BelPhO 2013, Областен етап, 9–11 клас — Задача 5. Задача 11-1 «Докатились?!»

Часть 1. Качение пустой бутылки.

В Таблице 1 приведены результаты измерений времен прохождения $t_k$ пространственных отметок $x_k$. Измерения проведены 3 раза (участникам олимпиады достаточно провести 1 серию). Заметим, что проводить усреднение этих данных не имеет смысла, так как проводятся независимые серии измерений. Справа приведены графики этих зависимостей.

Таблица 1.

Графики показывают, что после 20 см пройденного пути скатывание можно считать равномерным, так как графики закона движения становятся прямыми.

Для расчета скорости предпочтительнее использовать метод наименьших квадратов. Причем применять его надо к зависимости $t(x)$, так как погрешность измерения времен заметно превышает погрешность измерения расстояний$^1$. Для дальнейших расчетов использованы данные третьей серии из таблицы 1.

На графике нанесены экспериментальные точки. Хорошо видно, что первая точка отклоняется от линейной зависимости – она попадает на этап разгона. Поэтому линейная зависимость строится по МНК без учета этой точки.

Коэффициенты линейной зависимости $t = cx + b$, рассчитанные по МНК равны

Отличие параметра $b$ от нуля объясняется не только погрешностью измерений, но и наличием этапа разгона. Коэффициент $c$ равен величине обратной скорости установившегося движения.

Поэтому скорость установившегося движения равна $v = (0{,}259 \pm 0{,}004)\dfrac{м}{c}$. Таким образом, относительная погрешность измерения менее 2%.

Основной причиной движения с постоянной скоростью, по-видимому, является сила сопротивления воздуха. Заметим, что сила трения качения не приводит к равномерному движению, так как она постоянна. Эта сила может только уменьшить ускорение.

$^1$ Допустимо применять МНК и к зависимости $x(t)$, также пропустив первую точку.

Часть 2. Качение полной бутылки.

В таблице 2 приведены измерений времен прохождения $t_k$ пространственных отметок $x_k$. Измерения проведены 3 раза (участникам олимпиады достаточно провести 1 серию). Справа приведены графики этих зависимостей.

Таблица 2.

Хорошо видно, что полученные зависимости не являются линейными, но для доказательства того, что движение является равноускоренным, нужен дополнительный анализ. Ниже этот анализ проведен для третьей серии измерения времен.

При равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью закон движения имеет хорошо знакомый вид

Заметим, что «очевидная» линеаризация – построение зависимости координаты от квадрата времени, в данном (как и практически всегда при подобных измерениях) не приводит к успеху. Причиной этого являются неизбежные погрешности в определении начала отсчета, запуска секундомера, наличие начальной скорости (всегда хочется подтолкнуть!). Подтверждением этот является приведенный график, который трудно назвать линейным.

Чтобы исключить указанные погрешности можно поступить следующим образом. Запишем закон движения в виде

где $t_1$ время прохождения первой отметки с координатой $x_1$. Эту зависимость перепишем в виде

Величина $\lt v \gt_1 = \dfrac{(x - x_1)}{(t - t_1)} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ имеет смысл средней скорости на интервале времени $(t - t_1)$, она линейно возрастает с ростом этого интервала. Поэтому эта зависимость также может быть обработана МНК.

В принципе, с чуть большей погрешностью можно обрабатывать зависимость

Правда, в этом случае с большой тщательностью необходимо пускать секундомер в момент прохождения нулевой отметки шкалы координат.

В таблице 3 приведены результаты расчетов для построения зависимостей (3) и (4). Графики этих зависимостей приведены рядом с таблицей.

Таблица 3.

Расчет ускорений по этим зависимостям с использованием МНК приводит к следующим значениям:

по зависимости (3) $a = (7{,}4 \pm 0{,}2) \cdot 10^{-2}\ \dfrac{м}{c^2}$;

по зависимости (4) $a = (8{,}0 \pm 0{,}2) \cdot 10^{-2}\ \dfrac{м}{c^2}$.

Как видно результаты близки, относительная погрешность составляет величину порядка 4%.

При движении полной бутылки вода практически сразу начинает двигаться как единое целое, поэтому почти не оказывает тормозящего действия. Так как масса полной бутылки значительно больше массы пустой, влияние силы сопротивления воздуха становится намного меньше.

Часть 3. Бутылка «наполовину пустая», или «наполовину полная»?

Результаты измерений зависимости времени скатывания (проводились на расстоянии 0,5 м) от объема воды, налитой в бутылку приведены в таблице 4. Рядом построен график полученной зависимости. Для каждого объема проведено три измерения, на графике приведены средние значения этих времен

Таблица 4.

Изменение объема воды приводит:

• к уменьшению влияния сопротивления воздуха, при увеличении массы налитой воды влияние сопротивления воздуха уменьшается;
• изменению влияния сил вязкого трения (сначала они возрастают, а затем начинают уменьшаться – при полной бутылке, как было показано, они не играют решающей роли).