Балкански 2010, Теория — Задача 1. Première partie — Problème

1 Champ de gravitation (8 т.)

Dans cette partie, le Soleil et la Terre sont assimilés à des sphères homogènes. On cherche à exprimer le champ de gravité, le potentiel de gravitation et des énergies gravitationnelles par analogie avec l’électrostatique.

1 Exprimer, en un point $A$, le champ électrique $\vec E(A)$ créé par une charge ponctuelle $q$ placée en un point $O$, en posant : $OA=r$ et $\vec u_r=\frac{\overrightarrow{OA}}{r}$.

2. On considère une surface sphérique $S$, de centre $O$.

2(a) Rappeler l’énoncé du théorème de Gauss pour le champ électrostatique.

2(b) Déterminer le flux $\Phi$ du vecteur $\vec E$ sortant de $S$. On notera $Q_{int}$ la charge totale intérieure à la surface sphérique $S$.

3. On a une boule de rayon $R$ uniformément chargée, de charge totale $Q$.

3(a) Déterminer le champ électrostatique $\vec E(r)$ que cette boule crée à une distance $r$ de son centre $O$ pour $r$ compris entre $0$ et $\infty$, en fonction de $Q$, $\vec u_r$, $r$ et $R$. On distinguera le cas $0<r<R$ du cas $R<r<+\infty$.

4(a) Rappeler la relation entre l’énergie d’interaction électrique entre la boule de la question (3.a) et une charge $q$ ponctuelle placée à la distance $r$ de son centre $O$, et le potentiel électrostatique $U(r)$ de cette boule, déterminé à la question précédente.

4(b) Déterminer cette énergie d’interaction électrique notée $E_1$ (supposée nulle à l’infini).

5(a) Rappeler l’expression de la densité volumique d’énergie électrostatique en un point $M$ où le champ a pour valeur $\vec E(M)$.

5(b) Montrer que l’énergie propre électrostatique de la boule peut s’écrire sous la forme $E_2=\frac{kQ^2}{4\pi\epsilon_0R}$.

6. On procède à présent par analogie formelle entre champ électrique et champ gravitationnel :

6(a) Exprimer, en un point $A$, le champ gravitationnel $\vec g(A)$ créé par une masse ponctuelle $m$ placée en un point $O$, en posant : $OA=r$ et $\vec u_r=\frac{\overrightarrow{OA}}{r}$.

6(b) Présenter précisément les couples de grandeurs analoques (exemple : charge et masse).

6(c) On considère une boule de rayon $R$ homogène, de masse $M$. Déterminer le champ gravitationnel $\vec g(r)$ que cette boule va créer à une distance $r$ de son centre $O$, pour $r$ compris entre $0$ et $+\infty$

6(d) Application numérique : calculer l’intensité $g_{ST}$ du champ de gravitation créé par le Soleil à la surface de la Terre puis l’intensité $g_{TS}$ du champ de gravitation créé par la Terre à la surface du Soleil.

6(e) Déterminer l’énergie d’interaction gravitationnele entre la Terre, supposée ponctuelle, et le Soleil.

6(f) Application numérique.

7 Déterminer l’énergie propre gravitationnele du Soleil et de la Terre, notées respectivement, $E_{2S}$ et $E_{2T}$.

8 Application numérique : calculer ces énergies ainsi que l’énergie $E_{2TS}$ de l’ensemble Terre-Soleil en négligeant, pour le calcul de l’énergie d’interaction, leurs rayons devant la distance qui les sépare. Commenter les résultats.

2 Stabilité d’une étoile sphérique (8 т.)

1. Stabilité thermique.

On utilise le modèle d’une étoile sphérique homogène de rayon $R$ et de masse $M$ constituée d’atomes d’hydrogène de masse molaire $M_H$ dans l’état de gaz parfait en équilibre thermique à la température uniforme $T$. Chaque atome possède l’énergie cinétique $e_c=\frac32kT$ avec $k=\frac{\Re}{Na}$.

1(a) Donner l’énergie totale $E_S$ du Soleil supposé isolé dans l’espace.

1(b) Donner une condition suffisante pour que le rayon du Soleil reste fini, c’est-à-dire pour que le Soleil ne soit pas en expansion infinie.

1(c) En déduire la valeur maximale de la température $T$ qui satisfait la condition précédente.

1(d) Application numérique : calculer cette température maximale.

2. Stabilité dynamique.

On utilise le modèle d’une étoile sphérique homogène de rayon $R$ et de masse $M$ en rotation propre de période constante autour de l’un de ses diamètres et constituée par un gaz de particules entraînées à la même vitesse angulaire que celle de l’étoile.

2(a) Donner la vitesse de libération $v_i$ à la surface de l’étoile.

2(b) Donner la condition de stabilité dynamique de l’étoile.

2(c) Application numérique : le Soleil vérifie-t-il la condition de stabilité dynamique ? Justifier votre réponse par des valeurs numériques.

2(d) Que se passe-t-il pour une étoile lorsque la vitesse de libération est supérieure à la vitesse de la lumière ? Quelle est la condition sur le rapport $\frac{M}{R}$ pour de tels corps ? En déduire la condition sur la masse volumique de l’étoile.

2(e) Application numérique : calculer, pour une étoile de rayon $R_S$, la masse volumique minimale pour que la vitesse de libération soit supérieure à la vitesse de la lumière. Commenter cette valeur numérique.

3. Aspect hydrostatique.

On utilise le modèle d’une étoile sphérique homogène de rayon $R$ et de masse $M$, sans rotation propre, dont la masse volumique $\rho(r)$, la pression interne $P(r)$ et la température $T(r)$ ne dépendent que de la distance $r$ au centre de l’étoile. De plus l’étoile est assimilée à un gaz parfait constitué d’atomes d’hydrogène en équilibre hydrostatique, c’est-à-dire que chaque élément de volume de matière $dV$ est en équilibre sous l’effet des forces gravitationnelles et des forces de pression.

3(a) Rappeler le principe fondamental de la statique des fluides. On exprimera $\overrightarrow{\mathrm{grad}}P$ en fonction de $\rho(r)$ et de $\vec g$.

3(b) En déduire $\frac{dP}{dr}$ dans le cas de l’étoile sphérique en fonction de $G$, $r$, $\rho(r)$ et de $M(r)$, masse contenue dans la boule de rayon $r$.

3(c) On souhaite obtenir un ordre de grandeur pour la température $T_C$ au centre du Soleil. Pour ce faire, on suppose que la fonction $P(r)$ est affine, et nulle à la surface du Soleil. On remplacera $\rho(r)$ par la masse volumique moyenne du Soleil et le terme $\frac{M(r)}{r^2}$ par la valeur “moyenne” $\frac{M_S/2}{(R/2)^2}$. Exprimer $P_C$, puis $T_C$, en fonction de $G$, $M_S$, $R_S$, $\Re$ et $M_H$.

3(d) Application numérique : calculer $T_C$.