Съдържание

BelPhO 2007, Областен етап, 9–11 клас — Задача 8. 11-2. Динамик

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2007

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит восемь целых задач для 9–11 классов (3+3+2). Включены все условия, таблицы, подсказки, примечания и полные решения с альтернативными способами. 45 напечатанных конечных меток (6+3+4+5+7+7+10+3); каталог указывает51 и может иначе считать составные запросы. Исходные данные и формулы сохранены.

9-1. Рабочая разминка. Примечание к источнику: в подсказке сумма квадратов содержит n+2 вместо 2n+1; эта формула и ее применения сохранены. Ключ печатает 24,2 кДж для пирамиды, 100 кДж для насоса и 820 кДж для песка, хотя они не согласуются с исходными расчетами/данными. Номер (17) отсутствует. Метки 2.1/2.2 решения насоса сохранены при 1.2.1/1.2.2 условия.

9-2. Водная феерия. Примечание к источнику: в последней дроби формулы (3) для первой фазы ключа напечатано 6300+2,1m, тогда как предшествующий знаменатель равен 2,1(300+m); оба исходных выражения сохранены.

9-3. Опыт Араго. Примечание к источнику: ответ на вопрос 4 разбит в ключе на пункты 4 и 5; все исходные объяснения сохранены в одной задаче.

10-1. Просто разминка. Примечание к источнику: в формуле (9) напечатано t₂=φR/v₁, а следующая формула использует v₂. Итог φ₁₃=π/5≈72° противоречит равенству π/5=36° и предыдущему φ=2π/5; исходные формулы, число и рисунок сохранены.

10-2. Вес и сжатие. Примечание к источнику: вводный текст использует ΔV/V₀, а формула ΔV/V. Ссылки ключа на номера (2), (4), (8) сохранены как напечатано; первая дробь формулы (6) давления не содержит g, хотя следующий член его содержит.

10-3. Осторожней на поворотах. Примечание к источнику: в формуле (6) ключа обе стороны напечатаны с φП и передними нагрузками, тогда как предшествующая формула содержит задние индексы. Формулы и исходные индексы сохранены.

11-1. Взрывная эмиссия. Примечание к источнику: NА в условии напечатано 6,023 моль⁻¹ без множителя 10²³, а численный ответ ключа равен 6,62·10²⁸ м⁻³. В 3.1 ключа C=(T₁−T₂)/l при неопределенном T₂; следующая формула использует T₁−T₀. В 4.3 сохранены исходные несогласованные названия случаев и пустая ссылка «условие ()». В 4.4 интеграл использует j(T), несмотря на предыдущее различие jвнутри=2jповерхн; исходное время 2,6 мкс сохранено.

11-2. Динамик. Примечание к источнику: знаки силы и двигательной ЭДС в ключе приводят к β−g²/R; исходные знаки, все коэффициенты и численные ответы сохранены. На с.29 знак сравнения после R=4,0 Ом отображается пустым прямоугольником; это явно обозначено, отсутствующий символ не восстановлен предположением. Формула мгновенной электрической мощности содержит cosφ, как напечатано.

9 класс

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа республиканской олимпиады. _________________ К.С. Фарино. «____» декабря 2006 года.

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. 9 класс.

10 класс

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. 10 класс.

11 класс

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. 11 класс.

Условие

В данной задаче Вам предстоит рассмотреть работу простейшего динамического громкоговорителя (проще говоря, динамика).

Динамик представляет собой тонкую круглую упругую мембрану радиусом $r_d=10{,}0\,\text{см}$ , края которой жестко закреплены в круглой металлической рамке. К центру мембраны приклеена маленькая круглая проволочная катушка радиусом $r=10{,}0\,\text{мм}$ , числом витков $N=100$ , индуктивностью $L=1{,}0\,\text{мкГн}$ и сопротивлением $R=4{,}0\,\text{Ом}$ . Масса катушки $m=50{,}0\,\text{г}$ (масса мембраны гораздо меньше массы катушки). Катушка может совершать вместе с мембраной колебания в вертикальной плоскости, причем собственная частота колебаний (т.е. частота колебаний в вакууме) равна $f_0=30\,\text{Гц}$ . При колебаниях в воздухе мембрана создает звуковые волны, при этом на нее действует сила сопротивления, пропорциональная мгновенной скорости движения катушки $F_{\text{сопр}}=-\beta v$ , коэффициент $\beta=2\gamma P_0S/c$ , где $\gamma=7/5$ — показатель адиабаты, $P_0=1{,}0\cdot10^5\,\text{Па}$ — атмосферное давление, $c=333\,\text{м/с}$ — скорость звука в воздухе, $S$ — площадь мембраны. Силы вязкого трения считайте пренебрежимо малыми.

Полный динамик: рамка/мембрана/катушка/магнит/B/z/epsilon(t)/клеммы.

Проволочная катушка находится в магнитном поле постоянного магнита, при этом ось катушки и ось симметрии магнитного поля совпадают. Вертикальная составляющая индукции магнитного поля вблизи катушки равна $B_z=B_0(1-\alpha z)$ , причем коэффициенты $B_0=1{,}0\,\text{Тл}$ , $\alpha=100\,\text{м}^{-1}$ , а координата $z$ отсчитывается от положения равновесия катушки.

1 Через катушку протекает постоянный ток $I$ . Найдите силу $F_A$ , действующую на катушку со стороны магнитного поля.

2 К катушке приложили ЭДС, изменяющуюся по закону $\varepsilon(t)=\varepsilon_0\cos\omega t$ . Найдите амплитуду установившихся колебаний катушки $A$ . Изобразите примерный график зависимости $A(\omega)$ . Определите амплитуду колебаний при частоте переменного напряжения $f=30\,\text{Гц}$ и амплитуде $\varepsilon_0=1\,\text{В}$ .

3 К катушке приложили ЭДС, изменяющуюся по закону $\varepsilon(t)=\varepsilon_0\cos\omega t$ . Найдите среднюю звуковую мощность $P_{\text{зв}}$ , излучаемую динамиком. Определите максимальную звуковую мощность $P_{\text{зв}\max}$ , если амплитуда напряжения $\varepsilon_0=1\,\text{В}$ . На какой частоте она достигается? Оцените максимальный КПД $\eta_{\max}$ динамика. Определите рабочий диапазон динамика. Изобразите примерный график зависимости звуковой мощности от частоты переменного напряжения $P_{\text{зв}}(\omega)$ (или $P_{\text{зв}}(f)$ ).

Примечания.

В данной задаче приняты следующие обозначения для частот: $f$ — циклическая частота (измеряется в Гц), $\omega$ — угловая частота (измеряется в с⁻¹), $\omega=2\pi f$ .
КПД динамика — отношение излучаемой звуковой мощности к потребляемой электрической мощности.
Рабочий диапазон динамика — интервал частот, на границах которого мощность в 2 раза меньше максимальной мощности.
Человеческое ухо способно воспринимать звук частотой от 20 Гц до 20000 Гц.

Решение

1. Сила Ампера.

Очевидно, что если катушка с током находится в однородном вертикальном магнитном поле, то равнодействующая сил Ампера, действующих на разные части катушки, равна нулю. Для возникновения ненулевой вертикальной составляющей силы Ампера необходимо, чтобы существовала радиальная составляющая магнитного поля — магнитное поле должно быть неоднородным. (1)

Вся катушка/токI/магнитноеB/все силыАмпера.

Определим радиальную составляющую магнитного поля. Выделим в пространстве воображаемый цилиндр, совпадающий с катушкой, высотой $\Delta z$ и радиусом $r$ . Полный магнитный поток через замкнутую поверхность цилиндра равен нулю

\Phi_B=0.

B_z(z+\Delta z)\pi r^2+B_r2\pi r\Delta z-B_z(z)\pi r^2=0.

Отсюда

B_r=\frac{B_z(z)-B_z(z+\Delta z)}{2\Delta z}r=-\frac r2\frac{dB_z}{dz}.

B_r=\frac{\alpha B_0r}2.\qquad (2)

Полный цилиндр потока: Bz(z+Delta-z)/Bz(z)/Br/все направления.

Тогда вертикальная составляющая силы Ампера, действующая на катушку, равна

F_A=2\pi rNIB_r=2\pi rNI\frac{\alpha B_0r}2=\alpha B_0\pi r^2NI.\qquad (3)

Поскольку магнитное поле симметрично относительно оси $Oz$ , равнодействующая горизонтальных составляющих силы равна нулю.

2. Амплитуда колебаний.

Переменное напряжение, поданное на клеммы катушки, вызовет переменный ток в катушке, на нее начнет действовать сила Ампера, и катушка придет в движение. Рассмотрим силы, действующие на катушку.

Если собственная частота колебаний системы равна $\omega_0$ , то при отклонении катушки из положения равновесия на небольшое расстояние $z$ , на нее будет действовать упругая возвращающая сила

F_{\text{упр}}=-kz=-m\omega_0^2z.

Собственная частота колебаний для катушки равна $\omega_0=2\pi f_0=188\,\text{с}^{-1}$ .

Как было сказано в условии, при движении мембраны вместе с катушкой, создаются звуковые волны, при этом на мембрану действует сила сопротивления

F_{\text{сопр}}=-\beta v.

В данном случае коэффициент $\beta=2\gamma P_0S/c=26{,}4\,\text{кг/с}$ .

И ещё на катушку будет действовать сила Ампера, направление которой зависит от способа намотки катушки и направления тока в ней. Для определенности будем считать, что при приложении положительного постоянного напряжения ток течет так, что сила Ампера направлена вверх.

F_A=\alpha B_0\pi r^2NI.

Для удобства обозначим постоянный множитель перед силой тока $g=\alpha B_0\pi r^2N$ . В данном случае $g=3{,}14\,\text{Н/А}$ .

По второму закону Ньютона

ma=F_{\text{упр}}+F_{\text{сопр}}+F_A,\qquad (4)

ma=-m\omega_0^2z-\beta v+gI,

m\ddot z+\beta\dot z+m\omega_0^2z=gI.\qquad (5)

(точками сверху обозначены соответствующие производные по времени).

Рассмотрим, как связаны между собой сила тока и прикладываемое к катушке напряжение.

Внешняя ЭДС, прикладываемая к катушке равна $\varepsilon=\varepsilon_0\cos\omega t$ .
Переменное напряжение вызывает переменный ток, и в катушке, обладающей индуктивностью $L$ , возникает ЭДС самоиндукции $\varepsilon_{\text{си}}=-L\,dI/dt$ .
При движении катушки в магнитном поле, магнитный поток через нее изменяется, что приводит к возникновению ЭДС индукции

\varepsilon_{\text{инд}}=-\frac{d\Phi_B}{dt}=-\frac d{dt}\left(N\pi r^2B_0(1-\alpha z)\right)=\alpha B_0\pi r^2N\frac{dz}{dt}=g\dot z.

По закону Ома для полной цепи

RI=\varepsilon+\varepsilon_{\text{си}}+\varepsilon_{\text{инд}},\qquad (6)

RI=-L\frac{dI}{dt}+g\dot z+\varepsilon,

L\frac{dI}{dt}+RI=\varepsilon(t)+g\dot z.\qquad (7)

Итого, получилась система из двух связанных дифференциальных уравнений

\begin{cases}m\ddot z+\beta\dot z+m\omega_0^2z=gI,\\L\dfrac{dI}{dt}+RI=\varepsilon(t)+g\dot z.\end{cases}

Нас интересует решение, которое установится, в конце концов, при периодической внешней ЭДС $\varepsilon(t)=\varepsilon_0\cos\omega t$ . Ясно, что когда собственные колебания затухнут, сила тока и координата будут изменяться по гармоническому закону с такой же частотой, но другой начальной фазой.

В принципе, можно точно решить это уравнение, подставив в систему дифференциальных уравнений

I=I_0\cos(\omega t+\phi),\qquad z=A\cos(\omega t+\psi),

потом, продифференцировав, разложив тригонометрические функции и приравняв коэффициенты при соответствующих синусах и косинусах, но это даст систему из четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными, решение которой весьма получится достаточно громоздким и отнимет много времени и сил. Но нетрудно заметить, что если ток изменяется по закону $I=I_0\cos(\omega t+\phi)$ , то амплитуда слагаемого $RI$ будет равна $RI_0$ , а амплитуда слагаемого $L\,dI/dt$ будет равна $\omega LI_0$ . Даже на предельной для человеческого уха частоте $f=20\,\text{кГц}$ величина $\omega L=0{,}12\,\text{Ом}$ , тогда как $R=4{,}0\,\text{Ом}$ $\square$ $0{,}12\,\text{Ом}$ . Поэтому слагаемым $L\,dI/dt$ можно пренебречь, и система уравнений превращается в

\begin{cases}m\ddot z+\beta\dot z+m\omega_0^2z=gI,\\I=\dfrac{\varepsilon(t)+g\dot z}R.\end{cases}

Подставив ток в первое уравнение, получим обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами — уравнение вынужденных колебаний с затуханием:

m\ddot z+\beta\dot z+m\omega_0^2z=g\frac{\varepsilon(t)+g\dot z}R,

m\ddot z+\left(\beta-\frac{g^2}R\right)\dot z+m\omega_0^2z=\frac gR\varepsilon_0\cos\omega t,

\ddot z+\frac1m\left(\beta-\frac{g^2}R\right)\dot z+\omega_0^2z=\frac{g\varepsilon_0}{mR}\cos\omega t.

Для удобства обозначим $\chi=\frac1m(\beta-g^2/R)$ , $D=g\varepsilon_0/(mR)$ . Значение коэффициента $\chi=479\,\text{с}^{-1}$ . Значение коэффициента $D=15{,}7\,\text{м/с}^2$ при амплитуде внешнего напряжения $\varepsilon_0=1\,\text{В}$ .

Дифференциальное уравнение принимает вид

\ddot z+\chi\dot z+\omega_0^2z=D\cos\omega t.\qquad (8)

Нас интересует амплитуда напряжение. Решить это дифференциальное уравнение можно разными способами: подстановкой $z=A\cos(\omega t+\psi)$ , методом векторных диаграмм или методом комплексных амплитуд — это дело вкуса. В результате получается

A(\omega)=\frac D{\sqrt{(\omega^2-\omega_0^2)^2+(\chi\omega)^2}}.\qquad (9)

Если подставить выражения для всех коэффициентов, то получится весьма громоздкое выражение

A(\omega)=\frac{\dfrac{\alpha B_0\pi r^2N\varepsilon_0}{mR}}{\left[(\omega^2-(2\pi f_0)^2)^2+\left(\frac1m\left(\frac{2\gamma P_0S}c-\frac{(\alpha B_0\pi r^2N)^2}R\right)\omega\right)^2\right]^{1/2}},\qquad (10)

поэтому допустимо оставить выражение для амплитуды в более простом виде (9), предварительно оценив все коэффициенты.

При вынужденных колебаниях с затуханием на некоторой частоте вблизи собственной наблюдается резонанс (максимум амплитуды), который наступает при минимуме знаменателя.

(\omega^2-\omega_0^2)^2+(\chi\omega)^2=\min.

Исследуем выражение на экстремум стандартным способом.

\frac d{d\omega}\left[(\omega^2-\omega_0^2)^2+(\chi\omega)^2\right]=0,

2(\omega^2-\omega_0^2)2\omega+2\chi^2\omega=0,

\left(\omega^2-\left(\omega_0^2-\frac{\chi^2}2\right)\right)\omega=0.

Вторая производная исследуемой функции равна

\frac d{d\omega}\left[\left(\omega^2-\left(\omega_0^2-\frac{\chi^2}2\right)\right)\omega\right]=3\omega^2-\left(\omega_0^2-\frac{\chi^2}2\right).

У этого уравнения 3 корня $\omega_1=0$ и $\omega_{2,3}=\pm\sqrt{\omega_0^2-\chi^2/2}$ , правда, отрицательный корень физического смысла в себе не несет.

При небольшом затухании $(\omega_0^2>\chi^2/2)$ в точке $\omega_1=0$ локальный максимум (соответственно, минимум амплитуды), ведь вторая производная меньше нуля, а в точке $\omega_2=\sqrt{\omega_0^2-\chi^2/2}$ — локальный минимум (соответственно максимум амплитуды).

В случае же сильного затухания $(\omega_0^2<\chi^2/2)$ ситуация коренным образом меняется, поскольку уравнение $(\omega^2-(\omega_0^2-\chi^2/2))\omega=0$ имеет только один действительный корень $\omega_1=0$ , причем вторая производная в этой точке больше нуля, что означает минимум выражения и максимум амплитуды. Таким образом, при сильном затухании резонанса не наблюдается, и максимальная амплитуда соответствует нулевой частоте.

В нашем случае $\omega_0=188\,\text{с}^{-1}$ , а $\chi=479\,\text{с}^{-1}$ , соответственно мы имеем дело со случаем сильного затухания $(\omega_0^2<\chi^2/2)$ , поэтому максимум амплитуды приходится на нулевую частоту и примерный график зависимости должен выглядеть так, как изображено на рисунке.

Полный графикамплитуды,все оси/единицы/шкалы и полная подпись(11).

На частоте $f_0=30\,\text{Гц}$ $(\omega_0=188\,\text{с}^{-1})$ амплитуда равна $A=D/(\chi\omega_0)$ ,

A=1{,}74\cdot10^{-4}\,\text{м}=0{,}174\,\text{мм}.\qquad (12)

3. Звуковая мощность.

Как было сказано в условии, в связи с генерацией звуковых волн на мембрану действует сила сопротивления $F_{\text{сопр}}=-\beta v$ . Это значит, что мощность $P_{\text{зв}}^{\text{мгнов}}=\beta vv=\beta\dot z^2$ идет на создание звука. Таким образом, мгновенная звуковая мощность

P_{\text{зв}}^{\text{мгнов}}=\beta v^2=\beta[-\omega A\sin(\omega t+\psi)]^2=\frac{\beta\omega^2D^2}{(\omega^2-\omega_0^2)^2+(\chi\omega)^2}\sin^2(\omega t+\psi).\qquad (13)

Это мгновенная мощность, но с практической точки зрения, нас интересует средняя звуковая мощность, поэтому надо усреднить мгновенную мощность по периоду. Как известно, среднее значение $\sin^2(\omega t+\psi)$ по периоду равно $1/2$ . Итого,

P_{\text{зв}}(\omega)=\frac{\beta D^2}2\frac{\omega^2}{(\omega^2-\omega_0^2)^2+(\chi\omega)^2}.\qquad (14)

Исследуем $P_{\text{зв}}(\omega)$ на максимум.

\frac d{d\omega}\left[\frac{\omega^2}{(\omega^2-\omega_0^2)^2+(\chi\omega)^2}\right]=\frac{2\omega((\omega^2-\omega_0^2)^2+(\chi\omega)^2)-\omega^2(2(\omega^2-\omega_0^2)2\omega+2\chi^2\omega)}{[(\omega^2-\omega_0^2)^2+(\chi\omega)^2]^2}=0,

\omega[\omega^4+\omega_0^4-2\omega^2\omega_0^2+\chi^2\omega^2-2\omega^4+2\omega_0^2\omega^2-\chi^2\omega^2]=0,

\omega(\omega_0^4-\omega^4)=0,

\omega(\omega^2-\omega_0^2)(\omega_0^2+\omega^2)=0.

Физический смысл имеют решения $\omega_1=0$ (соответствует минимуму мощности) и $\omega=\omega_0$ (соответствует максимуму мощности). Итак, звуковая мощность максимальна на частоте

\omega=\omega_0=188\,\text{с}^{-1},\qquad (15)

при этом мощность равна

P_{\text{зв}\max}=\frac{\beta D^2}{2\chi^2}=0{,}0142\,\text{Вт}.\qquad (16)

Потребляемая электрическая мощность $P_{\text{эл}}=\varepsilon(t)I(t)\cos\phi$ , где $\phi$ — сдвиг фаз между током и напряжением. Сила тока $I=(\varepsilon(t)+g\dot z)/R$ . Оценим величину $g\dot z=-gA\omega\sin(\omega t+\psi)$ . Пренебречь ей можно, если амплитуда $g\omega A$ будет много меньше $\varepsilon_0$ . Как видно по графику, с ростом частоты $\omega$ амплитуда $A(\omega)$ убывает, причем при больших частотах обратно пропорционально квадрату частоты. При малых частотах $\omega A$ мало, при больших тоже мало, а в средних частотах имеет максимум. Выражение

g\omega A=\frac{Dg\omega}{[(\omega^2-\omega_0^2)^2+(\chi\omega)^2]^{1/2}}

ведет себя так, как изображено на рисунке.

Полный графикgomegaA,всеоси/единицы/шкалы и подпись.

Для оценки можно воспользоваться рассчитанным в предыдущем пункте значением $A$ на частоте $\omega_0=188\,\text{с}^{-1}$ .

g\omega_0A(\omega_0)=0{,}103\,\text{В}.

Поскольку в условии требуется не найти, а оценить величину КПД, можем пренебречь величиной $g\omega_0A(\omega_0)=0{,}103\,\text{В}$ по сравнению с $\varepsilon_0=1\,\text{В}$ , что приведет к тому, что значение КПД получится чуть завышенным.

Тогда потребляемая мгновенная мощность $P_{\text{эл}}^{\text{мгнов}}=\varepsilon_0^2\cos^2(\omega t)/R$ , а среднее значение потребляемой мощности

P_{\text{эл}}=\frac{\varepsilon_0^2}{2R}.\qquad (17)

Потребляемая электрическая мощность равна $P_{\text{эл}}=0{,}125\,\text{Вт}$ . Максимальный КПД равен

\eta_{\max}=\frac{P_{\text{зв}\max}}{P_{\text{эл}}}=0{,}113.\qquad (18)

Для нахождения граничных частот рабочего диапазона надо решить уравнение

P_{\text{зв}}(\omega_{\text{н,в}})=\frac{P_{\text{зв}\max}}2.\qquad (19)

\frac{\beta D^2}2\frac{\omega^2}{(\omega^2-\omega_0^2)^2+(\chi\omega)^2}=\frac12\frac{\beta D^2}{2\chi^2},

\omega^4-(2\omega_0^2+\chi^2)\omega^2+\omega_0^4=0,

\omega_{\text{в,н}}=\sqrt{\left(\omega_0^2+\frac{\chi^2}2\right)\pm\chi\sqrt{\omega_0^2+\frac{\chi^2}4}}.\qquad (20)

Верхняя граничная частота равна

\omega_{\text{в}}=544\,\text{с}^{-1}\quad\text{или}\quad f_{\text{в}}=86{,}6\,\text{Гц}.\tag{\text{21а}}

Нижняя граничная частота равна

\omega_{\text{н}}=65{,}0\,\text{с}^{-1}\quad\text{или}\quad f_{\text{н}}=10{,}3\,\text{Гц}.\tag{\text{21б}}

График зависимости звуковой мощности от частоты переменного напряжения изображен на рисунке.

Полный графикзвуковоймощности,половиннаялиния/обеграницы,всеоси/единицы/шкалы и подпись(22).

Как видно, исследованный нами динамик хорошо подходит для воспроизведения низких частот (басов).

Обложка решений

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. Решения задач.

Оригинал в Архива: 3_etap_2007_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2007_theoretical_solutions.pdf