Балкански 2011, Теория — Задача 2. On the origin of gravity

2.1 La force entropique

Considérons un ensemble thermodynamique isolé caractérisé par son énergie totale $E$, son entropie $S$ et sa température $T$.

1 A partir des deux premiers principes de la thermodynamique, donner une relation entre $dE$, $dS$ et $dV$ (avec $V$ le volume).

2 L’énergie d’ensemble est constant pendant la transformation suivante. Quelle force doit être applique pour effectuer un déplacement $dx$ d’extrémité de l’ensemble et un changement $dS$ dans l’entropie.

3 Cette force est une force d’origine entropique. Commenter et donner des exemples de ce type de force.

2.2 Effet d’Unruh

Le physicien Bill Unruh à découvert en 1976 qu’un observateur placé dans un référentiel accéléré subit une température $T$ lié à son accélération $a$. L’effet est analogues à la radiation d’Hawking, mais l’horizon des évènements est créé par l’accélération et non pas par la gravité. Pour cette partie on considère connues la relation d’Heisenberg $dp\,dx\simeq\frac{\hbar}{2}$ et l’équation d’Einstein $E=mc^2$.

1 Donner une relation de type Heisenberg entre l’énergie $E$ d’une particule et la distance $x$ parcourue pendant sa vie. Expliquer votre raisonnement.

2 Le déplacement d’une particule virtuelle est clairement dépendent de $c$ (car $c$ est le paramètre dans la théorie donnant l’effet - la relativité) et $a$. Donner l’énergie d’une particule virtuelle en utilisant une méthode dimensionnelle (à un prefacteur d’ordre de l’unité près). Donner la température observée par l’observateur (à un prefacteur d’ordre de l’unité près). Ce prefacteur (qui est difficile à trouver) est $\frac16$.

2.3 Théorie de Verlinde

E. Verlinde prends deux hypothèses pour construire son résultat :

Hypothèse 1 : Toute l’information d’un système peut être décrite sur un écran à 2 dimensions (principe holographique).

Hypothèse 2 : Quand la particule se déplace d’une longueur d’onde de Compton $\lambda=\frac{h}{mc}$, l’entropie de l’écran change de $dS=\alpha k$ avec $\alpha$ un paramètre que nous déterminerons et $k$ la constant de Boltzmann. (pour motivation cf. [Bekenstein, 1973])

2.3.1 Écran plan

Dans cette partie on considère que l’écran est un plan et subit une accélération $a$ vers une particule.

1 Donner le changement $dS$ de l’entropie en fonction d’un déplacement $dx$ en considérant que $S$ est une fonction linéaire de $x$.

2 Quelle est la force qui s’exerce sur la particule associé au changement $dS$.

3 Si la température $T$ subit par le système provient de son accélération, donner une expression pour la force $F$. Quelle est la valeur de $\alpha$ pour retrouver une loi physique bien connue.

2.3.2 Écran sphérique

Dans cette partie on considère que la particule évolue à proximité d’un écran sphérique de rayon $R$ (un trou noir).

1 Donner la masse de cet écran sphérique en utilisant l’hypothèse holographique sous la forme $N=\beta A$ ($N$ - nombre des bits d’informations, $A$ - aire d’écran, $\beta$ - coefficient de proportionnalité) et le théorème l’équipartition de l’énergie $E=\frac12Nk_bT$. Expliquer votre raisonnement.

2 Quelle est la force qu’exerce l’écran sur la particule exprimé en fonction de la masse $M$, de la masse de la particule $m$ et du rayon $R$ de la sphère. Quelle est la valeur de $\beta$ pour obtenir une autre loi connue en physique.