Съдържание

BelPhO 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-3. 11 класс · Задание 3. «Охлаждение светом»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2007

Республиканская физическая олимпиада 2007 года — IV этап, теоретический тур, 9–11 классы

Исходные сведения

УТВЕРЖДЕНО
Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады, заместитель министра образования Республики Беларусь
_____________________ К.С. Фарино
«___» марта 2007 г.

Республиканская физическая олимпиада 2007 год. г. Минск. Теоретический тур.
9 класс.

Оргкомитет и Жюри заключительного этапа Республиканской олимпиады школьников 2007 года

приветствуют вас в городе Минске;
поздравляют с успешными выступлениями на предыдущих этапах олимпиады;
желают успехов на заключительном этапе.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь в оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Во всех задачах ускорение свободного падения считать равным $g=9{,}81\,\frac{м}{с^2}$ .

Условие

11 класс. Задание 3. «Охлаждение светом»

В 1997 году профессору Стивену Чу (Steven Chu), доктору Вильему Д. Филлипсу (William D. Phillips) и профессору Клоди Кохен-Танноуджи (Claude Cohen-Tannoudji) была присуждена Нобелевская премия «за разработку методов охлаждения и удержания атомов при помощи лазерного луча». Реализация такого эксперимента – очень непростая техническая задача. Однако основные теоретические принципы не так уж и сложны. Суть происходящих явлений можно легко понять, если хорошо знать школьную физику. В этой задаче Вам предстоит рассмотреть физические явления, приводящие к торможению (а значит и охлаждению) атомов, а также привести численные оценки основных величин.

Для проведения эксперимента необходима вакуумная камера, пучок атомов и лазер, способный излучать фотоны строго определённой энергии. Тонкий пучок атомов натрия ( $m=23\,а.е.м.$ ) запускается вдоль оси камеры (ось $Ox$ ), а навстречу ему направляют лазерный луч (см. рис. 1). Скорости атомов в пучке первоначально направлены вдоль оси камеры. В пучке существует некоторое распределение по скоростям, т.е. скорость некоторых атомов может значительно отличаться от средней скорости в пучке. Кроме того, будем считать пучок достаточно разреженным (т.е. можно пренебречь столкновениями атомов между собой), а интенсивность лазерного луча достаточно большой.

Рис. 1

Как известно, атомы могут поглощать фотоны определённой энергии и переходить в возбуждённое состояние. У атомов натрия первому возбужденному состоянию соответствует энергия $E_1=2{,}1\,эВ$ .

1 Какой энергией $E_Ф$ должны обладать фотоны в пучке, чтобы происходило их поглощение атомами, движущимися со скоростью $v_0=500\,м/с$ ?

2 Оцените, на сколько в среднем изменяется скорость движения этих атомов вдоль оси $Ox$ после излучения фотона.

3 Определите также максимальный угол отклонения этих атомов от направления $Ox$ .

4 Известно, что энергетический уровень возбужденного состояния натрия обладает некоторой шириной $\Delta E=4{,}4\cdot10^{-8}\,эВ$ (см. рис.2). Поэтому в поглощении фотонов с энергией $E_Ф$ будут участвовать атомы, скорости которых лежат в некотором промежутке $(v_0-\Delta v_0,v_0+\Delta v_0)$ . Определите $\Delta v_0$ .

Рис. 2

Из решения предыдущих пунктов становится ясно, что через некоторый, довольно маленький, промежуток времени диапазон $(v_0-\Delta v_0,v_0+\Delta v_0)$ опустеет. Для дальнейшего охлаждения необходимо слегка изменить частоту лазерного излучения.

5 Начнём охлаждение пучка с практически самых «горячих» атомов, движущихся со скоростью $v_{\max}=1000\,м/с$ . После их незначительного охлаждения будем слегка изменять частоту, тем самым захватывая в процесс охлаждения и более медленные атомы. Оцените время необходимое для практически полной остановки всего пучка. Оцените также расстояние вдоль оси $Ox$ , которое пролетят «горячие» атомы.

При малых скоростях, отклонения от направления движения становятся значительными и пучок быстро рассеивается. Для дальнейшего охлаждения атомы помещают в своеобразную ловушку, образованную шестью встречными лазерными лучами с энергией фотонов равной $E'_Ф=E_1-\Delta E/2$ (см. рис. 3).

Рис. 3

6 Оцените минимальную температуру атомов в такой ловушке.

Указание. В последнем пункте необходимо учитывать упругое рассеяние фотонов на атомах. Кроме того, нужно знать, что процесс поглощения фотонов происходит с определённой вероятностью. Можно считать, что вероятность поглощения практически равна единице в случае, когда частота налетающего фотона соответствует переходу ровно в центр возбуждённого состояния, т.е. переходу с энергией $E_1$ . И эта вероятность уменьшается до нуля для переходов с энергиями $E_1+\Delta E/2$ и $E_1-\Delta E/2$ .

Некоторые физические постоянные:

Заряд электрона $e=1{,}6\cdot10^{-19}\,Кл$ .

Постоянная Больцмана $1{,}38\cdot10^{-23}\,Дж/К$ .

Число Авогадро $N_A=6{,}02\cdot10^{23}\,моль^{-1}$ .

Постоянная Планка $h=6{,}62\cdot10^{-34}\,Дж\cdot с$ .

Решение

Задание 3. «Охлаждение светом»

1 Пусть скорость атома после поглощения равна $v_1$ . Запишем законы сохранения энергии и импульса в неподвижной системе координат:

\frac{mv_0^2}{2}+E_\Phi=\frac{mv_1^2}{2}+E_1,\qquad (1)

mv_0-\frac{E_\Phi}{c}=mv_1.\qquad (2)

Очевидно, что скорость изменится незначительно, поэтому справедливо следующее преобразование:

v_0^2-v_1^2=(v_0+v_1)\cdot(v_0-v_1)=2v_0(v_0-v_1).\qquad (3)

Приведём уравнения (1) и (2) к следующему виду:

mv_0(v_0-v_1)=E_1-E_\Phi,\qquad (4)

mc(v_0-v_1)=E_\Phi.\qquad (5)

Разделив (4) на (5), получим:

\frac{v_0}{c}=\frac{E_1}{E_\Phi}-1.\qquad (6)

Тогда:

E_\Phi=\frac{E_1}{1+v_0/c}=E_1\left(1-\frac{v_0}{c}\right),\qquad (7)

т.к. $\frac{v_0}{c}\ll1$ (8).

Результат (7) можно было получить сразу, если помнить про эффект Доплера. Т.е. при движении фотонов навстречу атомов, их энергия может быть несколько меньше, энергии резонансного поглощения атомов.

2 Т.к. энергия фотона отличается от $E_1$ на малую величину, то в закон сохранения импульса можно вместо $E_\Phi$ подставить $E_1$ и получить значение $\Delta v$ :

\Delta v=\frac{E_1}{mc},\qquad (9)

где

m=\frac{m_{Na}}{N_A}=3{,}8\cdot10^{-26}\ \text{кг}.\qquad (10)

Численное значение $\Delta v$ :

\Delta v=0{,}029\ \text{м/с}\approx3\ \text{см/с}.\qquad (11)

Полученное значение $\Delta v$ соответствует потери скорости в процессе поглощения. За поглощением последует излучение. Изменение скорости при излучении будет таким же. Однако при излучении фотон может вылететь в любом направлении и в среднем скорость вдоль $Ox$ не изменится.

В этом, собственно, и заключается принцип охлаждения.

3 Максимальное отклонение от направления движения, будет наблюдаться при излучении фотона в перпендикулярном направлении. Тогда отклонение от первоначального направления:

\alpha=\frac{\Delta v}{v_0}\approx6\cdot10^{-5}\ \text{рад}.\qquad (12)

Видим, что отклонение незначительно, поэтому может произойти много тысяч актов поглощения и испускания, прежде чем атом покинет пучок.

4 Для определения промежутка скоростей, в котором атомы могут поглощать фотоны с энергией $E_\Phi=E_1(1-v_0/c)$ , запишем следующее выражение:

\left(E_1+\frac{\Delta E}{2}\right)\cdot\left(1-\frac{v_0+\Delta v_0}{c}\right)=E_1\left(1-\frac{v_0}{c}\right).\qquad (13)

Преобразуя (13), при этом, отбрасывая очень маленькие величины (такие, как $\frac{\Delta E}{2}\frac{v_0}{c}$ и, тем более, $\frac{\Delta E}{2}\frac{\Delta v_0}{c}$ ), получим:

\Delta v_0=c\frac{\Delta E}{2E_1}\approx3\ \text{м/с}.\qquad (14)

Таким образом, в процессе охлаждения задействованы атомы, скорости которых лежат в довольно узком интервале. Приблизительно после 200 актов охлаждения, этот диапазон полностью опустеет. Необходимо слегка увеличивать частоту лазера, чтобы захватить также атомы с более низкими скоростями.

5 Интенсивность пучка достаточно высокая. Поэтому можно считать, что как только атом излучил фотон, он тут же поглотит следующий. Время жизни в возбуждённом состоянии находим и соотношения неопределённости:

\tau\approx\frac h{\Delta E}\approx10^{-7}\ \text{с}.\qquad (15)

Для охлаждения самых «горячих» атомов ( $v_{\max}=1000\ \text{м/с}$ ) потребуется

N=\frac{1000\ \text{м/с}}{0.03\ \text{м/с}}\approx3000\qquad (16)

Исходный рисунок — k11-3-native-cycles-16

циклов поглощение-излучение. Т.е. для полного охлаждения понадобится время

T=N\tau\approx3\cdot10^{-4}\ \text{с}.\qquad (17)

Таким образом, охлаждение светом — довольно быстрый процесс, длительность которого не более одной миллисекунды.

После каждого акта торможения, скорость в направлении $Ox$ уменьшается на $3\ \text{см/с}$ за время $10^{-7}\ \text{с}$ , т.е. можно сказать, что атомы двигаются с ускорением

a=\frac{\Delta v}{\tau}\approx3\cdot10^5\ \text{м/с}^2.\qquad (18)

Тогда путь, который пройдут «горячие» будет равен

S=\frac{v_0^2}{2a}\approx2\ \text{м}.\qquad (19)

6 При такой энергии фотонов, в процессе поглощения могут участвовать только атомы, скорости которых лежат в интервале $(0;2\Delta v_0)$ или $(0\ \text{м/с};6\ \text{м/с})$ . Причём при скорости $v=\Delta v_0=c\frac{\Delta E}{2E_1}\approx3\ \text{м/с}$ атомы поглощают фотоны, с энергией, соответствующей переходу в центр возбужденного состояния. В условии сказано, что в этом случае поглощение происходит практически со стопроцентной вероятностью. Для оценки, будем считать, что эта вероятность линейно уменьшается до нуля, для скорости 0 и 6 м/с (см. рис. 1).

Исходный рисунок — k11-3-absorption-probability

Для нас больший интерес представляет интервал до $3\ \text{м/с}$ , на котором зависимость вероятности поглощения от скорости атома задаётся выражением:

p(v)=\xi\cdot v.\qquad (20)

Необходимо уяснить, в чём принципиальная разница между процессами упругого и неупругого (поглощение) рассеяния. При поглощении, атом в среднем уменьшает свою скорость на величину $\Delta v=\frac{E_1}{mc}$ , т.е. кинетическая энергия изменяется на величину

\Delta E_-=mv\Delta v=E_1\frac vc.\qquad (21)

Разберёмся, что происходит при упругом столкновении атома и фотона. При этом фотон произвольно изменяет направление своего движения и сообщает атому определённый импульс в произвольном направлении. Упруго рассеянный фотон разогревает атом. Максимальное изменение импульса атома происходит при лобовом соударении ( $2E_\phi/c$ ). Можно считать, что в среднем атом получает импульс равный $E_\Phi/c$ . Причём направление этого импульса случайно, т.к. фотоны летят со всех сторон, поэтому среднее изменение импульса равно нулю. Однако увеличение кинетической энергии пропорционально среднему изменению квадрата импульса:

\Delta E_+=\frac{(\Delta p)^2}{2m}.\qquad (22)

Среднее значение $(\Delta p)^2$ не равно нулю. Для нашей оценки можно считать, что:

\langle\Delta p\rangle^2=N\frac{E_\Phi^2}{c^2}.\qquad (23)

Исходный рисунок — k11-3-native-average-23

Теперь надо определиться, что понимать под $N$ . На самом деле, это не только количество фотонов упруго рассеянных на атоме. Вспомним, что после поглощения, атом должен испустить фотон, а излучение также происходит в произвольном направлении. Т.е. $N$ — это суммарное количество фотонов, попавших на атом за некоторый промежуток времени.

Итак, пусть за некоторый промежуток времени с атомом взаимодействует $N$ фотонов. Все они приводят к среднему увеличению кинетической энергии на величину (23). Однако некоторая их часть приводит также и к охлаждению на величину (21). Число таких «охладителей» пропорционально вероятности процесса поглощения, т.е. пропорционально скорости атома:

N_-=N\cdot p(v)=N\xi v.\qquad (24)

Через некоторый промежуток времени в ловушке установится равновесие, т.е. атомы будут двигаться с такой скоростью, что будут поглощать фотонов ровно столько, чтобы скомпенсировать разогрев, вызванный случайными процессами рассеяния ( $\Delta E_-=\Delta E_+$ ). Т.е.

N\xi v\cdot E_1\frac vc=N\frac{E_\Phi^2}{2mc^2}.\qquad (25)

Из (25), считая, что $E_1\approx E_\Phi$ получим:

mv^2=\frac1\xi\frac{E_1}{2c}.\qquad (26)

Величину $\xi$ мы вводили, как коэффициент пропорциональности между $p$ и $v$ .

\xi=\frac1{\Delta v_0}=\frac{2E_1}{c\Delta E}.\qquad (27)

Подставляя это значение в (26), получим:

mv^2=\frac{\Delta E}{4}.\qquad (28)

Известна связь между кинетической энергией атомов и их температурой:

\frac{mv^2}{2}=\frac32kT.\qquad (29)

В итоге:

T=\frac1k\frac{\Delta E}{12}\approx0{,}1\frac{\Delta E}{k}\approx5\cdot10^{-5}\ \text{К}.\qquad (30)

Примечание к оригиналу

В оригинале сохранены девять отдельно напечатанных теоретических задач 9,10 и11 классов.39 пронумерованных запросов и два раздела с вопросами без отдельной нумерации; предварительное каталожное число40 не заменяет исходную структуру. Ключ кинематической диаграммы содержит пункты1–6 при пяти основных пунктах условия. Условие погоды пропускает номер2.2.3. Полные14 страницы условий и26 страницы доступного официального ключа переданы с исходными графиками и таблицами. В исходном ключе пять математических символов в формулах на страницах4,5 и19 изображены нечитаемыми прямоугольниками; они обозначены □ и сопровождаются исходными фрагментами без догадки об их значении. Сохранены печатные расхождения: повтор u₁ в последней формуле кинематической диаграммы; знак разности концентраций в условии и ключе; ε₀ и множители в нервной модели; Вт/см² и кВт/см² в описании бистабильности; степень T₀² в формуле(23) погоды; A₃ на схемах и A₁ в формулах; повторные номера/ссылки формул; N≈3000 и3·10⁻⁴с в ключе лазерного охлаждения. Научные значения и исходные ошибки не исправлены скрыто. Отдельная численная шкала оценивания, список авторов и внешние приложения в этом комплекте не напечатаны.

Оригинал в Архива: 2007problems.pdf · официални решения: 2007solutions.pdf