BelPhO 1993, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-1

• Траектории точек — отрезки прямых (диаметры выреза); траектория точки A — диаметр выреза, проходящий через эту точку.

  Максимальная скорость в официальном решении не выписана.

Рассмотрим движение точки $A$. Пусть она переходит в точку $A_1$, $D$ — новая точка касания выреза. При таком повороте колеса на угол $\theta$ его центр сместится на угол $\varphi$ относительно центра выреза. Так как качение происходит без проскальзывания, то длины дуг $AD$ и $A_1D$ равны, то есть

или

Запишем координаты точки $A_1$

С учетом связи между углами $\theta$ и $\varphi$, получим

Таким образом, при изменении угла $\varphi$ от 0 до $2\pi$, $x$ изменяется от $2R$ до $-2R$, а $y$ при этом остается равным нулю. Иными словами траектория точки есть диаметр выреза, проходящий через точку. Аналогично можно показать, что траектории точек $B$ и $C$ также являются отрезками прямых (диаметрами). Какими, подумайте самостоятельно.