Съдържание

BelPhO 2006, Заключителен етап — Задача 9-1.2. 9 класс — Задача 1.2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2006

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2006 — заключительный этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Complete63native pages, fifteen whole tasks grades9/10/11, full archive keys and supplements. Native formulas, numerical powers, signs, equation/figure references and source inconsistencies preserved with attributed notes; footnote6 body absent. Archive authority, no independently verified organizer provenance.

Условие

Задача 1.2

Цилиндрический проводник радиуса $r_1=2{,}0\ \text{мм}$ и длиной $l_1=50\ \text{см}$ (Рис. 1) при подключении к некоторому источнику постоянного напряжения нагрелся до максимальной температуры $t_1=57\ ^\circ\text{C}$ . До какой максимальной температуры $t_2$ нагреется этот же проводник, если его равномерно растянуть до длины $l_2=1{,}0\ \text{м}$ ? Известно, что мощность охлаждения $P_\text{охл}$ прямо пропорциональна разности температур проводника $t_i$ и окружающей среды $t_0=0{,}0\ ^\circ\text{C}$ , а также площади поверхности проводника $S$ :

P_\text{охл}=\alpha(t_i-t_0)S,

где $\alpha$ — некоторый постоянный для данного вещества коэффициент теплоотдачи.

Считайте, что при растяжении проводника его объем и удельное электрическое сопротивление не изменились.

Цилиндрический проводник радиуса r₁ и длины l₁

Решение

Задача 9.1.2

После замыкания электрической цепи вследствие выделения тепла Джоуля-Ленца температура $t$ проводника начнет расти. Однако как следует из условия, по мере роста температуры проводника будет увеличиваться и количество теплоты, отдаваемое им в единицу времени в окружающее пространство. Следовательно, при некотором значении $t_i$ мощность $P$ тепловыделения в проводнике сравняется с мощностью $P_\text{охл}$ тепловых потерь (охлаждения) через его поверхность, и дальнейший рост температуры в системе прекратится.

Запишем условие динамического равновесия $P_\text{охл}=P$ с учетом закона Джоуля-Ленца

\frac{U^2}{R}=\alpha(t_i-t_0)S,\qquad (1)

где $t_i$ — максимальная (установившаяся) температура проводника.

Подставляя в (1) выражения для сопротивления проводника $R=\rho\frac lS=\rho\frac l{\pi r^2}$ и площади его боковой поверхности $S=2\pi rl$ (теплоотдачей через торцы цилиндра пренебрегаем, т.к. $r\ll l$ ) получим

\frac{U^2}{\rho l}\pi r^2=\alpha(t_i-t_0)2\pi rl \Rightarrow t_i-t_0=\{t_0=0{,}0^\circ\text{C}\}=t_i=\frac{U^2r}{2\rho\alpha l^2},\qquad (2)

где $U$ — напряжение на проводнике. Поскольку объем проводника остается неизменным, то изменение длины проводника приводит к изменению его радиуса. Эта связь следует из выражения для объема

V=\pi r^2l\Rightarrow r=\sqrt{\frac V{\pi l}}.\qquad (3)

Подставляя, это выражение в формулу (2), для температуры проволоки получим

t_i=\frac{U^2}{2\rho\alpha l^2}\sqrt{\frac V{\pi l}}=\frac C{l^{5/2}}.\qquad (4)

где $C$ — постоянный для данных условий коэффициент. Записав два подобных соотношения для начальной конечной длины проводника и разделив их друг на друга, получим пропорцию

\frac{t_2}{t_1}=\frac{l_1^{5/2}}{l_2^{5/2}}.\qquad (5)

из которой следует ответ задачи

t_2=t_1\left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{5/2}\approx10^\circ\text{C}.

Уменьшение температуры проводника после растяжения вполне понятно и на качественном уровне: к этому ведет как падение мощности тепловыделения вследствие увеличения сопротивления, так и увеличение площади теплоотдачи (поверхности) проводника.

Отметим, что радиус проводника, заданный в условии задачи, не вошел в конечный результат. Однако малое численное значение этого параметра позволяет считать, что распределение тока внутри проводника является однородным.

Титульные листы и общие инструкции

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. К.С. Фарино. «___» марта 2006 г.

Республиканская физическая олимпиада 2006 год. г. Гродно. Теоретический тур. 9 класс / 10 класс / 11 класс.

Оргкомитет и Жюри заключительного этапа Республиканской олимпиады школьников 2006 года

приветствуют вас в городе Гродно;
поздравляют с успешным выступлением на предыдущих этапах олимпиады;
желают успехов на заключительном этапе.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Source scope and attribution

Fifteen whole tasks in distinct grades9/10/11; all native requests, complete available archive keys, extensions and original graphs preserved. Covers Q1/Q5/Q9 approval, instructions, emblem and repeated Alice/birds illustration retained in original PDFs. Authenticated event folder lists exactly this matching pair; no separate theory schemes, grading, response sheets or clarifications. Footnote6 marker K21 has no body in this complete source. Archive event authority; independently verified organizer-hosted provenance not established.

Original-reader source caveat

p1 K3 numerical lmin denominator prints1−0.2 although eta=0.8 and the preceding analytical expression uses1−eta; printed8.5cm is retained. K candle equation numbering skips5. Wire uses S both for section and surface; literal source notation retained.

Original-reader source caveat

p2 K6 negative-side equation1* prints x(t1)=−c(t0−t1). K7/K8 text prints tau=t1=t0 despite distinct signal times in the general model. K11 tau_min=−c²/(2a)+c/a=−c/(2a) has a dimension and arithmetic discrepancy; second factored image expression2.9 is also dimensionally inconsistent. Figure1.9/1.11/1.12 references and all superluminal multiple-image branches are literal native content.

Original-reader source caveat

p3 question hot inlet pressure p2 is labelled pB although B is the shared outlet junction and later source equations use hot inlet C. All rounding and backflow conditions retained.

Original-reader source caveat

p4 printed pulley key figure has an intrinsic caption/layout overlap at its lower border. Native circuit self-similarity transforms, alternate chain model and all root choices retained without drawing repair.

Original-reader source caveat

p5 K20 says push-off lasts more than an oscillation period by a factor10 although source t1≈0.1s and period1s; x20 instead of prior x1 is literal. Footnote marker6 at K21 has no footnote6 text anywhere in the complete packet. K24 h→−h instruction coexists with unchanged1+(1−h/L)² denominator; displayed numerical recurrence differs from Q h/L=0.10. Key gives final angular speed rather than a separate explicit Deltaomega result; no additional result invented.

Original-reader source caveat

p6 Q atomic chlorine mass35 differs from K35.5. K26 chloride/positive-charge wording conflicts with the alternating charge model. K27 repeated equation tags13/14/15 retained; ion-count label uses a formula-unit mass58.5. Supplement self-energy q²/(8piepsilon0r) corresponds to a charged shell although source calls uniformly charged sphere. Native model and dissolution estimate retained.

Original-reader source caveat

p7 Q magnetic constant prints mu0=1.26 H/m without10^-6. K30 density-ratio numerical line drops the different10^-8/10^-7 factors yet reports2cm. K29 repeats equation4; K32 references figure6 while displayed coordinates figure is4; K34 polarization text saysfigure2 besidefigure1, and K35 cites expressions2/6. All literal source cross-references and complete Lorentz-Lorenz supplement retained.

Original-reader source caveat

p8 K39 and K41 print omega0≈3pi h/v0, opposite dimensional quotient to phi=omega h/v0; K41 therefore prints omega0 proportional sqrt(m). K39 tau0≈2pi n lacks a frequency divisor. K40 cosine addition expression41 has a minus where the subsequent exact-phase form has plus. All stated approximations, exact-extremum derivation and four original3D graph views retained literally.

Original-reader source caveat

p9 K45 equation8 prints N0=N−N0 rather than N−N1; intermediate outgoing-intensity expression lacks Deltax that reappears in transmittance10. K46/47 equations13/17 retain A Deltat after other time factors are cancelled, whereas18 onward uses A. All threshold/output expressions and diagrams are native and no source solution silently corrected.

Additional literal source caveats

K39 equation35 actually prints DeltaEmax=eU1(2/3)pi, with pi outside the fraction; this differs from the later alpha0.217. K40 exact-phase expansion prints cos(omega Deltatau0). K22 phase estimate tg(phi)≈0.06 is preserved. These are literal printed source expressions, not silent repairs.

Native warmup assignment heading — 9 класс

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Native warmup assignment heading — 10 класс

Задание 10. 1. «Разминка»

Native warmup assignment heading — 11 класс

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Оригинал в Архива: 2006problems.pdf · решение от архива: 2006solutions.pdf