Съдържание

Условие Часть1. Описание взаимодействия двух молекул Часть2. Бесконечная цепочка молекул Часть3. Цепочка из трех молекул Часть4. Цепочка из пяти молекул Вопрос последний Решение

BelPhO 2012, Областен етап — Задача 10-3. В чем причина появления поверхностной энергии?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2012 — III этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

9whole assignments across9/10/11cohorts and76lowest native requests. Complete available archive keys, tables, graphs, reference data and all52figures retained. Native printed signs, units, numerical/label discrepancies and source omissions preserved with separately attributed reader notes. Resonance question9 height-detuning graph absent from key; solution marked incomplete without invention. No further theoretical companion listed.

Республиканская физическая олимпиада (III этап), 2012 год — Теоретический тур

А.И. Слободянюк

А.А. Мищук

В.И. Анцулевич

Л.Г. Маркович

Условие

В некоторых учебниках можно найти следующие рассуждения «молекулы на поверхности жидкости находятся в особых условиях, на них действует сила направленная внутрь жидкости. Благодаря этому приповерхностные слои оказываются сжатыми, а это приводит к увеличению суммарной энергии взаимодействия молекул. Эта избыточная положительная энергия и называется поверхностной энергией».

В данной задаче вам предлагается разобраться в истинных причинах возникновения поверхностной энергии.

Часть1. Описание взаимодействия двух молекул

Рассмотрим одномерную модель — цепочку шариков (молекул), взаимодействующих между собой по закону, близкому к закону взаимодействия молекул. Будем считать, что энергия взаимодействия двух молекул, находящихся на расстоянии $r$ , описывается функцией

U(r)=\frac a{r^{12}}-\frac b{r^6},\qquad (1)

где $a,b$ — известные постоянные величины. Потенциальная энергия принимается равной нулю при бесконечном расстоянии между молекулами.

1.1 Покажите, что функцию (1) можно представить в виде

U(r)=U_0\left(\left(\frac{r_0}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{r_0}{r}\right)^6\right),\qquad (2)

где $r_0$ — равновесное расстояние между молекулами, $-U_0$ — минимальная энергия взаимодействия молекул. Можно показать (вам этого делать не надо!), что такой энергии взаимодействия соответствует сила, определяемая формулой

F(r)=F_0\left(\left(\frac{r_0}{r}\right)^{13}-\left(\frac{r_0}{r}\right)^7\right),\qquad (3)

где $F_0=12U_0/r_0$ . Положительным направлением считается направление «наружу», то есть положительная сила соответствует отталкиванию молекул. На рисунке показаны графики функций (2) и (3) (Может, пригодятся!).

Графики исходных функций U/U0 и F/F0 от r/r0

1.2 Приведенные функции сложны и делают решение задачи слишком громоздким. Однако, в реальных средах относительные изменения расстояний между молекулами по сравнению с равновесными малы, поэтому с высокой точностью эти функции можно приближенно заменить линейными.

Для упрощения математических выкладок рекомендуем воспользоваться следующей приближенной формулой

(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x,\qquad (4)

справедливой при $|x|\ll1$ и любых (целых, дробных, положительных, отрицательных) степенях $\gamma$ .

Пусть расстояние между молекулами $r$ мало отличается от равновесного $r_0$ . Представим его в виде $r=r_0+r_0\varepsilon$ , где $\varepsilon$ — относительное изменение расстояния между молекулами, которое можно считать малым $|\varepsilon|\ll1$ . В общем случае, для расчета энергии и силы взаимодействия не только между ближайшими соседями удобно записать расстояние между молекулами в виде $r=nr_0+r_0\delta$ , где $\delta\ll1$ . Тогда энергию и силу взаимодействия можно рассчитывать по приближенным формулам

\begin{aligned}U(\delta)&=U_0(u_n+s_n\delta),\\F(\delta)&=F_0(f_n+c_n\delta).\end{aligned}\qquad (6)

Найдите численные значения коэффициентов $u_n,s_n,f_n,c_n$ для функций (2)–(3) для $n$ от1до5 с точностью до3значащих цифр. Результаты расчетов представьте в таблице (она потом вам поможет!).

В дальнейшем рассчитывайте энергию в единицах $U_0$ , а силу в единицах $F_0$ , или что равносильно, считайте $U_0=1,F_0=1$ . Энергию, измеренную в этих единицах, будем обозначать $w$ . Также рекомендуем пользоваться приближенными формулами, за исключением расчета энергии взаимодействия ближайших соседей, т.е. при $r=r_0+r_0\varepsilon$ . Проводите промежуточные численные расчеты с точностью до трех значащих цифр!

Часть2. Бесконечная цепочка молекул

2.1 При каких расстояниях между молекулами цепочка может находиться в равновесии?

2.2 Как можно найти, какое расстояние между молекулами установится по прошествии достаточно большого промежутка времени? Искать не надо, но скажите, как это можно сделать! Ответ на этот вопрос — $\varepsilon_0=+1{,}40\cdot10^{-3}$ .

2.3 Оцените с точностью до $10^{-3}$ потенциальную энергию $w_0$ , приходящуюся на одну молекулу.

Часть3. Цепочка из трех молекул

Вырвем из цепочки три молекулы.

Три молекулы с одинаковыми относительными расстояниями epsilon

3.1 Найдите относительное изменение расстояния между молекулами $\varepsilon$ .

3.2 Найдите изменение энергии взаимодействия между ближайшими молекулами $\Delta w_{12}$ (по сравнению с этой энергией в бесконечной цепочке).

3.3 Найдите изменение энергии взаимодействия между крайними $\Delta w_{13}$ (по сравнению с этой энергией в бесконечной цепочке).

3.4 Чему равно изменение полной потенциальной энергии трех «вырванных» молекул по сравнению с их полной энергией в бесконечной цепочке?

Часть4. Цепочка из пяти молекул

Вырвем из цепочки пять шариков.

4.1 Рассчитайте изменение энергии взаимодействия этих шариков между собой (по сравнению с этой энергией в бесконечной цепочке).

4.2 Чему равно изменение полной потенциальной энергии пяти «вырванных» молекул по сравнению с их полной энергией в бесконечной цепочке?

Вопрос последний

Вопрос последний Так в чем основная причина появления поверхностной энергии?

Решение

Задача10.3. В чем причина возникновения поверхностного натяжения?

Часть1. Описание взаимодействия двух молекул

1.1. Равновесному расстоянию соответствует минимум потенциальной энергии. Не сложно найти точку экстремума функции (1). Для этого обозначим $z=1/r^6$ . Для этой переменной функция (1) является квадратичной

U=az^2-bz.\qquad (1)

Точка минимума этой функции

z_0=\frac b{2a},\qquad (2)

следовательно, равновесное расстояние удовлетворяет условию

r_0^6=\frac{2a}{b}.\qquad (3)

Значение минимальной потенциальной энергии равно

U(z_0)=a\left(\frac b{2a}\right)^2-b\frac b{2a}=-\frac{b^2}{4a}=-U_0.\qquad (4)

Привести функцию (1) к виду можно разными способами, например, с помощью цепочки преобразований

\begin{aligned}U&=\frac a{r^{12}}-\frac b{r^6}=\frac1{r_0^{12}}\left(a\left(\frac{r_0}{r}\right)^{12}-br_0^6\left(\frac{r_0}{r}\right)^6\right)\\&=\frac1{r_0^{12}}\left(a\left(\frac{r_0}{r}\right)^{12}-b\frac{2a}b\left(\frac{r_0}{r}\right)^6\right)\\&=\frac a{r_0^{12}}\left(\left(\frac{r_0}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{r_0}{r}\right)^6\right)\\&=\frac{b^2}{4a}\left(\left(\frac{r_0}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{r_0}{r}\right)^6\right)=U_0\left(\left(\frac{r_0}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{r_0}{r}\right)^6\right).\end{aligned}\qquad (5)

1.2. Для проведения разложений функций сначала рассмотрим преобразование степеней в общем виде

\left(\frac{r_0}{r}\right)^\gamma=\left(\frac{r_0}{nr_0+r_0\delta}\right)^\gamma=\frac1{n^\gamma}\left(1+\frac\delta n\right)^{-\gamma}\approx\frac1{n^\gamma}-\frac\gamma{n^{\gamma+1}}\delta.\qquad (6)

Применение этой формулы к энергии взаимодействия (2) приводит к результату

\begin{aligned}U(nr_0+r_0\delta)&=U_0\left(\left(\frac{r_0}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{r_0}{r}\right)^6\right)\\&\approx U_0\left(\frac1{n^{12}}-\frac{12}{n^{13}}\varepsilon-\frac2{n^6}+\frac{12}{n^7}\delta\right)\\&=U_0\left(\left(\frac1{n^{12}}-\frac2{n^6}\right)+\left(\frac{12}{n^7}-\frac{12}{n^{13}}\right)\delta\right).\end{aligned}\qquad (7)

Следовательно, коэффициенты разложения равны

\begin{aligned}u_n&=\left(\frac1{n^{12}}-\frac2{n^6}\right)=-\frac2{n^6}\left(1-\frac1{2n^6}\right),\\s_n&=12\left(\frac1{n^7}-\frac1{n^{13}}\right)=\frac{12}{n^7}\left(1-\frac1{n^6}\right).\end{aligned}\qquad (8)

Аналогичное разложение для силы (3) дает

\begin{aligned}F(nr_0+r_0\delta)&=F_0\left(\left(\frac{r_0}{r}\right)^{13}-\left(\frac{r_0}{r}\right)^7\right)\\&\approx F_0\left(\frac1{n^{13}}-\frac{13}{n^{14}}\delta-\frac1{n^7}+\frac7{n^8}\delta\right)\\&=F_0\left(\left(\frac1{n^{13}}-\frac1{n^7}\right)+\left(\frac7{n^8}-\frac{13}{n^{14}}\right)\delta\right).\end{aligned}\qquad (9)

Коэффициенты этого разложения равны

\begin{aligned}f_n&=\left(\frac1{n^{13}}-\frac1{n^7}\right)=-\frac1{n^7}\left(1-\frac1{n^6}\right),\\c_n&=\left(\frac7{n^8}-\frac{13}{n^{14}}\right)=\frac7{n^8}\left(1-\frac{13}{7n^6}\right).\end{aligned}\qquad (10)

Результаты расчетов коэффициентов приведены в таблице(1).

Таблица1. Коэффициенты разложений.

$n$	$u_n$	$s_n$	$f_n$	$c_n$
1	$-1$	$0$	$0$	$-6$
2	$-3{,}10\cdot10^{-2}$	$9{,}23\cdot10^{-2}$	$-7{,}69\cdot10^{-3}$	$2{,}66\cdot10^{-2}$
3	$-2{,}74\cdot10^{-3}$	$5{,}48\cdot10^{-3}$	$-4{,}57\cdot10^{-4}$	$1{,}06\cdot10^{-3}$
4	$-4{,}88\cdot10^{-4}$	$7{,}32\cdot10^{-4}$	$-6{,}10\cdot10^{-5}$	$1{,}07\cdot10^{-4}$
5	$-1{,}28\cdot10^{-5}$ —	$1{,}54\cdot10^{-4}$	$-1{,}28\cdot10^{-5}$	$1{,}79\cdot10^{-5}$
сумма	$-1{,}03$	$9{,}87\cdot10^{-2}$	$-8{,}22\cdot10^{-3}$	$-5{,}97$

Отметим, что числа в верхней строке являются точными и… понятными: потенциальная энергия в минимуме равна-1, а коэффициент $s_n$ равен нулю, так это точка экстремума, сила в этой точке равна нулю. В нижней строчке приведены суммы этих коэффициентов, которые нам понадобятся в дальнейшем. Также важно отметить, что все эти коэффициенты быстро убывают с ростом $n$ , что соответствует быстрому убыванию как силы, так и энергии взаимодействия при увеличении расстояния между молекулами.

Часть2. Бесконечная цепочка молекул

2.1. Цепочка может находиться в равновесии при любых равных расстояниях между молекулами! Действительно, относительно любой молекулы остальные расположены симметрично. Поэтому суммарная сила, действующая на каждую молекулу равна нулю. Однако эти положения равновесия не будут устойчивыми.

2.2. Для поиска устойчивого равновесия необходимо найти положение минимума потенциальной энергии, приходящейся на одну молекулу.

Дополнение, не входящее в основное решение. Для нахождения экстремума (который будет находиться не слишком от точки $\varepsilon=0$ ) следует разложить формулу для потенциальной энергии до квадратичного слагаемого, используя следующий член в разложении степенной функции

(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x+\frac{\gamma(\gamma-1)}2x^2.

Для расстояния между молекулами, близкими к $nr_0$ , величина $\delta=nr_0$ , поэтому

\left(\frac{r_0}{r}\right)^\gamma=\left(\frac{r_0}{nr_0+nr_0\varepsilon}\right)^\gamma=\frac1{n^\gamma}(1+\varepsilon)^{-\gamma}\approx\frac1{n^\gamma}\left(1-\gamma\varepsilon+\frac{\gamma(\gamma+1)}2\varepsilon^2\right).

Применяя эту формулу к потенциальной энергии взаимодействия одной частицы с другой, находящейся на расстоянии близком к $nr_0$ , получим

\begin{aligned}U_n&=U_0\left(\left(\frac{r_0}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{r_0}{r}\right)^6\right)\\&\approx U_0\left(\frac1{n^{12}}(1-12\varepsilon+78\varepsilon^2)-\frac2{n^6}(1-6\varepsilon+21\varepsilon^2)\right)\\&=U_0\left(\left(\frac1{n^{12}}-\frac2{n^6}\right)+\left(\frac{12}{n^6}-\frac{12}{n^{12}}\right)\varepsilon+\left(\frac{78}{n^{12}}-\frac{42}{n^6}\right)\varepsilon^2\right).\end{aligned}

Далее, эту энергию следует просуммировать по всем $n$ от нуля до бесконечности. Такое суммирование приводит к следующему выражению для потенциальной энергии одной частицы

U_n=U_0(-1{,}03+0{,}0987\varepsilon+35{,}3\varepsilon^2).

Экстремум этой функции и соответствует значению $\varepsilon=+1{,}4\cdot10^{-3}$ , приведенному в условии задачи. Качественно этот результат понятен — притяжение дальних (на расстояниях больших $r_0$ ) соседей незначительно увеличивает расстояние между соседними молекулами.

2.3. Для вычисления энергии $w$ одной молекулы (точнее, приходящуюся на одну молекулу) необходимо просуммировать энергию ее взаимодействия со всеми молекулами и не забыть разделить ее на два, ведь энергия взаимодействия — это энергия пары молекул! Для такого суммирования можно воспользоваться приближенной формулой для энергии взаимодействия, поэтому

w=\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+s_n\varepsilon).\qquad (10)

Так как коэффициенты разложения очень быстро убывают, то можно получить результат с требуемой точностью, ограничив сумму пятью слагаемыми, в этом случае (с использованием коэффициентов из Таблицы1) получаем

w_0=\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+s_n\varepsilon)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n+\varepsilon\sum_{n=1}^{\infty}s_n=-1{,}03+1{,}4\cdot10^{-3}\cdot9{,}87\cdot10^{-2}\approx-1{,}03.\qquad (11)

Заметьте, что основной вклад в поправку (всего-то3%) дает взаимодействие с более далекими соседями, рассчитанной в предположении, что все молекулы находятся на расстоянии $r_0$ . Поправка на растянутость цепочки имеет порядок $10^{-4}$ .

Для проверки мы провели расчет по двадцати слагаемым: результат $w=-1{,}0343$ .

Часть3. Цепочка из трех молекул

3.1. Относительное изменение расстояния между молекулами $\varepsilon$ (здесь оно одинаково) можно найти, записав условие равновесия крайних молекул

F_{12}+F_{23}=0\quad\Rightarrow\quad c_1\varepsilon+f_2+2c_2\varepsilon=0.\qquad (12)

Решение этого уравнения дает следующее значение относительной деформации

\varepsilon=-\frac{f_2}{c_1+2c_2}\approx\frac{7{,}69\cdot10^{-3}}{-6+2\cdot2{,}66\cdot10^{-2}}\approx-1{,}29\cdot10^{-3}.\qquad (13)

Действительно, эта цепочка оказывается сжатой, но ее деформация крайне мала.

3.2. Рассчитаем энергию парного взаимодействия используя точную формулу

w_{12}=\left(\frac1{1+\varepsilon}\right)^{12}-2\left(\frac1{1+\varepsilon}\right)^6=\left(\frac1{1-1{,}29\cdot10^{-3}}\right)^{12}-2\left(\frac1{1-1{,}29\cdot10^{-3}}\right)^6\approx-1+6{,}0\cdot10^{-5}.

В то время к бесконечной цепочке она была равна

(w_{12})_0=\left(\frac1{1+\varepsilon}\right)^{12}-2\left(\frac1{1+\varepsilon}\right)^6=\left(\frac1{1+1{,}4\cdot10^{-3}}\right)^{12}-2\left(\frac1{1+1{,}4\cdot10^{-3}}\right)^6\approx-1+7{,}0\cdot10^{-5}.

Обратите внимание — эта энергия уменьшилась:

\Delta w_{12}\approx-1{,}0\cdot10^{-5}.\qquad (14)

3.3. Найдите изменение энергии взаимодействия между крайними $\Delta w_{13}$ молекулами можно рассчитывать по приближенной формуле

\begin{aligned}\Delta w_{13}&=(u_2+s_2\varepsilon)-(u_2+s_2\varepsilon_0)=s_2(\varepsilon-\varepsilon_0)\\&=2{,}66\cdot10^{-2}(-1{,}29\cdot10^{-3}-1{,}40\cdot10^{-3})\approx-7{,}1\cdot10^{-5}.\end{aligned}\qquad (15)

И эта энергия уменьшилась!

3.4. Таким образом, с точностью до3значащих цифр потенциальная энергия цепочки из трех зарядов равна энергии двух двойных связей, то есть $w=-2{,}00$ . А в исходной бесконечной цепочке эта энергия равнялась энергии трех молекул, поэтому изменение суммарной энергии равно

\Delta w=-2{,}0-3\cdot(-1{,}03)\approx+1{,}09.\qquad (16)

Часть4. Цепочка из пяти молекул

В этом случае относительные смещения частиц будут различаться, они обозначены на рисунке. Для определения этих смещений запишем условия равновесия двух первых молекул (аналогичные уравнению(12)):

\begin{aligned}c_1\varepsilon_1+f_2+c_2(\varepsilon_1+\varepsilon_2)+f_3+c_3(\varepsilon_1+2\varepsilon_2)+f_4+c_4(2\varepsilon_1+2\varepsilon_2)&=0,\\-c_1\varepsilon_1+c_1\varepsilon_2+f_2+c_2(\varepsilon_2+\varepsilon_2)+f_3+c_3(\varepsilon_2+\varepsilon_1)&=0.\end{aligned}\qquad (17)

Пять молекул с различными epsilon1 и epsilon2

Первое уравнение перепишем в виде

(c_1+c_2+c_3+2c_4)\varepsilon_1+(c_2+2c_3+2c_4)\varepsilon_2=-(f_2+f_3+f_4).

Так как относительные деформации малы и, учитывая, что коэффициент $c_1$ значительно больше остальных коэффициентов, то вторым слагаемым в этом уравнении можно пренебречь и записать приближенное решение уравнения в виде:

\varepsilon_1\approx-\frac{f_2+f_3+f_4}{c_1}\approx1{,}37\cdot10^{-3},\qquad (18)

что мало отличается от сжатия в цепочке из трех атомов. Аналогично поступим со вторым уравнением (оставляя в нем только слагаемые с коэффициентом $c_1$ при смещениях)

-c_1\varepsilon_1+c_1\varepsilon_2=-(f_2+f_3)\quad\Rightarrow\quad\varepsilon_2\approx\frac{f_2+f_3}{c_1}+\varepsilon_1\approx2{,}73\cdot10^{-3}.\qquad (19)

4.1. Так как смещения молекул имеют тот же порядок, что и в предыдущей части, то для расчета энергии взаимодействия можно учитывать только энергию парных взаимодействий:

w=2w_{12}+2w_{23}\approx-4+6{,}8\cdot10^{-4}.\qquad (20)

Заметим, что и эта энергия уменьшается:

\Delta w_\text{св}=w-4(w_{12})_0=6{,}8\cdot10^{-4}-4\cdot7{,}0\cdot10^{-5}\approx-4{,}0\cdot10^{-4}.\qquad (21)

С требуемой точностью энергия цепочки из пяти молекул можно считать равной-4. Поэтому изменение энергии5молекул при их «вырывании» из бесконечной цепочки равно

\Delta w=-4-5\cdot(-1{,}03)\approx+1{,}15.\qquad (22)

Вопрос последний

Действительно наличие границы приводит к малому сжатию приповерхностного слоя, но, во-первых, оно мало, во-вторых, общая энергия связей при этом уменьшается! Увеличение же суммарной энергии взаимодействия связано главным образом с уменьшением числа связей, их разрывом при выходе молекул на поверхность!

Reader note: complete obtainable source packet and archive authority

Nine whole assignments belong to grades9,10,11, three in each cohort; repeated printed11.1 belongs to the distinct Railgun assignment and is retained. The52native-page pair is event-branded and retained by the archive; an independent organizer publication URL was not established, so every solution is attributed to the archive. The exact archive folder contains only this theoretical pair and the distinct experimental pair. No separate theory response form, numerical grading rubric or further theory companion is listed. Cover artwork remains in the native PDF; all52scientific/illustrative question/key crops are retained. Catalogue74parts is provisional; actual lowest native requests total76. No causal claim about the catalogue count is made.

Reader note: resonance answer gap

The native question9 asks for the maximum-height graph against detuning. The obtainable key has no such graph: its heading9 estimates the height error requested by question10. The available y(t) key graph is retained for question6. No missing height-detuning graph was invented; the resonance solution is explicitly incomplete.

Примечание читателя: 9.1. Простая задача про простые механизмы

В условии буквально напечатано «проигрываешь в работе»; это не исправлено на расстояние. Формула массы лебедки в архивном ключе после $F_0L=mgh$ теряет деление на $g$ . В решении домкрата знак линейного члена в (2) расходится с (1), а переход (3) меняет отношение $x/y$ на $y/x$ . Все дальнейшие исходные формулы, численный результат, словесные единицы и график сохранены как напечатаны; эти замечания не являются исправленным решением.

Примечание читателя: 9.2. Убойная задача про убойные механизмы

В исходном рисунке условия подпись точки — $(x_1,y_1)$ , хотя текст использует $(x_1,z_1)$ ; в рисунке ключа вертикальная ось подписана $y$ . В первом произведении (12) ключа отсутствует деление на $g$ , которое присутствует в последующих членах. Номер (15) повторен, а ссылка (13) в обсуждении отклонения сохранена буквально.

Примечание читателя: 9.3. Большая теплая задача про тепловые большие механизмы

В справочных данных теплоемкость воды $4{,}2\cdot10^3$ , а в первом расчете ключа $4{,}21\cdot10^3$ ; оба значения оставлены. Исходная формула теплопроводности дана для единичного сечения, однако в ответе2.2.3 ключ не умножает ее на площадь данного стержня и печатает $2{,}7\cdot10^3\,\text{Вт}$ . Это исходное расхождение, а не исправленный расчет.

Примечание читателя: 10.1. Лихач (не задирай носа)

В ключе используется $g=9{,}81\,\text{м/с}^2$ . Формула (16) не содержит множителя $l$ в знаменателе, а следующая численная подстановка содержит. В обсуждении старта с пробуксовкой единица ускорения буквально $\text{м/с}$ ; нумерация (13) повторяется. Эти исходные расхождения сохранены.

Примечание читателя: 10.2. Две трубы, два поршня, две части…

Первое обозначение ключа «2.1.2.2» относится к воздушным вопросам1.1/1.2. Отрицательная формула изменения давления и положительное число $5{,}6\,\text{кПа}$ напечатаны вместе; в (8) стоит $p_2+\Delta p$ , в (10) $V/V_1$ . Число $4{,}5\,\text{кг}$ в (13) расходится с формулой и исходными данными. Во второй части сохраняются та же положительная сила $T$ и знаки сил, но текст называет стержень растянутым, тогда как первая часть — сжатым. Нумерация формул и замена заданной массы $m$ на $M$ в ключе оставлены. Эти замечания обозначают источник, без подмены напечатанного решения.

Примечание читателя: 10.3. В чем причина появления поверхностной энергии?

Заголовок ключа говорит о поверхностном натяжении, условие — об энергии. В (7) ключа смешаны $\varepsilon$ и $\delta$ . В таблице клетка $u_5$ буквально имеет показатель $-5$ и дополнительный конечный штрих, сохраненный как тире; эта клетка расходится с формулой коэффициента. В дополнительном выводе буквально $\delta=nr_0$ , суммирование «от нуля», а положительный линейный член квадратичной энергии расходится с указанным положительным положением минимума. В (12) стоит $F_{23}$ , на рисунке $F_{13}$ . В (15) вместо табличного $s_2$ подставлено $2{,}66\cdot10^{-2}$ , равное табличному $c_2$ . Положительные деформации (18)–(19) сопровождаются словом «сжатие»; арифметика (21) дает знак, противоположный напечатанному. Все исходные знаки, значения, слова, добавочные выводы и заключение сохранены без исправления.

Примечание читателя: 11.1. Новые Архимеды

В формуле (4) напечатано $T_0$ , тогда как график непрерывен после завершения погружения нижнего цилиндра и предыдущее значение — $T_1$ . В конусе ключ использует $\theta$ , условие $\alpha$ ; начало отсчета в формуле конуса отдельно не поясняется. Вопрос требует $r(z)$ , ключ печатает $r(x)$ без явного преобразования координат. Все исходные формулы и оба измеренных графика сохранены.

Примечание читателя: 11.2. Резонанс

Последний напечатанный пункт9 ключа является оценкой ошибки, запрошенной в вопросе10. Для вопроса9 отдельный график высоты от расстройки в полностью прочитанных страницах23–24 отсутствует; он не придуман. В вопросе7 напечатаны вместе количество ударов и слово «время»; ключ дает $k$ . Формулы моментов столкновений и график сохраняют исходную приблизительную нумерацию и значения.

Примечание читателя: 11.1 (третий вопрос). «Railgun»

Этот третий самостоятельный вопрос11класса исходно озаглавлен «Задача1», в ключе «11.1», как и предыдущие «Новые Архимеды»; два разных задания сохранены отдельно. В производной (5) ключ меняет степени знаменателя; в (21) второй переход вводит дополнительный множитель2, переносимый в (25). Исходные знаки силы, формулы скоростей, описание притяжения/отталкивания и объяснение энергетической оговорки сохранены буквально, без исправленного вывода.

Оригинал в Архива: 3_etap_2012_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 3_etap_2012_theoretical_solutions.pdf