Съдържание

BelPhO 1997, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1997

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Могилев, 1997 г.)

Условие

На грампластинку, вращающуюся в горизонтальной плоскости с частотой 33 об./мин., попал жук. Радиус пластинки 20 см. Масса жука $m = 5{,}0\cdot 10^{-4}$ кг.

10-4-1. Какой должен быть минимальный коэффициент трения между пластинкой и лапками жука, чтобы он мог обежать пластинку по периметру за 10 с.

10-4-2. Завершив полный круг, жук направился к центру пластинки, двигаясь радиально с постоянной скоростью (относительно пластинки) 7,0 см / с. Найдите величину и направление силы трения, действующей на жука, когда он находился на расстоянии 15 см от центра.

10-4-3. Какую работу совершил жук, перебежав от края пластинки к ее центру?

Отговори

Решение

10-4-1. В инерциальной системе отсчета (ИСО) относительно Земли жук движется с угловой скоростью

\omega = 2\pi n \pm \frac{2\pi}{T}.

Где знаки соответствуют движению жука по или против направления вращения пластинки.
Следовательно, его центростремительное ускорение

a = \omega^2 R = \left(2\pi n \pm \frac{2\pi}{T}\right)^2 R

Согласно основному закону динамики

ma = F_{\text{тр}} = \mu mg \Rightarrow \mu = \frac{a}{g} = \left(2\pi n \pm \frac{2\pi}{T}\right)^2\frac{R}{g}.

Расчеты приводят к следующим значениям: 0.34 для движения в сторону вращения и 0.16 для противоположного направления движения.

10-4-2. Ищем ускорение жука в ИСО. Центростремительное ускорение

a_1 = \omega^2R_1 = (2\pi n)^2R_1.

Вследствие вращения изменяется направление вектора скорости, т.е.

\Delta v = v\Delta\varphi = v\omega\Delta t,\quad a_2 = \omega v.

С изменением расстояния изменяется и тангенциальная составляющая скорости, что тоже приводит к появлению соответствующей составляющей ускорения

\Delta v = \omega(R + \Delta R) - \omega R = \omega\Delta R,\quad a_3 = \omega\frac{\Delta R}{\Delta t} = \omega v

направленной так же как и $a_2$ .
Векторное сложение ускорений позволяет определить полное ускорение

a = \sqrt{a_1^2 + (a_2 + a_3)^2} = \sqrt{(2\pi nR)^2 + 4\omega^2v^2} = 1{,}86\,\text{м} / \text{с}^{-2}.

Соответственно искомая сила трения равна

F_{\text{тр}} = ma = 9.3\cdot 10^{-4}\,\text{Н}.

Заметим, что решение данной задачи сводится к вычислению силы Кориолиса.

Дуга окружности с двумя векторами скорости v1 и v2 из одной точки, угол φ между ними; рядом треугольник векторов v1, v2 и их разность Δv с углом φ.

Дуга окружности и два параллельных вектора скорости v1 и v2 на разных расстояниях от центра; показана их разность Δv.

10-4-3. Для вычисления работы вспомним формулу

A = \vec F\cdot\vec S,

где $\vec F$ - мускульная сила жука. Теперь нужно учесть то, что сила жука при движении постоянно меняется по величине и по направлению, поэтому предлагается следующий способ вычисления

A = \sum_i \vec F_i\cdot\Delta\vec S_i = \sum_i F_i\cdot\Delta r_i\cdot\cos\alpha_i = \sum_i \Delta r_i(F_i\cos\alpha_i) = \{F_i\cos\alpha_i = ma_{1i}\} =

= \sum_i m\omega^2 r_i\Delta r_i = m\omega^2\sum_i r_i\Delta r_i = m\omega^2\frac{r^2}{2} = 1{,}19\cdot 10^{-4}\,\text{Дж}.

Окружность с центром (точка внизу) и прямоугольник ускорений: вектор a1 вдоль радиуса, вектор a2 + a3 перпендикулярно ему и результирующий вектор a по диагонали, угол α_i между a и a1.

Оригинал в Архива: 1997problems.pdf · официални решения: 1997solutions.pdf