Съдържание

BelPhO 2005, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-Т2. 9-2. Дробь Мюнхгаузена

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2005

Республиканская физическая олимпиада 2005 — заключительный этап, теоретический и экспериментальный туры, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полный оригинал: 33 страницы условий, 41 страница теоретических решений; 17 самостоятельных заданий (11T+6E), 99 нумерованных пунктов. Решения шести экспериментальных заданий отсутствуют в полном архивном комплекте. Исходные ошибки, противоречия, повторные номера и дефекты рисунков сохранены с отдельно указанными примечаниями читателя. Решения из архивного издания.

Условие

Согласно дошедшим до наших дней абсолютно правдивым рассказам барона, в старину для производства охотничьей дроби расплавленный свинец капали с высоких башен. Во время полета капля принимала сферическую форму под действием сил поверхностного натяжения и успевала остыть до температуры кристаллизации. Таким образом, на землю «с неба» (в буквальном смысле этого слова) сыпалась «готовая продукция»…

Надежное производство мелкой дроби радиусом $r_0=1{,}0\ \text{мм}$ обеспечивалось при минимальной высоте башни $h_1=50\ \text{м}$ . При меньших высотах капли свинца не успевали отвердевать.

Во время войны с «крупным неприятелем» барону потребовалось наладить производство крупной дроби радиусом $r_1=2{,}0\ \text{мм}$ .

При какой минимальной высоте новой башни $H$ это возможно?

Считайте, что капли жидкого свинца капают с башни при температуре плавления, а падают на землю полностью отвердевшими.

Решите эту задачу в двух случаях.

2.1 Пренебрегая силой сопротивления воздуха.

2.2 С учетом силы сопротивления воздуха.

Этот случай гораздо сложнее, поэтому немного вам поможем.

Описание падения тела с учетом сопротивления воздуха представляет собой достаточно сложную задачу: тело начинает двигаться с ускорением свободного падения; его скорость растет, а ускорение уменьшается; наконец, скорость тела достигает своего максимального значения, $u$ , далее тело движется равномерно с этой скоростью.

С хорошей точностью такое движение можно рассматривать как совокупность равноускоренного движения (с ускорением свободного падения), а по достижении скорости установившегося движения — движения равномерного.

На рисунке показана предлагаемая зависимость скорости от времени.

Предлагаемый график скорости падения от времени: u и τ

Наконец, еще несколько «подсказок».

Количество теплоты $Q$ , полученное (отданное) телом с площадью поверхности $S$ за промежуток времени $\Delta t$ :

Q=\alpha(T-T_0)S\Delta t,

где $(T-T_0)$ — разность температур тела и окружающей среды, $\alpha$ — коэффициент теплоотдачи, зависящий только от физических свойств контактирующих материалов. 2. Сила сопротивления воздуха зависит от скорости движения тела $v$ и описывается формулой

F_\text{сопр.}=C_x\frac12\rho_0v^2S_x,

где $S_x$ — площадь поперечного сечения тела, $\rho_0$ — плотность воздуха, $C_x$ — безразмерный коэффициент лобового сопротивления, для тел сферической формы $C_x\approx0{,}60$ . 3. Объем шара радиуса $r$ равен $V=\frac43\pi r^3$ , площадь его поверхности $S=4\pi r^2$ . 4. Плотность воздуха $\rho_0=1{,}2\ \text{кг/м}^3$ , плотность свинца $\rho_1=11\cdot10^3\ \text{кг/м}^3$ .

Решение

2.1 Поскольку силой сопротивления воздуха можно пренебречь, то дробинка будет свободно падать с башни высотой $h$ с ускорением свободного падения $g$ без начальной скорости. Для этого ей потребуется время

t=\sqrt{\frac{2h}{g}}.\qquad (1)

Поскольку температура свинца во время кристаллизации остается постоянной, то при радиусе дробинки $r$ за время полета (см. подсказку) она отдаст в окружающее пространство количество теплоты

Q=\alpha(T-T_0)St=\alpha(T-T_0)4\pi r^2t,\qquad (2)

где $T$ — температура плавления свинца, $T_0$ — температура окружающей среды. С другой стороны это количество теплоты может быть найдено из условия полной кристаллизации свинца за время полета

Q=m\lambda=\rho V\lambda=\rho\frac43\pi r^3\lambda,\qquad (3)

где $\rho$ и $\lambda$ — соответственно плотность и удельная теплота кристаллизации (плавления) свинца.

Приравнивая выражения (2) и (3), с учетом (1) найдем

h=\frac g{18}\left(\frac{\rho\lambda}{\alpha(T-T_0)}\right)^2r^2.\qquad (4)

Повторяя подобные рассуждения для «крупной» дроби, получим

H=\frac g{18}\left(\frac{\rho\lambda}{\alpha(T-T_0)}\right)^2R^2.\qquad (5)

Разделив (5) на (4), окончательно найдем

H=\frac{R^2}{r^2}h=\left(\frac Rr\right)^2h=200\ \text{м}=2{,}0\cdot10^2\ \text{м}.\qquad (6)

2.2 При описании падения «дробинки» с учетом силы сопротивления воздуха, заметим, что ее скорость $v(t)$ будет расти с переменным ускорением до некоторого установившегося значения $u$ , а далее падение будет равномерным.

Для оценки высоты башни $H$ в этом случае примем, что характер зависимости скорости дробинки от времени $v(t)$ имеет вид, представленный на рис. 21, т.е. состоит из участка равноускоренного движения длиной $S_1$ и участка равномерного движения длиной $S_2$ . Соответственно

S_1+S_2=H,\qquad (7)

где $S_1=\frac{u^2}{2g}$ , $S_2=u\left(t-\frac ug\right)$ , $t$ — искомое время падения с башни высотой $H$ в рамках данной модели. С учетом этого получаем

t=\frac Hu+\frac u{2g}.\qquad (8)

Рис.21: площади S₁ и S₂ под графиком v(t)

По условию задачи за время полета $t$ капля должна полностью кристаллизоваться. Из уравнения теплового баланса в этом случае имеем

\alpha(T-T_0)4\pi r^2t=\alpha(T-T_0)4\pi r^2\left(\frac Hu+\frac u{2g}\right)=m\lambda=\rho V\lambda=\rho\frac43\pi r^3\lambda.\qquad (9)

Из (9) найдем связь между высотой башни $H$ и описанными параметрами

H=\frac{\rho\lambda ru}{3\alpha(T-T_0)}-\frac{u^2}{2g}.\qquad (10)

Как следует из (10), одним из параметров, определяющих высоту башни является скорость $u$ установившегося падения капли. Для ее нахождения воспользуемся II законом Ньютона, согласно которому в этом состоянии сила тяжести должна быть равна по модулю силе сопротивления воздуха

mg=\frac{C_x}2\rho_0u^2\pi r^2.\qquad (11)

Из (11) с учетом того, что масса капли $m=\rho V=\rho\frac43\pi r^3$ , найдем

u=\sqrt{\frac83\frac{\rho gr}{C_x\rho_0}}.\qquad (12)

Используя выражения (10)–(12), для высоты башни $H_2$ , необходимой для производства «крупной» дроби радиусом $r_2$ , получим

H_2=\frac{r_2u_2}{r_1u_1}\left(H_1+\frac{u_1^2}{2g}\right)-\frac{u_2^2}{2g}.\qquad (13)

Вычисляя с помощью (12) скорости $u_1=19{,}9\ \text{м/с}$ и $u_2=28{,}3\ \text{м/с}$ и подставляя полученные значения в (14), окончательно найдем

H_2=1{,}6\cdot10^2\ \text{м}.\qquad (14)

Из сравнения (14) и (6) видим, что численное значение для высоты башни стало меньше в случае «равноускоренно-равномерного» движения. Это нисколько не удивительно, т.к. сила сопротивления воздуха создает «парашютный эффект», увеличивая время падения капли с данной высоты (средняя скорость падения уменьшается). Таким образом, капля успевает кристаллизоваться и при падении с меньшей высоты, чем в случае только равноускоренного движения.

В заключение заметим, что выражение (10) не имеет смысла при больших значениях $u$ , поскольку при этом высота башни $H$ получается отрицательной. Это имеет очевидный физический смысл — в нашей модели высота башни изначально предполагалась достаточной для того, чтобы капля «успела» разогнаться до постоянной скорости $u$ . В противном случае будет отсутствовать участок равномерного движения капли. Сформулируем критерий достаточности количественно

H\ge H^*=S_1.\qquad (15)

Original-reader source caveat

Entire retained41-page key contains THEORY only, grades9/10/11. Six distinct experimental assignments have no available matching key in the complete authenticated two-PDF archive folder. Do not invent solutions or report complete experimental key coverage.

Original-reader source caveat

Q7 limiter text references рис.12 while actual caption is Рис.4. Q4 boat caption is Рис.4 despite missing Рис.3; all original cross-references retained.

Original-reader source caveat

Grade9 key crate graph Рис.22 is referenced as рис.21 in prose; multimeter key contains native equation-number/reference errors, 0.11Ω minimum, 45A warning and absolute/relative current-error wording. Retain literal source with separately attributed discrepancy notes.

Original-reader source caveat

Grade10 Kaleidoscope key positive mgh work for uphill gravity, native disk angle80° in prose against90° question and sin45° result. Charged oscillator key contains native missing V, z0/z and fifth/sixth-power discrepancies, repeated equation8, relaxation missing τ and complete ungraded appended derivation; no silent correction.

Original-reader source caveat

Autopilot Q10 photograph occludes footnote ending in original PDF. Native key contains Fтяги=Pv prose versus P/v equation, acceleration units m/s, maximum-speed initial-acceleration denominator issue; retain printed source and distinguish actual source defect from renderer loss.

Original-reader source caveat

Grade11 scaling key dipole field coefficient omits factor2, ξ∈[1,0] order literal. Engine key has reused Table3, process3–4 heading versus3→0, missing ΔT/extra heat-capacity factors, literal friction terms and sign differences; include complete native Maxwell-integral supplement.

Original-reader source caveat

Magnetic regulation Q19 particle a is diameter but key volume uses 4πa³/3 as radius. Gauss lateral surface missing Δz; later denominator plus/minus and extra equals0 printed discrepancies retained.

Original-reader source caveat

Q27 apparatus native bitmap callout words intrinsically clipped inside original figure. Grade10 experimental magnet part4 repeats labels3.2/3.3; nativeLabel preserved and occurrence qualifier only if strict schema requires distinction. Grade11 magnet first printed1.2 and Fpm notation retained. Q33 вводы literal typo.

Титульные листы и состав полного комплекта

Республиканская физическая олимпиада. 2005 год. г. Гродно. Теоретический тур. 9 класс / 10 класс / 11 класс. Экспериментальный тур. 9 класс / 10 класс / 11 класс. Полные оригинальные титульные листы Q1/Q6/Q14/Q22/Q26/Q30, эмблемы и повторяющийся декоративный знак сохранены в оригинальном PDF. Весь комплект содержит 17 самостоятельных заданий: 11 теоретических и 6 экспериментальных, 99 нумерованных пунктов. Разные классы и связанные части каждого задания сохранены раздельно.

Original PDF text-layer footnote recovery

The complete native PDF text layer preserves the full credit footnote: «Эти данные любезно предоставлены Л.Г. Марковичем, за что выражаем ему искреннюю признательность.» The printed Q10 car photograph overlaps/occludes its ending. The credit is transcribed from retained original bytes, not invented from the incomplete rendered ending.

Повторяющиеся печатные номера

В задании 10-Э2 пункты четвертой части имеют напечатанные номера 4.1, 3.2, 3.3. Первые появления 3.2 и 3.3 сохранены, вторые отображаются как 3.2 (повтор), 3.3 (повтор), с исходными nativeLabel и порядком появления в метаданных. Это только указатель второго появления; оба запроса и их исходная нумерация сохранены. В задании 11-Э1 первый пункт действительно напечатан как 1.2. Слово «вводы» в конце Q33 сохранено буквально.

Additional literal source expressions

Magnetic regulation K36 numerical volume is printed with (10⁻⁴)³, while Q19 calls a a particle diameter and the key uses a as radius. The question defines f₀ as half the maximum force; K36 prints maximum 7.02·10⁻⁶ N and f₀ 3.56·10⁻⁶ N. Preserve these printed approximate values. Preserve all printed calculations without silent correction. The source engine tables are retained as complete native crops, including every cell, equation, units and repeated caption Table3.

Source scope and archive attribution

1 Sol ultra in one registered original-source pass. Entire available theory keys and ungraded oscillator K17–18 / Maxwell-integral K34 supplements retained. Exactly two PDFs in the complete authenticated archive folder; no experimental key, separate answer form or scheme companion. Archive edition authority only: independently verified organizer-hosted official provenance not established. No independent checker.

Оригинал в Архива: 2005problems.pdf · решение от архива: 2005solutions.pdf