Балкански 2013, Теория — Задача 2. Capacité thermique négative et la stabilité des étoiles

2.1 Effondrement gravitationnel

Les nuages de gaz et de poussière interstellaires sont instables et s'effondrent sous leur propre poids gravitationnel (le même phénomène se reproduit à plus grande échelle pour les galaxies). Dans ce problème nous allons étudier un nuage sphérique d'une densité uniforme $\rho$ et rayon $R$. Les particules à l'intérieure du nuage sont assimilées à des points matériels qui interagissent seulement par des forces gravitationnelles. Leur masse molaire est notée $\mu$.

2.1.1 Particules initialement immobiles (4 т.)

Dans cette partie, les particules sont considères immobiles à l'instant initial.

1. Quelle est l'énergie gravitationnelle du nuages $E_{gr}$ à $t = 0$ ?

2. En combien de temps $\tau_{gr}$ les particules vont s'effondrer en un seul point ?

3. Faites une application numérique dans le cas du Soleil ($M_{\circledast} = 2.0 \times 10^{30}\mathrm{kg}$ et $R_{\circledast} = 7.0 \times 10^{8}\mathrm{m}$) et puis pour un nuage intergalactique (rayon $10^{8}R_{\circledast}$ et 10 atomes d'hydrogène par centimètre cube)

4. Quelle force, que nous n'avons pas prise en compte pour l'instant, peut arrêter cet effondrement ?

2.1.2 Théorème du viriel (2 т.)

Supposons que la température à l'instant initial du nuage est $T$.

1. Quelle est l'énergie cinétique totale $E_{cin}$ des particules dans le nuage ?

2. On peut démontrer que l'effondrement se produit pour $E_{gr} + 2E_{cin} < 0$. Donner le rayon critique $R_c$, pour lequel le nuage est instable (pour un rayon initial de $R > R_c$).

2.1.3 Acoustique (2 т.)

1. En faisant une analyse dimensionnelle, donner la vitesse du son $c_s$ dans le nuage de gaz. Utiliser la pour exprimer le temps caractéristique du propagation du son dans le nuage $\tau_s = \frac{R}{c_s}$.

2. Donner le rayon critique $R_s$ tel que $\tau_s > \tau_g$ pour $R > R_s$. Qu'est ce que nous pouvons conclure si nous comparons $R_s$ et $R_c$ ?

2.2 Stabilité

Dans cette partie nous allons à nouveau considérer une étoile à symétrie radiale de masse $M$ et rayon $R$. La densité volumique en fonction de la distance jusqu'au centre sera notée $\rho(r)$, la température $T(r)$ et la masse contenue dans une sphère de rayon $r$ - $m(r)$. Les gaz est considéré comme idéal avec une masse molaire $\mu$.

1. Exprimer l'énergie potentielle gravitationnelle $E_{gr}$ en fonction des donnée de l'énonce. [1 т.]

2. Trouver le gradient de pression $\frac{dp}{dr}$ et prouver que $E_{gr} = -3\int_{r=0}^{r=R} pdV$ ($dV$ étant le volume élémentaire d'une couche sphérique d'épaisseur $dr$) [2 т.]

3. Donner l'expression de l'énergie interne molaire $U_{mol}$ du gaz en fonction de $C_v$ (capacité thermique à volume constant) et $T$. Quelle est la formule qui lie $C_v$, $\gamma$ et $R_g$ ? [1 т.]

4. Donner la valeur de l'énergie interne thermique du gaz $U$. [1 т.]

5. Quelle est l'énergie totale $E_{tot}$ de l'étoile en fonction de $U$ ? Que devient cette expression pour $\gamma = \frac{5}{3}$ ? Cette valeur du $\gamma$ correspond à quel type de gaz ? Quelle est la nature de l'énergie $U$ dans ce cas là ? [3 т.]

6. Sachant qu'une petite perturbation positive de la température $T$ va créer une augmentation du taux des réactions nucléaires (et donc augmentation de l'énergie thermique du l'étoile), comment est-il possible que l'étoile reste stable ? [1 т.]