Балкански 2015, Теория — Задача 1. Plasmons localisés et force de Casimir

1.1 Force entre deux dipôles

On considère quatre charges électriques 1, 2, 3 et 4 comme à la Figure1. Les charges 1 et 2 sont respectivement égales à $+q_A$ et $-q_A$, alors que les charges 3 et 4 sont respectivement $+q_B$ et $-q_B$. Les charges 1 et 2 sont rigidement accrochées l’une à l’autre par une tige de longueur $L$, et de même pour les charges 3 et 4. On appelle alors les ensembles $(1, 2)$ et $(3, 4)$ des dipôles.

1. Donner la force électrostatique $F_{1\to 3}$ qui s’exerce sur la charge 3 de la charge 1.

2. De même donner la force $F_{2\to 3}$ qui s’exerce sur la charge 3 de la charge 2.

3. Exprimer l’angle $\alpha$ (Figure 1) en fonction des distances $L$ et $D$. Quelle est la projection $F_{(2\to 3)x}$ ?

4. Donnez la résultante des projections des deux forces $F_{2\to 3}$ et $F_{1\to 3}$ selon l’axe des $Ox$. Que devient cette résultante si $L \ll D$ ? On rappelle la formule approchée : $(1-x)^{\beta} \approx 1-\beta x$ , valable pour $x \ll 1$.

5. De la même façon, donnez la résultante des projections sur $Ox$ des deux forces $F_{2\to 4}$ et $F_{1\to 4}$ qui agissent sur la charge 4 .

6. Donnez alors la force totale selon $Ox$ , $F_{tot}$ , avec laquelle l’ensemble $(1, 2)$ interagit avec l’ensemble $(3, 4)$. Cette force est elle attractive ou répulsive ? Exprimez cette force à l’aide des moments dipolaires $d_A = q_A.L$ et $d_B = q_B.L$.

7. Que peut-on dire pour la résultante des forces selon l’axe $Oz$ ?

8. Toujours dans l’approximation $L \ll D$ démontrez que le champ électrique $E(D)$ créé par les charges 1 et 2 au point $M$ (Figure 1) s’écrit $E(D) = \frac{d_A}{4\pi\varepsilon_0 D^3}$ et qu’il est orienté dans le sens négatif de l’axe $Oz$.

1.2 Dipôle induit par un champ externe

Modèle d’un métal : Les métaux sont constitués par des ions positifs figés dans l’espace et autant d’électrons mobiles (Figure 2.$a$ ). Souvent pour simplifier les problèmes, on oublie le caractère corpusculaire de la matière et on modélise les ions comme un fond de densité de charge $\rho+$ et les électrons comme une fluide incompressible de densité de charge $\rho-$ (Figure 2.$b$).

1. Soit un cube en métal (on va l’appeler nanoparticule dans la suite) de dimensions $1\mu m$ x $1\mu m$ x $1\mu m$ (Figure 3.$a$). La densité volumique des atomes est $n = 10^{23}cm^{-3}$. Quelle est la charge positive des ions dans ce cube ? On rappelle que la charge de l’électron est $e = 1{,}6.10^{-19}C$.

2. On considère maintenant que le nuage des électrons est légèrement décalé par rapport aux ions de la nanoparticule comme à la Figure 3.$b$, dans la direction selon $Oz$. Le décalage, noté $\Delta z$, est tel que $\Delta z \ll L = 1\mu m$, où $L$ est le côté de la nanoparticule. Il apparait donc des zones de charges d’espace non-compensées. Quelle est alors la densité de charges surfaciques$\sigma$ dans chaque zone ?

3. Quelle est la charge totale $Q$ dans ces zones ?

4. Quel est le champ électrique $E_{int}$ à l’intérieure de la nanoparticule ? Par mesure de simplification, on va considérer que le problème électrostatique a la même solution que le problème des plans parallèles infinis. On notera $\varepsilon_0$ la constante électrique (permittivité du vide).

5. Soit une nanoparticule initialement sans zones de charge d’espace. On applique un champ électrique extérieur $E_{ext}$ selon $Oz$. Alors il apparait des zones de charge d’espace telles que le champ extérieur est parfaitement compensé par le champ intérieur $E_{int}$. Montrer alors que le moment dipolaire induit $d_{ind} = Q.L$ s’exprime sous la forme : $d_{ind} = -\varepsilon_0 E_{ext} L^3$.

1.3 Oscillations plasma

On considère maintenant la nanoparticule, toujours dans la situation décrite dans la Figure 3.$b$, mais sans champ électrique extérieur. Le champ intérieur $E_{int}$ agit sur les électrons et tend à ramener le système à l’équilibre (i.e. recouvrement parfait entre les densités des ions et des électrons).

1. Pour modéliser cet effet, on va considérer que le champ $E_{int}$ agit sur un électron situé à l’extrémité de la zone de charge d’espace négative (point $M$, Figure 3.$b$). Montrer que l’équation du mouvement de l’électron est : $m_e\frac{d^2 z_M}{dt^2} = -\frac{e^2}{\varepsilon_0} n\Delta z$, avec $m_e = 9{,}1.10^{-31}kg$ la masse de l’électron, et $z_M$ sa position.

2. On va supposer que la position $z_M$ est toujours la frontière de la zone de charge d’espace : $z_M = L + \Delta z$ . Expliquez alors que la distribution des électrons oscille avec une fréquence $\omega_P$ appelée « fréquence plasma » préciser son équation.

3. Donnez la valeur numérique de la fréquence plasma ($\varepsilon_0 = 8{,}85.10^{-12}F/m$).

1.4 Forces de Casimir

1. On revient sur le cas statique décrit à la Figure 3.$b$. On considère maintenant le système comme un condensateur plan. Quelle est sa capacité $C$ ?

2. Donnez l’énergie électrique $W$ stockée dans le condensateur en function du moment dipolaire $d_P = Q.L$.

3. D’après les principes de la mécanique quantique, un système qui oscille à la fréquence $\omega_P$ à une énergie minimale possible égale à $\frac{\hbar\omega_P}{2}$ avec $\hbar = 1{,}05.10^{-34}J.s$ la constante de Planck. En utilisant la question précédente, exprimez le moment dipolaire $d_P$ de cet état en fonction de $L$, $\varepsilon_0$ et $\hbar\omega_P$.

4. On considère maintenant deux nanoparticules $A$ et $B$ identiques à une distance $D$ l’une de l’autre, comme à la Figure 4. Les nanoparticules sont cubiques de taille $L$ comme à la Figure 3.$a$, et on suppose que $L \ll D$ . Initialement aucune des particules n’est chargée. Ensuite dans la particule $A$ il apparait un dipôle spontané quantique $d_P$, comme calculé dans la question 1.4.3. En utilisant la question 1.1.8, quel est le champ électrique créé par ce dipôle au niveau de la nanoparticule $B$ ?

5. En utilisant le résultat de la question 1.2.5, donnez le dipôle induit dans la nanoparticule $B$.

6. En utilisant le résultat du 1.1.6, donner le la force $F$ qui apparait alors entre $A$ et $B$. Il s’agit d’une force d’origine purement quantique, appelée force de Casimir ou encore force de Van der Waals.

7. Calculer numériquement la force de Casimir en supposant que $L = 1\mu m$ et $D = 10\mu m$. Comparer avec le poids de chaque particule, en supposant qu’il s’agit de nanoparticules d’or de masse volumique $20g.cm^{-3}$.