Съдържание

BelPhO 2005, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-Т5. 9-5. Мультиметр Мюнхгаузена

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2005

Республиканская физическая олимпиада 2005 — заключительный этап, теоретический и экспериментальный туры, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полный оригинал: 33 страницы условий, 41 страница теоретических решений; 17 самостоятельных заданий (11T+6E), 99 нумерованных пунктов. Решения шести экспериментальных заданий отсутствуют в полном архивном комплекте. Исходные ошибки, противоречия, повторные номера и дефекты рисунков сохранены с отдельно указанными примечаниями читателя. Решения из архивного издания.

Условие

Согласно устоявшемуся и правдивому мнению барон навсегда останется символом борьбы за достижение невозможного, за преодоление с помощью смекалки стоящих перед нами ограничений, за решительное взятие немыслимых пределов и смелое расширение доступных диапазонов. По неоднократным признаниям самого барона (не будет же он нагло врать членам жюри республиканской олимпиады!) это и есть самый главный результат его скромных деяний…

Обычный амперметр с помощью нехитрых приспособлений можно превратить в т.н. многопредельный многофункциональный электроизмерительный прибор. Для этого необходимо, предварительно рассчитав величины сопротивления вспомогательных резисторов, определенным образом подсоединить их к амперметру. Считайте, что в вашем распоряжении имеется набор резисторов любых сопротивлений.

Электрическое сопротивление амперметра $R_0=1{,}0\ \text{Ом}$ , ток его максимального отклонения (максимальное значение тока, который может протекать через прибор) $I_{\max}=2{,}0\ \text{А}$ ; цена деления амперметра (и минимальное значение тока, который можно измерить) $\delta I=0{,}10\ \text{А}$ .

5.1 «Амперметр — амперметр»

С помощью амперметра необходимо измерять силу тока в цепи, подключенной к источнику постоянного напряжения $U_0=36\ \text{В}$ .

Цепь резистора R с источником постоянного напряжения U₀

Нарисуйте схему подключения амперметра для выполнения поставленной задачи.

В каких пределах может изменяться сопротивление цепи $R$ , чтобы в ней можно было измерить силу тока имеющимся амперметром?

Какова погрешность измерения тока, связанная с наличием сопротивления у амперметра?

Как «модифицировать» амперметр, чтобы им можно было измерять силу тока, в $n=5$ раз превышающую $I_{\max}$ ?

5.2 «Амперметр — вольтметр»

С помощью амперметра необходимо измерять напряжение на резисторе, подключенного к источнику постоянного тока $I_0=10\ \text{А}$ . При таком источнике сила тока в цепи не зависит от сопротивления внешней цепи.

Цепь резистора R с источником постоянного тока I₀

Как «модифицировать» амперметр, чтобы им можно было измерять напряжение на резисторе?

Нарисуйте схему подключения амперметра для выполнения поставленной задачи.

Установите связь между показаниями амперметра и измеряемым напряжением.

В каких пределах может изменяться сопротивление резистора $R$ , чтобы на нем можно было измерить напряжение имеющимся амперметром?

5.3 «Амперметр — омметр»

С помощью амперметра необходимо измерять сопротивления неизвестных резисторов. В вашем распоряжении имеется источник (батарейка) постоянного напряжения $U_0=4{,}5\ \text{В}$ , которое не зависит от сопротивления внешней цепи.

Нарисуйте схему подключения амперметра для выполнения поставленной задачи.

Какие сопротивления можно измерять с помощью имеющегося прибора?

Установите связь между показаниями амперметра и измеряемым сопротивлением.

Решение

5.1 «Амперметр — амперметр» Для измерения силы тока амперметр следует подключать в цепь последовательно. Минимальное $R_{\min}$ и максимальное $R_{\max}$ сопротивления цепи (т.е. суммарное сопротивление резистора и амперметра) должны соответствовать максимальному $I_{\max}$ и минимальному $\delta I$ значениям силы тока

R_{\min}=\frac U{I_{\max}}=18\ \text{Ом},\qquad R_{\max}=\frac U{\delta I}=0{,}36\ \text{кОм}.\qquad (1)

Соответственно пределы изменения сопротивления цепи в этом случае $R_{\min}\le R\le R_{\max}$ .

До включения амперметра сила тока на участке цепи, подлежащая измерению, была $I_x=\frac UR$ , где $U$ — напряжение источника, $R$ — сопротивление участка цепи. После включения в цепь амперметра сопротивлением $R_A$ сила тока несколько уменьшится до значения

I=\frac U{R+R_A}.\qquad (2)

Изменение силы тока $\Delta I$ по отношению к начальному значению тока в цепи и есть абсолютная погрешность измерения силы тока

\Delta I=I_x-I=\frac UR-\frac U{R+R_A}=\frac{R_A}{R(R+R_A)}U.\qquad (3)

Для расчета по формуле (5) из возможного диапазона сопротивлений выберем $R_{\min}$ , поскольку в этом случае погрешность максимальна

\Delta I=0{,}011=1{,}1\%.\qquad (4)

Для «модификации» амперметра с целью измерения токов, превышающих $I_{\max}$ , следует пустить часть тока «в обход» амперметра, т.е. присоединить параллельно ему резистор (шунт) с известным электрическим сопротивлением $R_\text{Ш}$ .

Тогда суммарную тока в цепи $I$ найдем как

I=I_0+I_\text{Ш},\qquad (5)

где $I_\text{Ш}$ — сила тока через шунт.

С силу параллельного включения падение напряжения на амперметре $U_A=I_0R_A$ и шунте $U_\text{Ш}=I_\text{Ш}R_\text{Ш}$ должны быть одинаковы. Из этого условия с учетом (1) получаем

I=nI_0=I_0+I_\text{Ш}=I_0\left(1+\frac{R_A}{R_\text{Ш}}\right)\Rightarrow R_\text{Ш}=\frac{R_A}{n-1}.\qquad (6)

В рассматриваемом случае

R_\text{Ш}=0{,}25\ \text{Ом}.\qquad (7)

5.2 «Амперметр — вольтметр» В случае использования источника тока, дающего фиксированное значение силы тока $I_0$ независимо от сопротивления цепи, традиционное (последовательное) включение амперметра не даст желаемого результата — он будет показывать всегда одно и то же значение силы тока — $I_0$ . Это можно понять, если учесть, что внутренне сопротивление источника тока равно бесконечности $r=\infty$ . Следовательно для измерения напряжения на резисторе ничего не остается, как очень аккуратно подключить амперметр параллельно резистору, хотя это и строжайше запрещено.

При таком подключении измеряемое напряжение $U$ на резисторе совпадает с напряжением на амперметре

U=I_AR_A.\qquad (8)

С учетом правила деления тока $I_0$ на резисторах

I_A=\frac R{R+R_A}I_0;\qquad I_R=\frac{R_A}{R+R_A}I_0,\qquad (9)

выражение (8) можем переписать в виде

U=I_AR_A=\frac{RR_A}{R+R_A}I_0.\qquad (10)

Подставляя в (9) для $I_A$ последовательно значения $I_{\max}$ и $\delta I$ , найдем диапазон изменения сопротивления резистора $R_{\min}\le R\le R_{\max}$ для случая источника тока

R=\frac{I_AR_A}{I_0-I_A}.\qquad (11)

Соответственно

R_{\min}=R(I_A=\delta I)=0{,}11\ \text{Ом},\qquad (12)

R_{\max}=R(I_A=I_{\max})=0{,}25\ \text{Ом}.\qquad (13)

5.3 «Амперметр — омметр» Для измерения сопротивления $R$ неизвестного резистора соединим последовательно батарейку, резистор и амперметр. Показания амперметра в этом случае (в соответствии с законом Ома)

I=I_A=\frac{U_0}{R+R_A}.\qquad (14)

Из (14) выразим неизвестное сопротивление

R=\frac{U_0}{I_A}-R_A.\qquad (15)

Для вычисления диапазона $R_{\min}\le R\le R_{\max}$ измеряемых сопротивлений в данном случае традиционно используем нижний $\delta I$ и верхний $I_{\max}$ пределы шкалы амперметра.

R_{\min}=R(I_A=I_{\max})=1{,}3\ \text{Ом},\qquad (16)

R_{\max}=R(I_A=\delta I)=44\ \text{Ом}.\qquad (17)

Следует заметить, что в данном случае категорически запрещено подключение амперметра параллельно резистору, т.к. ток через него составит $I=\frac U{R_A}=45\ \text{А}$ , что выведет прибор из строя.

Original-reader source caveat

Entire retained41-page key contains THEORY only, grades9/10/11. Six distinct experimental assignments have no available matching key in the complete authenticated two-PDF archive folder. Do not invent solutions or report complete experimental key coverage.

Original-reader source caveat

Q7 limiter text references рис.12 while actual caption is Рис.4. Q4 boat caption is Рис.4 despite missing Рис.3; all original cross-references retained.

Original-reader source caveat

Grade9 key crate graph Рис.22 is referenced as рис.21 in prose; multimeter key contains native equation-number/reference errors, 0.11Ω minimum, 45A warning and absolute/relative current-error wording. Retain literal source with separately attributed discrepancy notes.

Original-reader source caveat

Grade10 Kaleidoscope key positive mgh work for uphill gravity, native disk angle80° in prose against90° question and sin45° result. Charged oscillator key contains native missing V, z0/z and fifth/sixth-power discrepancies, repeated equation8, relaxation missing τ and complete ungraded appended derivation; no silent correction.

Original-reader source caveat

Autopilot Q10 photograph occludes footnote ending in original PDF. Native key contains Fтяги=Pv prose versus P/v equation, acceleration units m/s, maximum-speed initial-acceleration denominator issue; retain printed source and distinguish actual source defect from renderer loss.

Original-reader source caveat

Grade11 scaling key dipole field coefficient omits factor2, ξ∈[1,0] order literal. Engine key has reused Table3, process3–4 heading versus3→0, missing ΔT/extra heat-capacity factors, literal friction terms and sign differences; include complete native Maxwell-integral supplement.

Original-reader source caveat

Magnetic regulation Q19 particle a is diameter but key volume uses 4πa³/3 as radius. Gauss lateral surface missing Δz; later denominator plus/minus and extra equals0 printed discrepancies retained.

Original-reader source caveat

Q27 apparatus native bitmap callout words intrinsically clipped inside original figure. Grade10 experimental magnet part4 repeats labels3.2/3.3; nativeLabel preserved and occurrence qualifier only if strict schema requires distinction. Grade11 magnet first printed1.2 and Fpm notation retained. Q33 вводы literal typo.

Титульные листы и состав полного комплекта

Республиканская физическая олимпиада. 2005 год. г. Гродно. Теоретический тур. 9 класс / 10 класс / 11 класс. Экспериментальный тур. 9 класс / 10 класс / 11 класс. Полные оригинальные титульные листы Q1/Q6/Q14/Q22/Q26/Q30, эмблемы и повторяющийся декоративный знак сохранены в оригинальном PDF. Весь комплект содержит 17 самостоятельных заданий: 11 теоретических и 6 экспериментальных, 99 нумерованных пунктов. Разные классы и связанные части каждого задания сохранены раздельно.

Original PDF text-layer footnote recovery

The complete native PDF text layer preserves the full credit footnote: «Эти данные любезно предоставлены Л.Г. Марковичем, за что выражаем ему искреннюю признательность.» The printed Q10 car photograph overlaps/occludes its ending. The credit is transcribed from retained original bytes, not invented from the incomplete rendered ending.

Повторяющиеся печатные номера

В задании 10-Э2 пункты четвертой части имеют напечатанные номера 4.1, 3.2, 3.3. Первые появления 3.2 и 3.3 сохранены, вторые отображаются как 3.2 (повтор), 3.3 (повтор), с исходными nativeLabel и порядком появления в метаданных. Это только указатель второго появления; оба запроса и их исходная нумерация сохранены. В задании 11-Э1 первый пункт действительно напечатан как 1.2. Слово «вводы» в конце Q33 сохранено буквально.

Additional literal source expressions

Magnetic regulation K36 numerical volume is printed with (10⁻⁴)³, while Q19 calls a a particle diameter and the key uses a as radius. The question defines f₀ as half the maximum force; K36 prints maximum 7.02·10⁻⁶ N and f₀ 3.56·10⁻⁶ N. Preserve these printed approximate values. Preserve all printed calculations without silent correction. The source engine tables are retained as complete native crops, including every cell, equation, units and repeated caption Table3.

Source scope and archive attribution

1 Sol ultra in one registered original-source pass. Entire available theory keys and ungraded oscillator K17–18 / Maxwell-integral K34 supplements retained. Exactly two PDFs in the complete authenticated archive folder; no experimental key, separate answer form or scheme companion. Archive edition authority only: independently verified organizer-hosted official provenance not established. No independent checker.

Оригинал в Архива: 2005problems.pdf · решение от архива: 2005solutions.pdf