Съдържание

BelPhO 2003, Областен етап, 9–11 клас — Задача 11-3. «Пыль»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2003

Минская городская олимпиада по физике 2003 год

Внимание: Бележка към темата

В решениях задач 9-1 и 9-2 часть формул в исходном файле не отображается (пустые рамки). Решения задач 10 класса в архиве отсутствуют.

Условие

Плоский конденсатор образован двумя параллельными металлическими пластинами. Расстояние между пластинами $h$ значительно меньше размеров пластин. Площадь каждой пластины равна $S$ . Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения, величина которого равна $U$ . Между пластинами находится мелкая металлическая пыль. Каждую пылинка представляет собой металлический шарик радиуса $r$ и массы $m$ , средняя концентрация пылинок между пластинами равна $n$ .

Плоский конденсатор из двух параллельных пластин площадью S, подключенный к источнику напряжения U через ключ.

А) Найдите значение силы тока в цепи.

Б) Оцените время, в течение которого напряжение между пластинами уменьшится на $\eta = 1\%$ после размыкания цепи.

Действием силы тяжести пренебречь, воздух между пластинами отсутствует. Удары пылинок о пластины считать абсолютно неупругими.

Отговори

Решение

Перенос заряда между платинами осуществляется пылинками, которые заряжаются (и перезаряжаются) при соприкосновении с пластинами. Величину заряда пылинки $q$ можно найти из условия равенства потенциала шарика и пластины

\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} = \pm\frac{U}{2}, \quad \Rightarrow \quad |q| = 2\pi\varepsilon_0 rU. \qquad (1)

При оговоренных условиях пылинки будут двигаться равноускоренно, при чем максимальная их скорость может быть найдена из закона сохранения энергии

\frac{mv_{max}^2}{2} = qU, \qquad (2)

Тогда средняя скорость движения пылинок (учитывая, что начальная скорость равна нулю, а ускорение постоянно) определяется выражением

v_{ср} = \frac{v_{max}}{2} = \sqrt{\frac{qU}{2m}} = U\sqrt{\frac{\pi\varepsilon_0 r}{m}}. \qquad (3)

Следовательно, плотность тока между пластинами равна

j = qnv_{ср} = 2\pi\varepsilon_0 r\sqrt{\frac{\pi\varepsilon_0 r}{m}}\,nU^2, \qquad (4)

наконец, искомое значение силы тока

I = jS = 2\pi\varepsilon_0 r\sqrt{\frac{\pi\varepsilon_0 r}{m}}\,nSU^2. \qquad (5)

Отметим, что для рассматриваемой системы закон Ома не выполняется.

Этот же результат может быть получен из следующих рассуждений: Сила тока, по определению, равна $I = \frac{qN}{\tau}$ , где $\tau$ - время пролета пылинки от одной пластины до другой, которое находится из следующих соотношений $\tau = \sqrt{\frac{2h}{a}} = \sqrt{\frac{2hm}{qE}} = \sqrt{\frac{2h^2 m}{qU}}$ , что приводит к той же формуле (5).

Для оценки времени разрядки выразим заряд пластины $Q$ через напряжение между обкладками $Q = CU = \frac{\varepsilon_0 S}{h}U$ . Уменьшение напряжение на $\eta$ процентов, соответствует такому же уменьшению заряда на пластинах. Следовательно за искомое время $\Delta t$ , электрический ток должен «перенести» заряд $\eta Q$ , что приводит к уравнению

I\Delta t = \eta Q, \quad \Rightarrow \quad 2\pi\varepsilon_0 r\sqrt{\frac{\pi\varepsilon_0 r}{m}}\,nSU^2\Delta t = \eta\frac{\varepsilon_0 S}{h}U, \qquad (6)

из которого определяем время уменьшения заряда (заметим, что изменение заряда мало, поэтому напряжение можно считать постоянным и равным напряжению батареи):

\Delta t = \frac{\eta}{2\pi rnhU}\sqrt{\frac{m}{\pi\varepsilon_0 r}}. \qquad (7)

Оригинал в Архива: 3_etap_2003_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2003_solutions.pdf