Балкански 2014, Теория — Задача 3. Trajectoire d'une comète dans un nuage de poussière

Част първа и част втора съдържат условията на четирите задачи съответно на френски и английски език. Част трета съдържа фигурите използвани за онагледяване на въпросите и помощни таблици и формули. Единствените външни документи, на които имате право са френски и английски речници. Ако желаете, можете да ползвате калкулатори.

За много от задачите ще Ви е необходимо да ползвате формулите дадени в анекса.

При оценяването на задачите голяма тежест ще имат яснотата и стилът на изложените решения и аргументация. Не използвайте излишна проза в аргументите си, бъдете точни и кратки. Използването на схеми за онагледяване на разсъжденията Ви е желателно. Пишете само на езика, който сте избрали (френски или английски).

Задачите дават еднакъв брой точки.

При намиране на грешка в условията на задачите отбележете я в работата си и продължете без да повдигате въпроси към квесторите.

Решенията ще бъдат изложени на сайта на Фондация Миню Балкански в деня на състезанието. Класирането ще бъде изложено също там месец по-късно. Ако имате въпроси и коментари можете да ги насочите към stefan.krastanov@yale.edu. С първенците ще се свържем чрез e-mail или по телефон. Бъдете сигурни да попълните правилно информацията за контакт.

Разполагате с 4 часа. Успех!

Séries / Series : $\sum_{i=0}^{n} a^i = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}$

Trigonométrie / Trigonometry : $\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a)$ ; $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$.

Intégrales / Integrals : $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n} + C$ ; $\int \frac{dx}{x} = \ln(x) + C$ ; $\int \exp(ax)\, dx = \frac{\exp(ax)}{a} + C$ ; $\int \sin(ax) = \frac{-\cos(ax)}{a} + C$ ; $\int \cos(ax) = \frac{\sin(ax)}{a} + C$ ; $\int_a^b v du = [vu]_a^b - \int_\alpha^\beta u dv$

Équations différentielles / Differential equations :

• Equation : $\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = 0$

  • Solution : $x(t) = A\mathrm{e}^{-\zeta\omega_0 t}\ \sin\left(\sqrt{1 - \zeta^2}\ \omega_0 t + \phi\right)$
  • $A \in \mathbb{R}$, $\phi \in [0, 2\pi]$
• Equation : $\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = F_0\sin(\omega t)$

  • Solution : $x(t) = \frac{F_0}{Z\omega}\sin(\omega t + \psi) + Trans(t)$
  • $Z = \sqrt{(2\omega_0\zeta)^2 + \frac{1}{\omega^2}\left(\omega_0^2 - \omega^2\right)^2}$, $\psi = \arctan\left(\frac{\omega_0^2 - \omega^2}{2\omega\omega_0\zeta}\right)$
  • $Trans(t) = A\mathrm{e}^{-\zeta\omega_0 t}\ \sin\left(\sqrt{1 - \zeta^2}\ \omega_0 t + \phi\right)$, $A \in \mathbb{R}$, $\phi \in [0, 2\pi]$
• Français : La solution contient une partie « homogène » ou « transitoire », qui décroît au fil du temps en raison de la présence du terme dissipatif $2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ et une partie "non homogène" due au terme$F_0\sin(\omega t)$ qui ne se dégrade pas grâce au forçage continu.
• English : The solution contains one part called "homogeneous" or "transient", which decays over time because of the presence of disipative $2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ term and one "inhomogeneous" part, which is caused by the driving $F_0\sin(\omega t)$ and does not decay thanks to the continuous forcing.

Complexes / Complex numbers : $\imath^2 = -1$ ; $\exp(\imath x) = \cos(x) + \imath\sin(\imath x)$ ; $\overline{(x + \imath y)} = (x - \imath y)$ ; $||x + \imath y|| = \sqrt{(x + \imath y)\overline{(x + \imath y)}} = \sqrt{(x + \imath y)(x - \imath y)} = \sqrt{x^2 + y^2}$

Geométrie / Geometry : $S_{sphere} = 4\pi R^2$, $V_{sphere} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Gravitation : $F = G\frac{M_1 M_2}{r^2}$ ; $E = -G\frac{M_1 M_2}{r}$ ; $G = 6.7 \times 10^{-11}\mathrm{m^3kg^{-1}s^{-2}}$

Elasticité / Elasticity : $F = -\frac{\Delta L}{L}ES$

Kepler : $\mathbf{F} = \frac{k}{r^2}\hat{\mathbf{r}}$, $k = GMm$

L'équation de l'ellipse/The equation of an ellipse : $\frac{1}{r} = -\frac{km}{L^2}\left[1 + \varepsilon\cos(\theta - \theta_0)\right]$ ; $\varepsilon = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{k^2m}}$ ; $L = mr^2\frac{d\theta}{dt}$