BelPhO 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-1

• $x_{max} = \frac{\rho\varepsilon\varepsilon_0 q_0 U}{\beta h}$

Уравнение второго закона Ньютона для движущегося шарика имеет вид

где $qE$ - сила, действующая на шарик со стороны электрического поля, напряженность которого определяется формулой

Учитывая, что шарик легкий, а жидкость вязкая, можно считать, что в любой момент времени сумма сил, действующих на шарик равна нулю, то есть, выполняется соотношение

Получим уравнение, описывающее, изменение заряда шарика с течением времени. Очевидно, что заряд уменьшается вследствие наличия слабого тока, стекающего с шарика $\dfrac{\Delta q}{\Delta t} = -I$. Суммарная сила тока, стекающего с шарика, равна потоку вектора плотности тока $\vec{j}$

через любую замкнутую поверхность, окружающую шарик. По закону Ома плотность тока связана с напряженностью поля соотношением

Следовательно, поток вектора $\vec{j}$, выражается через поток вектора напряженности соотношением

в котором окончательное выражение получено с помощью теоремы Гаусса.

Заметим, что в выражение (2) диэлектрическая проницаемость жидкости не входит, а при выводе формулы (6) следует учесть поляризационные заряды, возникающие у поверхности шарика.

Таким образом, изменение заряда шарика описывается уравнением

Выразим из этого уравнения заряд шарика $q = -\rho\varepsilon\varepsilon_0\dfrac{\Delta q}{\Delta t}$ и подставим в уравнение (3) (в котором запишем $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$):

Максимальному смещению шарика соответствует его полная разрядка (в этом случае $\Delta q = -q_0$). Таким образом, из уравнения (8) следует, что максимальное смещение шарика равно $x_{max} = \dfrac{\rho\varepsilon\varepsilon_0q_0U}{\beta h}$.