^2r_0^4}{4Rc^2}=\frac{\dot\varphi^2B^2r_0^4}{4Rc^2}

(0,5p.)

L’énergie cinétique du disque : $T=\frac{I\omega^2}{2}=\frac{I\dot\varphi^2}{2}$ (0,5p.) , avec $I$ le moment d’inertie du disque. Par le théorème de conservation d’énergie :

\frac d{dt}\left(\frac{I\dot\varphi^2}{2}\right)+\frac{\dot\varphi^2B^2r_0^4}{4Rc^2}=Mgr_0\dot\varphi

(1p.)

La vitesse angulaire à l’état final $\dot\varphi=\omega_f=cte$ (0,5p.), peut être considérée comme constante, d’où :

\frac{\omega_f^2B^2r_0^4}{4Rc^2}=Mgr_0\omega_f\Rightarrow\omega_f=\frac{4MgRc^2}{B^2r_0^3}

Finalement on trouve :

i_f=\frac{\omega_fBr_0^2}{2Rc}=\frac{2Mgc}{Br_0}

(0,5p.)

Remarque : On peut aussi utiliser directement la conservation de l’énergie et écrire les équations pour deux instants $t$ et $t+dt$ en disant que l’énergie potentielle perdue par le masse M est égale à l’énergie dissipée dans la résistance R.

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Магнетизъм и индукция · Механика · Електромагнитна индукция · Работа и енергия

Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: CGP_2009_fr.pdf · официални решения: CGP_2009_cr.pdf