BelPhO 1991, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-5

• $T_1' = \frac{(T_1 + T_2 - 2T_0)(2T_1 - T_2 - 2T_0)}{2(T_1 - T_0)},\quad T_2' = \frac{(T_2 - T_0)(T_1 + T_2 - 2T_0)}{2(T_1 - T_0)}$

  Формулы приведены так, как напечатаны в официальном решении.

В этой задаче необходимо использовать разумные предложения (которые, впрочем, формулируется в форме строгих физических законов).

Пусть освещенная сторона пластинки поглощает в единицу времени энергию $q_0$. В состоянии теплового равновесия эта энергия излучается в окружающую среду как с освещенной ($q_1$), так и с затемненной ($q_2$) стороны. Причем можно считать, что количество отданной теплоты пропорционально разности температур поверхности и окружающего воздуха.

Запишем условия теплового баланса

где $a$ — некоторая постоянная в рамках нашей задачи величина. Количество теплоты $q_2$, излучаемое затемненной стороной, переноситься внутри пластины. Этот поток теплоты пропорционален скорости изменения температуры с расстоянием

где $d$ — толщина пластины, $\kappa$ — некоторый постоянный коэффициент (он называется теплопроводностью), зависящий от свойств материала, из которого изготовлена пластина. Аналогичные соотношения можно записать для пластины толщиной $2d$.

где $T_2'$ и $T_1'$ — температуры освещенной и неосвещенной сторон пластины вдвое большей толщины.

Совместное решение системы уравнений (1)-(4) приводит к результату