Съдържание

Условие 1. Квадратный цикл.2. Треугольный цикл.3. Криволинейно-треугольный цикл.4. Цикл Карно.5. Заключение.Бланк задачи 11-1 Решение

BelPhO 2013, Заключителен етап — Задача 11-1. Почему цикл Карно лучше других?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2013

Республиканская физическая олимпиада 2013 · Заключительный этап · Теоретический тур · 9–11 классы · 50 т.

Внимание: Бележка към темата

Полный оригинальный комплект: девять заданий по три для 9, 10 и 11 классов, 74 основных запроса, все решения и 12 страниц критериев. Сохранены разные ступенчатые графики нормальной силы в условии и бланке, скопированные числовые данные таблиц скорости, печатные v/с и v2 в ключе ходьбы, 293 К в испарении при 10 °C в условии, несогласованные формулы дымового следа, 45/55 мА и 23,0/34,6 в ключе термистора при 40/60 мА в условии, обращенное отношение T1/T0 в формуле Карно, sin x≈x−x³/2, 0,2085 в примечании Ньютона и пропущенное g в числовой подстановке перегрузки. Это исходные печатные ошибки. Повторные номера рубрики сохранены; последняя рубрика печатает 66 и накопительные значения, хотя суммы основных строк дают 62. Для Вопроса0 задачи9-1 официальный ответ и баллы не напечатаны. Пагинация оглавления отличается от физических страниц отдельных PDF. Отдельные экспериментальные схемы не относятся к этой теоретической публикации и не читались в данном комплекте.

Условие

Все знают, что цикл Карно лучше всех других циклов! Но ни один реальный тепловой двигатель не работает по этому циклу. Так в чем же преимущество этого цикла?

В данной задаче Вам предстоит рассмотреть несколько циклов, рабочим телом которых является один моль одноатомного идеального газа. Все циклы лежат в одном и том же температурном интервале от минимальной температуры $T_0$ до максимальной $T_1$ . Иными словами, на диаграмме $(P,V)$ располагаются внутри полоски между двумя изотермами. Обратите внимание, что по осям координат отложены относительные величины $\left(\frac P{P_0},\frac V{V_0}\right)$ , где $(P_0,V_0)$ — параметры газа в некотором состоянии. Все процессы следует считать равновесными.

Область заданных температур на диаграмме

Вам предстоит рассчитать КПД всех циклов и проанализировать их зависимость от отношения температур $\beta=T_1/T_0$ . Поверьте, КПД этих зависит только от этого параметра.

Подсказка. Уравнение адиабаты идеального газа имеет вид

PV^\gamma=\text{const},

где $\gamma$ — показатель адиабаты, для одноатомного газа $\gamma=5/3$ .

Для облегчения вашей работы (и работы жюри!) Вам выдается отдельный бланк с подписанными и оцифрованными осями, на котором Вы должны построить требуемые графики. Не забудьте вложить его в вашу тетрадь!

1. Квадратный цикл.

На приведенной диаграмме цикл имеет вид квадрата. Начальное состояние газа $(P_0,V_0)$ — точка 1. Цикл состоит из двух изобар и двух изохор.

1.1 Рассчитайте КПД этого цикла. Рассчитайте предельное значение КПД при $\beta\to\infty$ .

1.2 Постройте график зависимости КПД этого цикла от отношения минимальной к максимальной температуре² $\frac{T_0}{T_1}=\frac1\beta$ .

График постройте на отдельном бланке (диаграмма 1).

2. Треугольный цикл.

На приведенной диаграмме цикл имеет вид прямоугольного треугольника. Начальное состояние газа $(P_0,V_0)$ — точка 1.

2.1 Рассчитайте КПД этого цикла. Рассчитайте предельное значение КПД при $\beta\to\infty$ .

2.2 Постройте график зависимости КПД этого цикла от отношения минимальной к максимальной температуре $\frac{T_0}{T_1}=\frac1\beta$ .

График постройте на отдельном бланке (диаграмма 1).

3. Криволинейно-треугольный цикл.

Цикл состоит из изохоры 1–2, адиабаты 2–3, изобары 3–1. Начальное состояние газа $(P_0,V_0)$ — точка 1.

3.1 Рассчитайте КПД этого цикла. Рассчитайте предельное значение КПД при $\beta\to\infty$ .

3.2 Постройте график зависимости КПД этого цикла от отношения минимальной к максимальной температуре $\frac{T_0}{T_1}=\frac1\beta$ .

График постройте на отдельном бланке (диаграмма 1).

4. Цикл Карно.

4.1 Постройте цикл Карно (не схематически, а точно), если заданы две точки этого цикла 1 и 3, лежащие на изотермах.

4.2 Постройте график зависимости КПД этого цикла от отношения минимальной к максимальной температуре $\frac{T_0}{T_1}=\frac1\beta$ .

График постройте на отдельном бланке (диаграмма 2).

5. Заключение.

5 Четко и кратко сформулируйте, в чем заключается преимущество цикла Карно.

² Эта зависимость более удобна, так как $\beta$ изменяется от единицы до бесконечности, а боратная величина $\beta^{-1}$ от единицы до нуля.

Бланк задачи 11-1

Решение

Задача 11-1 Почему цикл Карно лучше других?

1. Квадратный цикл.

Так как цикл «квадратный», то объем и давление газа возрастают в пределах цикла в одно и тоже число раз. Их произведение (пропорциональное температуре) возрастает в $\beta$ раз, поэтому максимальные объем и давление (в состоянии 3) находятся по формулам

V_3=\sqrt\beta V_0,\qquad P_3=\sqrt\beta P_0.\qquad(1)

Газ получает теплоту на участках 1–2 и 2–3. Суммарное количество теплоты, полученное газом равно

Q_1=\frac32RT_0(\sqrt\beta-1)+\frac52RT_0(\beta-\sqrt\beta)=\frac{RT_0}2(\sqrt\beta-1)(3+5\sqrt\beta).\qquad(2)

Работа совершенная газом за цикл числено равна площади цикла:

A=P_0V_0(\sqrt\beta-1)^2=RT_0(\sqrt\beta-1)^2.\qquad(3)

Следовательно, КПД цикла равен

\eta=\frac A{Q_1}=\frac{RT_0(\sqrt\beta-1)^2}{\frac{RT_0}2(\sqrt\beta-1)(3+5\sqrt\beta)}=\frac{2(\sqrt\beta-1)}{3+5\sqrt\beta}.\qquad(4)

Как и следовало ожидать, при $\beta=1$ КПД обращается в нуль, а при возрастании $\beta$ стремится к предельному значению $\eta=\frac25=0{,}4$ . Для построения графика полученную зависимость удобно представить в виде:

\eta=\frac{2(1-1/\sqrt\beta)}{3/\sqrt\beta+5}.\qquad(5)

График этой зависимости показан на бланке (кривая — 1)

2. Треугольный цикл

Расчет КПД проводится аналогично. Газ получает теплоту только на участке 1–2. По первому закону термодинамики, это количество теплоты равно

Q_1=\frac32RT_0(\beta-1)+\frac12P_0(1+\sqrt\beta)V_0(\sqrt\beta-1)=2P_0V_0(\beta-1).

Работа, совершенная за цикл:

A=\frac12P_0V_0(\sqrt\beta-1)^2;

КПД цикла

\eta=\frac A{Q_1}=\frac{(\sqrt\beta-1)^2}{2(\beta-1)}=\frac{\sqrt\beta-1}{3(\sqrt\beta+1)+(\sqrt\beta-1)}=\frac{\sqrt\beta-1}{2(\sqrt\beta+1)}.

Предельное значение КПД в этом случае равен 0,5. Немного лучше!

3. Криволинейно-треугольный цикл.

В данном случае газ получает теплоту на участке изохорного расширения 1–2. Это количество теплоты равно

Q_1=\frac32RT_0(\beta-1).

Чтобы не считать работу (т.е. не интегрировать адиабату), найдем количество теплоты, отданное газом на участке 3–1. Для этого следует определить температуру газа в состоянии 3. Точки 2 и 3 соединены адиабатой, причем нам известны значения давлений в крайних точках. Поэтому запишем уравнение адиабатного процесса в координатах $(P,T)$ . Из уравнения состояния идеального газа выразим $V=RT/P$ и подставим в уравнение адиабаты

P\left(\frac TP\right)^\gamma=\text{const}\Rightarrow P^{\frac{1-\gamma}\gamma}T=\text{const}.

Показатель степени в этом уравнении равен $-2/5$ . Записывая это уравнение для состояний 2 и 3, получим

(\beta P_0)^{-2/5}\beta T_0=P_0^{-2/5}T_3\Rightarrow T_3=T_0\beta^{3/5}.

Теперь можно записать выражения для количества отданной теплоты:

Q_2=\frac52RT_0(\beta^{3/5}-1).

Наконец, формула КПД обретает вид

\eta=1-\frac{Q_2}{Q_1}=1-\frac{5(\beta^{3/5}-1)}{3(\beta-1)}.

В этом цикле при возрастании $\beta$ КПД стремится к 1. График этой зависимости изображается кривой 3 на бланке.

4. Цикл Карно.

КПД цикла Карно, как известно равен $\eta=1-\frac{T_1}{T_0}$ , график этой зависимости — прямая линия, идущая выше всех построенных кривых.

Таким образом, при заданных максимальных и минимальных температурах цикл Карно имеет максимально возможный КПД. Ну а рисунок цикла показан на бланке, как видите, его вид весьма далек от традиционных «ромбиков», которые обычно рисуют в учебниках!

Полный желтый цикл Карно и заданные точки

Баллы

Пункт	Содержание	Всего за пункт	Баллы
0	Общее: - первый закон термодинамики; - определение КПД; - Выражение для КПД через теплоты; - работа газа; - внутренняя энергия идеального газа;	5	1 1 1 1 1
1	Квадратный цикл.
1.1	Расчет КПД: - изменение температуры и объема (1); - полученная теплота (изохора + адиабата); - совершенная работа (3); - формула для КПД (4); - предельное значение КПД;	8	1 1+1 1 2 2
1.2	График зависимости: - Качественный вид (кривая, выпуклость вниз); - Предельные точки;	4	2 2
2	Треугольный цикл.
2.1	Расчет КПД: - изменение температуры и объема ; - полученная теплота; - совершенная работа; - формула для КПД ; - предельное значение КПД;	8	1 2 1 2 2
2.1	График зависимости: - Качественный вид (кривая, выпуклость вниз); - Предельные точки; - Выше предыдущего;	3	1 1 1
3	Криволинейно-треугольный цикл
	Расчет КПД: - полученная теплота; - уравнение адиабаты в координатах (T,V); - температура в т.3; - отданная теплота; - формула для КПД; - предельное значение КПД;	10	1 2 2 1 2 2
	График зависимости: - Качественный вид (кривая, выпуклость вниз); - Предельные точки; - Выше предыдущего;	3	1 1 1
4	Цикл Карно
	Построение диаграммы: - нужны адиабаты; - определение координат не заданных точек; - качественный вид адиабат (выпуклость вниз);	6	1 2х2 1
	График зависимости КПД: - формула для КПД; - прямая линия; - крайние точки	3	1 1 1
	ВСЕГО	50

Оригинал в Архива: 2013_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2013_theoretical_solutions.pdf · допълнителни данни: 2013_theoretical_schemes.pdf