Съдържание

BelPhO 1998, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1998

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Гомель, 1998 г.)

Условие

Для измерения скорости звука в воздухе была использована следующая установка: три одинаковых точечных источника звука с частотой $\nu = 2950\,\mathrm{Гц}$ расположены на одной прямой на расстоянии $d = 1{,}50\,\mathrm{м}$ друг от друга. Вдоль прямой, проходящей через центральный источник и перпендикулярной линии источников, проводят измерения громкости звука. Полученная зависимость громкости (в относительных единицах) от $x$ - расстояния до центрального источника приведена на графике. Определите по этим данным скорость звука с максимально возможной точностью. Оцените погрешность вашего результата.

Три громкоговорителя на одной вертикальной прямой на расстоянии d друг от друга; от центрального вдоль перпендикулярной прямой на расстоянии x расположен микрофон.

Зашумленный график громкости I (отн.ед.) от X (м) от 0 до 4: затухающие интерференционные максимумы, частые вблизи 0,5–1 м и все более редкие и слабые дальше.

Отговори

Решение

В данном случае наблюдается явление интерференции звуковых волн. На полученную зависимость громкости звука от координаты накладываются посторонние шумы, тем не менее, интерференционные максимумы прослеживаются достаточно четко. В предположении, что все источники излучают синфазно, условие максимума имеет вид - разность хода $\Delta l$ между волнами от $S_1, S_3$ и $S_2$ должна равняться целому числу длин волн:

\Delta l = \sqrt{x_k^2 + d^2} - x_k = k\lambda. \qquad (1)

Схема: источники S1, S2, S3 на вертикальной прямой на расстоянии d друг от друга; точка C на перпендикуляре из S2 на расстоянии x_n; отрезки S1C и S3C.

где $x_k$ - координата $k-$ го максимума. По представленному графику мы не можем определить порядок максимума, поэтому пронумеруем их в порядке следования $x_n$ . Определим по графику численные значения координат максимумов и для каждого из них по формуле (1) вычислим значение разности хода $\Delta l_n$ , тогда разности $\Delta l_n - \Delta l_{n-1}$ должны приближенно равняться длине звуковой волны. Зная длину волны $\lambda$ и ее частоту $\nu$ скорость волны $c$ можно вычислить по формуле

c = \lambda\nu. \qquad (2)

График громкости I (отн.ед.) от X (м) из условия с отмеченными вертикальными линиями положениями максимумов x1–x7.

Результаты обработки графика представлены на рисунке и в таблице.

$n$	$x_n$	$\Delta l_n$	$\Delta l_n - \Delta l_{n-1}$
1	0,53	1,06
2	0,75	0,93	0,13
3	0,98	0,80	0,13
4	1,27	0,69	0,11
5	1,68	0,57	0,12
6	2,20	0,46	0,11
7	3,02	0,35	0,11

Как следует из полученных результатов, сделанные предположения подтверждаются, различия в последнем столбце могут быть отнесены на счет неточностей снятия данных из исходного графика. Чтобы увеличить точность определения длины волны и оценить ее погрешность можно обработать данные последнего столбца стандартными методами обработки результатов измерений. В этом случае окончательный результат
$\lambda = (0{,}12 \pm 0{,}02)\,\mathrm{м}$ . Тогда скорость звука $c = (3{,}5 \pm 0{,}6)\cdot 10^2\,\mathrm{м/с}.$

Более предпочтительной является обработка графическим методом с использованием метода наименьших квадратов. Постоим график зависимости разности хода $\Delta l_n$ от номера $n$ .

Все точки этого графика ложатся на одну прямую, коэффициент наклона которой равен длине волны. Расчет этого коэффициента по методу наименьших квадратов приводит к результату

\lambda = (0{,}118 \pm 0{,}012)\,\mathrm{м}

Соответственно скорость звука

c = (3{,}5 \pm 0{,}3)\cdot 10^2\,\mathrm{м/с}

График зависимости разности хода Δl_n от номера n: семь точек (кружки) от примерно 1,06 до 0,35, лежащих на одной убывающей прямой; по оси n напечатаны отметки 1, 2, 3, 4, 4, 6, 7.

Как видите, графическая обработка приводит к тому же численному значению, но с меньшей погрешностью.

Строго говоря, из-за уменьшения амплитуды звуковых колебаний по мере удаления от источника положения максимумов интенсивности несколько отличаются от тех, которые следуют из формулы (1). Однако, эти смещения в данном случае меньше погрешностей определения координат максимумов по предложенному графику.

Кстати, данный график рассчитан в предположении синфазности, источников равной интенсивности. Корректно учтено убывание амплитуды волны, добавлен случайный шум на уровне нескольких процентов.

Оригинал в Архива: 1998problems.pdf · официални решения: 1998solutions.pdf