Съдържание

BelPhO 2005, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-Т1. 10-1. Калейдоскоп

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2005

Республиканская физическая олимпиада 2005 — заключительный этап, теоретический и экспериментальный туры, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полный оригинал: 33 страницы условий, 41 страница теоретических решений; 17 самостоятельных заданий (11T+6E), 99 нумерованных пунктов. Решения шести экспериментальных заданий отсутствуют в полном архивном комплекте. Исходные ошибки, противоречия, повторные номера и дефекты рисунков сохранены с отдельно указанными примечаниями читателя. Решения из архивного издания.

Условие

10-1. Калейдоскоп

1.1 «Масленица»

Мальчик медленно втаскивает небольшие санки массой $m=5{,}0\ \text{кг}$ на горки 1, 2 и 3 (рис. 1) одинаковой высоты $h=10\ \text{м}$ , но различных профилей. В каком из случаев сила тяжести совершит максимальную работу $A_{\max}$ ? Чему она равна? Ускорение свободного падения $g=9{,}8\ \text{м/с}^2$ .

Рис.1: три профиля горок одинаковой высоты h

1.2 «Паровой клапан»

Для вывода «избыточного» пара из скороварки применяется клапан в виде шарика радиуса $R=1{,}0\ \text{см}$ , перекрывающего отверстие радиуса $r=7{,}0\ \text{мм}$ (рис. 2). Давление пара в скороварке постоянно и равно $p=2{,}5p_0$ , где $p_0=1{,}0\cdot10^5\ \text{Па}$ — нормальное атмосферное давление. Найдите минимальную силу $\vec F_{\min}$ , с помощью которой можно открыть (вдавить) клапан для выхода избыточного пара из скороварки. Изменится ли ответ, если клапан будет иметь форму, отличную от сферической?

Рис.2: шаровой клапан, отверстие r и сила Fmin

1.3 «Дождевое сопротивление»

Оцените силу сопротивления, которую оказывает дождь на движущийся автомобиль, показанный на фотографии рядом с водителем. Считайте, что капли дождя падают вертикально, интенсивность дождя $30\ \text{мм/час}$ , скорость автомобиля $60\ \text{км/час}$ , рост водителя — 180 см.

Автомобиль рядом с водителем, исходная фотография с масштабными отметками по рамке

1.4 «Магнитный ограничитель тока»

Для размыкания электрической цепи при увеличении силы тока применяется подвижное тонкое полукольцо $OA$ (рис. 12) массы $m=3{,}0\ \text{г}$ радиуса $R=1{,}0\ \text{см}$ , которое может свободно (без трения) вращаться в вертикальной плоскости относительно точки $O$ . Система находится в однородном горизонтальном магнитном поле индукции $B=1{,}5\ \text{мТл}$ , перпендикулярном плоскости рисунка. Найдите максимальную силу тока $I_{\max}$ , при которой ограничитель разомкнет цепь. Ускорение свободного падения $g=9{,}8\ \text{м/с}^2$ .

Рис.4: полукольцо OA, радиус R, ток Imax и магнитное поле B

1.5 «Магнитный толкатель»

На горизонтальной плоскости лежит тонкий однородный диск массы $m=3{,}0\ \text{г}$ радиуса $R=3{,}5\ \text{см}$ , коэффициент трения которого о плоскость — $\mu=0{,}20$ . К боковой поверхности диска припаяны гибкие легкие контакты $A$ (+) и $B$ (−), так, что угол $\angle AOB=\alpha=90^\circ$ (рис. 5). Система находится в однородном вертикальном магнитном поле индукции $B=1{,}5\ \text{мТл}$ . При какой минимальной силе тока $I_{\min}$ через контакты диск сдвинется с места? В каком направлении это произойдет? Ускорение свободного падения $g=9{,}8\ \text{м/с}^2$ .

Рис.5: диск, контакты A и B, угол α и магнитное поле

Решение

1.1 «Масленица»

Поскольку гравитационные силы являются потенциальными, то их работа не зависит от траектории, а определяется только конечным и начальным положением материальной точки. Следовательно, во всех трех случаях сила тяжести совершит одинаковую работу

A_1=A_2=A_3=A_{\max}=mgh=4{,}9\cdot10^2\ \text{Дж}=0{,}49\ \text{кДж}.

1.2 «Паровой клапан»

На достаточно малый элемент поверхности шарика площадью $\Delta S_i$ , который можно считать участком плоскости, со стороны сплошной среды (в данном случае пара) действует нормальная элементарная сила давления $\vec F_i$ , модуль которой

F_i=p\Delta S_i,\qquad (1)

где $p$ — давление сплошной среды вблизи рассматриваемого участка поверхности. Для нахождения результирующей силы давления $\vec F_\text{Д}$ со стороны пара следует векторно просуммировать элементарные силы давления $\vec F_i$

\vec F_\text{Д}=\sum_{i=1}^\infty\vec F_i.\qquad (2)

В силу симметрии задачи можем заметить, что вектор $\vec F_\text{Д}$ направлен нормально границе раздела сред, поэтому для нахождения его модуля достаточно просуммировать только нормальные компоненты векторов $\vec F_{i\perp}$ , которые перпендикулярны границе раздела

F_\text{Д}=\sum_{i=1}^\infty F_i\cos\alpha_i=\sum_{i=1}^\infty p\Delta S_i\cos\alpha_i=p\sum_{i=1}^\infty\Delta S_i\cos\alpha_i.\qquad (3)

Заметим, что сумма (3) представляет собой сумму площадей проекций элементарных площадок $\Delta S_i$ на границу раздела сред. Следовательно, независимо от формы поверхности пробки она всегда будет равна площади отверстия $S_\text{о}$

\sum_{i=1}^\infty\Delta S_i\cos\alpha_i=S_\text{о}=\pi r^2.\qquad (4)

Иными словами сила давления, действующая на рассматриваемую поверхность произвольной формы равна по модулю и противоположна по направлению силе давления той же сплошной среды на плоскую поверхность отверстия. Данное обстоятельство позволяет легко найти искомую силу $\vec F_{\min}$

F_{\min}=p\pi r^2-p_0\pi r^2=(p-p_0)\pi r^2=1{,}5p_0\pi r^2=23\ \text{Н}.\qquad (5)

Как следует из (5), ответ не зависит от радиуса шарика $R$ , главное, чтобы он был «достаточен» для перекрытия отверстия, иначе шарик будет просто выброшен из скороварки силами давления пара. Результат (5) не изменится, если клапан будет иметь форму, отличную от сферической.

1.3 «Дождевое сопротивление»

Сила сопротивления возникает вследствие того, что при движении со скоростью $v=16{,}6\ \text{м/с}$ автомобиль «заметает» некоторое количество $\Delta N$ капель за промежуток времени $\Delta t$ , причем каждая капля «несет» с собой определенный импульс $\vec p_0$ .

Будем считать, что соударение капли с автомобилем носит неупругий характер, т.е. попав на автомобиль, далее капля движется вместе с ним (покоится относительно него). В системе отсчета, связанной с автомобилем, капли движутся вертикально со скоростью $u=10\ \text{м/с}$ и горизонтально (навстречу автомобилю) со скоростью $v$ . Пусть концентрация капель в дождевом потоке — $n$ , масса одной капли — $m_0$ , площадь поперечного сечения автомобиля (в направлении движения) — $S$ . Тогда количество капель, попавших на автомобиль за время $\Delta t$

N=nV=nSv\Delta t.\qquad (1)

Соответственно горизонтальный импульс этих капель (в системе отсчета, связанной с автомобилем)

p_x=m_0v\cdot N=m_0nSv^2\Delta t.\qquad (2)

Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме сила представляет собой «скорость изменения импульса»

F_x=\frac{\Delta p_x}{\Delta t}=\frac{p_x-0}{\Delta t}=\frac{p_x}{\Delta t}=\{(2)\}=m_0nSv^2.\qquad (3)

Интенсивность дождя $I=\frac{\Delta h}{\Delta t}$ также может быть выражена из элементарных соображений. Действительно, за время $\Delta t$ в неподвижное вертикальное метеорологическое мерное ведерко площадью поперечного сечения $S^*$ попадет количество капель

N=nV=nS^*u\Delta t.\qquad (4)

Это вызовет подъем уровня жидкости в ведерке на величину

\Delta h=\frac m{\rho S^*}=\frac{m_0N}{\rho S^*}=\frac{m_0nS^*u\Delta t}{\rho S^*}=\frac{m_0nu\Delta t}{\rho},\qquad (5)

где $\rho$ — плотность воды. Соответственно, для интенсивности дождя получаем

I=\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{m_0nu}{\rho}\Rightarrow m_0n=\frac{\rho I}u.\qquad (6)

Таким образом, окончательное выражение для силы дождевого сопротивления приобретает вид

F_x=\frac{\rho I}u Sv^2.\qquad (7)

Величину площади $S$ поперечного сечения автомобиля в направлении движения оценим из рисунка (для этого по периметру рисунка нанесена специальная градуировочная шкала) $S\approx1{,}5\ \text{м}^2$ . Окончательно

F_x=\frac{\rho I}u Sv^2=0{,}35\ \text{Н}.\qquad (8)

Столь неожиданно малое значение оценки для $F_x$ объясняется малой интенсивностью дождя (т.н. «грибной» дождь) и сравнительно небольшой скоростью автомобиля.

1.4 «Магнитный ограничитель тока»

На достаточно малый элемент полукольца длиной $\Delta l_i$ , который можно считать отрезком, действует сила Ампера $\vec F_i$

F_i=IB\Delta l_i.\qquad (1)

Сила Ампера $\vec F_j$ , действующая на симметричный элемент кольца $\Delta l_j$ , имеет такую же величину, поскольку в силу симметрии $\Delta l_i=\Delta l_j$ . Момент этой пары сил $M_{i+j}$ относительно точки $O$

M_{i+j}=2F_iR\cos\alpha_i=2IB\Delta l_iR\cos\alpha_i=(2IBR)\Delta l_i\cos\alpha_i.\qquad (2)

Соответственно, суммарный момент всех элементарных сил Ампера $\vec F_i$ относительно точки $O$ , поднимающий полукольцо вверх, найдем суммированием (2) по всем парам $(i+j)$

M=\sum_{i+j}^\infty(2IBR)\Delta l_i\cos\alpha_i=IBR\sum_{i+j}^\infty2\Delta l_i\cos\alpha_i.\qquad (3)

Сумма в (3) представляет собой сумму длин проекций пар элементарных участков на диаметр $OA$ , т.е.

M=IBR\sum_{i+j}^\infty2\Delta l_i\cos\alpha_i=IBR(2R)=2IBR^2.\qquad (4)

Ограничитель «сработает» (т.е. разомкнет цепь) при такой силе тока $I_{\max}$ , когда момент сил Ампера сравняется с моментом силы тяжести относительно точки $O$

mgR=2I_{\max} BR^2\Rightarrow I_{\max}=\frac{mg}{2BR}=9{,}8\cdot10^2\ \text{А}=0{,}98\ \text{кА}.\qquad (5)

1.5 «Магнитный толкатель»

Как следует из предыдущего пункта, сила Ампера, действующая на провод произвольной формы равна по модулю силе Ампера, действующей на отрезок, соединяющий его начальную и конечную точки.

Построить картину распределения элементарных токов $I_i$ по диску достаточно сложно, однако в силу предыдущего замечания для ответа на вопрос задачи этого и не требуется, поскольку все они начинаются в точке $A$ и заканчиваются в точке $B$ . Следовательно, для нахождения результирующей силы Ампера можно считать, что от точки $A$ к в точке $B$ течет прямой ток $I_{\min}$ . Теперь понятно, что диск сдвинется с места по направлению действия силы Ампера, т.е. по нормали к отрезку $AB$ в направлении к центру окружности. Это произойдет после того, как сила Ампера превысит по модулю силу трения покоя (на рис. $\alpha=80^\circ$ )

I_{\min} B\left(2R\sin\frac\alpha2\right)=\mu mg\Rightarrow I_{\min}=\frac{\mu mg}{2BR\sin\frac\alpha2}=\frac{56}{\sin45^\circ}\ (\text{А})=79\ \text{А}.

Original-reader source caveat

Entire retained41-page key contains THEORY only, grades9/10/11. Six distinct experimental assignments have no available matching key in the complete authenticated two-PDF archive folder. Do not invent solutions or report complete experimental key coverage.

Original-reader source caveat

Q7 limiter text references рис.12 while actual caption is Рис.4. Q4 boat caption is Рис.4 despite missing Рис.3; all original cross-references retained.

Original-reader source caveat

Grade9 key crate graph Рис.22 is referenced as рис.21 in prose; multimeter key contains native equation-number/reference errors, 0.11Ω minimum, 45A warning and absolute/relative current-error wording. Retain literal source with separately attributed discrepancy notes.

Original-reader source caveat

Grade10 Kaleidoscope key positive mgh work for uphill gravity, native disk angle80° in prose against90° question and sin45° result. Charged oscillator key contains native missing V, z0/z and fifth/sixth-power discrepancies, repeated equation8, relaxation missing τ and complete ungraded appended derivation; no silent correction.

Original-reader source caveat

Autopilot Q10 photograph occludes footnote ending in original PDF. Native key contains Fтяги=Pv prose versus P/v equation, acceleration units m/s, maximum-speed initial-acceleration denominator issue; retain printed source and distinguish actual source defect from renderer loss.

Original-reader source caveat

Grade11 scaling key dipole field coefficient omits factor2, ξ∈[1,0] order literal. Engine key has reused Table3, process3–4 heading versus3→0, missing ΔT/extra heat-capacity factors, literal friction terms and sign differences; include complete native Maxwell-integral supplement.

Original-reader source caveat

Magnetic regulation Q19 particle a is diameter but key volume uses 4πa³/3 as radius. Gauss lateral surface missing Δz; later denominator plus/minus and extra equals0 printed discrepancies retained.

Original-reader source caveat

Q27 apparatus native bitmap callout words intrinsically clipped inside original figure. Grade10 experimental magnet part4 repeats labels3.2/3.3; nativeLabel preserved and occurrence qualifier only if strict schema requires distinction. Grade11 magnet first printed1.2 and Fpm notation retained. Q33 вводы literal typo.

Титульные листы и состав полного комплекта

Республиканская физическая олимпиада. 2005 год. г. Гродно. Теоретический тур. 9 класс / 10 класс / 11 класс. Экспериментальный тур. 9 класс / 10 класс / 11 класс. Полные оригинальные титульные листы Q1/Q6/Q14/Q22/Q26/Q30, эмблемы и повторяющийся декоративный знак сохранены в оригинальном PDF. Весь комплект содержит 17 самостоятельных заданий: 11 теоретических и 6 экспериментальных, 99 нумерованных пунктов. Разные классы и связанные части каждого задания сохранены раздельно.

Original PDF text-layer footnote recovery

The complete native PDF text layer preserves the full credit footnote: «Эти данные любезно предоставлены Л.Г. Марковичем, за что выражаем ему искреннюю признательность.» The printed Q10 car photograph overlaps/occludes its ending. The credit is transcribed from retained original bytes, not invented from the incomplete rendered ending.

Повторяющиеся печатные номера

В задании 10-Э2 пункты четвертой части имеют напечатанные номера 4.1, 3.2, 3.3. Первые появления 3.2 и 3.3 сохранены, вторые отображаются как 3.2 (повтор), 3.3 (повтор), с исходными nativeLabel и порядком появления в метаданных. Это только указатель второго появления; оба запроса и их исходная нумерация сохранены. В задании 11-Э1 первый пункт действительно напечатан как 1.2. Слово «вводы» в конце Q33 сохранено буквально.

Additional literal source expressions

Magnetic regulation K36 numerical volume is printed with (10⁻⁴)³, while Q19 calls a a particle diameter and the key uses a as radius. The question defines f₀ as half the maximum force; K36 prints maximum 7.02·10⁻⁶ N and f₀ 3.56·10⁻⁶ N. Preserve these printed approximate values. Preserve all printed calculations without silent correction. The source engine tables are retained as complete native crops, including every cell, equation, units and repeated caption Table3.

Source scope and archive attribution

1 Sol ultra in one registered original-source pass. Entire available theory keys and ungraded oscillator K17–18 / Maxwell-integral K34 supplements retained. Exactly two PDFs in the complete authenticated archive folder; no experimental key, separate answer form or scheme companion. Archive edition authority only: independently verified organizer-hosted official provenance not established. No independent checker.

Оригинал в Архива: 2005problems.pdf · решение от архива: 2005solutions.pdf