Съдържание

Условие 1. Принцип Гюйгенса.2. Конус Маха.3. Эффект Доплера.4. Излучение Вавилова-Черенкова.Бланк задачи 11-3 Решение

BelPhO 2013, Заключителен етап — Задача 11-3. Принцип Гюйгенса, конус Маха, эффект Доплера, излучение Вавилова-Черенкова… и т.д.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2013

Республиканская физическая олимпиада 2013 · Заключительный этап · Теоретический тур · 9–11 классы · 66 т.

Внимание: Бележка към темата

Полный оригинальный комплект: девять заданий по три для 9, 10 и 11 классов, 74 основных запроса, все решения и 12 страниц критериев. Сохранены разные ступенчатые графики нормальной силы в условии и бланке, скопированные числовые данные таблиц скорости, печатные v/с и v2 в ключе ходьбы, 293 К в испарении при 10 °C в условии, несогласованные формулы дымового следа, 45/55 мА и 23,0/34,6 в ключе термистора при 40/60 мА в условии, обращенное отношение T1/T0 в формуле Карно, sin x≈x−x³/2, 0,2085 в примечании Ньютона и пропущенное g в числовой подстановке перегрузки. Это исходные печатные ошибки. Повторные номера рубрики сохранены; последняя рубрика печатает 66 и накопительные значения, хотя суммы основных строк дают 62. Для Вопроса0 задачи9-1 официальный ответ и баллы не напечатаны. Пагинация оглавления отличается от физических страниц отдельных PDF. Отдельные экспериментальные схемы не относятся к этой теоретической публикации и не читались в данном комплекте.

Условие

В данной задаче Вам необходимо рассмотреть и правильно описать ряд эффектов, связанных с испусканием волн движущимся источником.

Части 1,2,3 связаны между собой, поэтому приведенные данные используются во всех этих частях.

1. Принцип Гюйгенса.

Точечный источник, непрерывно испускающий звуковую волну с частотой $\nu_0$ , движется равномерно и прямолинейно вдоль оси $Ox$ в воздухе. Скорость звука в воздухе равна $c$ .

1.1 Постройте (на отдельном бланке) фронты волн, испущенных источником в точках 1, 2, 3, 4, в момент времени, когда источник находится в точке А. Построение выполните для двух случаев а) скорость источника $V_0=c/2$ ; б) скорость источника $V_0=2c$ .

2. Конус Маха.

Покажите, что при сверхзвуковой скорости источника ( $V_0>c$ ) за источником распространяется ударная волна, имеющая форму конуса, который называется конусом Э. Маха.

Для этого рассмотрите следующую задачу. Пусть источник (самолет) А движется прямолинейно и равномерно с постоянной скоростью $\vec V$ на постоянной высоте $h$ . Неподвижный наблюдатель (или слушатель) В находится на поверхности Земли. Введем ось $Ox$ , направленную вдоль траектории источника. Начало отсчета этой оси выберем над наблюдателем. Будем считать, что в момент времени $t=0$ источник находится в точке $x=0$ .

2.1 В какой момент времени $t$ , когда до наблюдателя дойдет звук, испущенный источником в момент времени $\tau$ ? Постройте схематические графики зависимости $t(\tau)$ для двух случаев (не забудьте рассмотреть отрицательные значения $\tau$ — самое интересное и важное именно в этой области!): а) скорость источника $V_0=c/2$ ; б) скорость источника $V_0=2c$ .

2.2 Кратко опишите, что будет слышать наблюдатель в течение длительного промежутка времени в случае, когда $V_0=2c$ . В какой момент времени наблюдатель впервые услышит звук от источника? Где в этот момент будет находиться источник?

2.3 Как построенные графики доказывают возникновение ударной волны при $V_0=2c$ и ее отсутствие при $V_0=c/2$ ?

2.4 Пусть скорость источника $V>c$ , найдите угол полураствора конуса ударной волны. Зависит ли этот угол от частоты волны, испускаемой источником.

3. Эффект Доплера.

Пусть источник звука, непрерывно испускающий звуковую волну с частотой $\nu_0$ , движется равномерно и прямолинейно вдоль оси $Ox$ в воздухе, со скоростью $V$ меньшей скорости звука $c$ .

3.1 С какой частотой будет слышать этот звук неподвижный наблюдатель, находящийся на оси $Ox$ а) впереди источника; б) позади источника?

3.2 Рассмотрите ситуацию описанную в части 2 и на соответствующем рисунке. Опишите процедуру (осуществлять ее не надо — достаточно громоздко!), которая на основании полученных ранее соотношений, дает возможность найти зависимость частоты звука $\nu$ , воспринимаемого наблюдателем В от времени. Нарисуйте схематический график этой зависимости (хотя бы по трем точкам).

Часть 4 не связана с предыдущими частями.

4. Излучение Вавилова-Черенкова.

Если заряженная частица (например электрон) движется в прозрачной среде со скоростью, большей чем скорость света в этой среде, то она излучает свет (этот эффект называется эффектом Вавилова-Черенкова). За этой частицей возникает световой конус подобный конуса Маха ударной световой волны.

Теперь задача (допускается проведение промежуточных численных расчетов).

Широкий пучок ультрарелятивиских (т.е. движущихся со скоростями близкими к скорости света в вакууме $c=3{,}0\cdot10^8\,\text{м}/\text{с}$ ) электронов попадает в слой воды. Считайте, что скорости всех электронов одинаковы и все они движутся параллельно друг другу. За слоем воды находится собирающая линза в фокальной плоскости которой расположен экран.

4.1 При какой минимальной полной энергии электронов $E_\text{min}$ начнется излучение Вавилова-Черенкова? Ответ дайте в электрон-вольтах.

4.2 Какую ускоряющую разность потенциалов должны пройти электроны, чтобы достичь полной энергии равной $E_\text{min}$ .

Показатель преломление воды $n=1{,}33$ . Масса электрона $m_e=9{,}1\cdot10^{-31}\,\text{кг}$ , его заряд $e=1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{Кл}$ .

4.3 Пусть все электроны имеют полную энергию равную $2E_\text{min}$ . Опишите световую картину (форму и размеры), которая будет наблюдаться на экране. Фокусное расстояние линзы $F=10\,\text{см}$ .

Бланк задачи 11-3

Оба полных исходных бланка фронтов волн, V=c/2 и печатное V:=2c

Решение

Задача 11-3 Принцип Гюйгенса, конус Маха, эффект Доплера, излучение Вавилова-Черенкова… и т.д.

1. Принцип Гюйгенса.

Требуемое построение, показано на рисунке. Следует отметить, что во втором случае $V_0=2c$ появляется огибающая, которая и является фронтом ударной волны.

Оба полных построения фронтов волн Гюйгенса

2. Конус Маха.

В момент времени $\tau$ источник находился в точке с координатой $x=V\tau$ , на расстоянии

r=\sqrt{x^2+h^2}=\sqrt{V^2\tau^2+h^2}.\qquad(1)

Звук «запоздает» на время, за которое от пройдет это расстояние, Следовательно, дойдет до наблюдателя в момент времени

t=\tau+\frac{\sqrt{V^2\tau^2+h^2}}c.\qquad(2)

Для построения примерного графика этой функции можно отметить его следующие характерные особенности:

при $\tau=0$ $t=h/c$ , что соответствует времени, которое необходимо, чтобы звук прошел расстояние $h$ ;

при $\tau\to+\infty$ $t\approx\tau+\frac Vc\tau$ , то есть график имеет асимптоту;

при $\tau\to-\infty$ $t\approx\tau-\frac Vc\tau$ (надо правильно извлекать корень!) — вторая асимптота.

И вот здесь кроется самое интересное: при $V>c$ коэффициент наклона второй асимптоты становится отрицательным, следовательно, в этом случае функция (2) имеет точку минимума.

Поэтому графики данной зависимости имеют вид, показанный на рисунке.

Не сложно найти положение этого минимума: вычисляя производную от функции (2) и полагая ее равной нулю, получим уравнение

t'=1+\frac{V^2\tau}{c\sqrt{V^2\tau^2+h^2}}=0.\qquad(3)

Это уравнение имеет единственный корень при $V>c$ :

\tau^*=-\frac h{V\sqrt{V^2/c^2-1}}.\qquad(4)

Поэтому наблюдатель впервые услышит звук в момент времени

t_\text{min}=t(\tau^*)=\frac h{cV}\sqrt{V^2-c^2}.\qquad(5)

Источник в этот момент времени будет находиться в точке с координатой

x_1=Vt_\text{min}=h\sqrt{V^2/c^2-1}.\qquad(6)

В более поздние моменты времени наблюдатель будет одновременно слышать звуки, идущие от разных источников, движущихся в противоположных направлениях.

Именно наличие экстремума свидетельствует о возникновении ударной волны. Потому, что в течение малого промежутка времени $\Delta t$ практически одновременно будут приходить волны, испущенные в течение гораздо более длительного промежутка $\Delta\tau$ .

Интервалы испускания и восприятия около экстремума

Формально можно поступить следующим образом. Пусть мощность источника равна $P$ . В течение бесконечно малого промежутка времени $d\tau$ он испустит энергию $dE_0=Pd\tau$ . Какая-то ее часть $dE_1=\beta Pd\tau$ (она определяется геометрией расположения источника и наблюдателя и размером ушей последнего) будет принята в течение промежутка времени $dt$ , поэтому воспринимаемая мощность определяется по формуле

P_1=\frac{dE_1}{dt}=\beta P\frac{d\tau}{dt}=\frac{\beta P}{t'}.\qquad(7)

В точке экстремума эта мощность устремляется к бесконечности, что свидетельствует о наличии ударной волны.

Угол полураствора конуса Маха можно найти либо из построения Гюйгенса, либо из формулы (6), в любом случае он определяется соотношением

\sin\alpha=\frac cV.\qquad(8)

3. Эффект Доплера.

Формулы для эффекта Доплера можно получить различными способами. В данном случае простейшим из них является способ, основанный на использовании полученной зависимости (2).

Если считать период волны, испускаемой источником малой величиной ( $T_0=\Delta\tau$ ), то воспринимаемый период также можно считать малой величиной² ( $T_1=\Delta t$ ). Их отношение можно найти, как производную от функции (2)

\frac{T_1}{T_0}=\frac{\Delta t}{\Delta\tau}=t'.\qquad(9)

Эту производную мы уже вычисляли, поэтому сразу запишем:

\frac\nu{\nu_0}=\frac{T_0}{T_1}=\frac1{1+\frac{V^2\tau}{c\sqrt{V^2\tau^2+h^2}}}.\qquad(10)

Для получения окончательного результата необходимо выразить $\tau$ через $t$ , то есть решить уравнение (2) относительно $\tau$ .

Если наблюдатель находится на оси, вдоль которой движется источник, то воспринимаемую частоту можно найти из формулы (10), если положить $h=0$ . В этом случае получим

\nu_\pm=\frac{\nu_0}{1\pm V/c}.\qquad(11)

Знак плюс соответствует наблюдателю находящемуся позади источника (источник удаляется), так как в этом случае в формуле (10) $\tau>0$ . Знак минус — случаю, когда источник приближается к наблюдателю³.

Для наблюдателя, находящегося сбоку от линии движения источника, частота будет монотонно изменяться от $\nu_-$ до $\nu_+$ . Для звука, испущенного в момент времени $\tau=0$ и пришедшего в момент времени $t=h/c$ , частота останется неизменной.

² Очень интересный вопрос — а что такое частота в данный момент времени? чтобы говорить о частоте, надо зарегистрировать хотя бы одно колебание! Но в физике есть понятие физически малая величина: мала настолько, что можно считать дифференциалом, но велика настолько, что содержит большое число… в данном случае периодов колебаний.

³ Надо правильно извлекать корень квадратный!

4. Излучение Вавилова-Черенкова.

4.1 Излучение начнется, если скорость электронов превысит скорость света в воде, то есть при $v=c/n$ . В этом случае полная энергия электрона будет равна

E_\text{min}=\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\frac{E_0}{\sqrt{1-1/n^2}},\qquad(12)

где $E_0=mc^2$ — энергия покоя электрона. Ее численное значение (в эВ) равно

E_0=\frac{mc^2}e=\frac{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot(3{,}0\cdot10^8)^2}{1{,}6\cdot10^{-19}}=512\,\text{кэВ}.\qquad(13)

Минимальная энергия равна

E_\text{min}=\frac{E_0}{\sqrt{1-1/n^2}}=\frac{512\,\text{кЭв}}{\sqrt{1-1/1{,}33^2}}=777\,\text{кэВ}.\qquad(14)

4.2 При ускорении электрон должен пройти ускоряющую разность потенциалов, которая находится из условия (записано в эВ)

U=E_\text{min}-E_0=E_0\left(\frac1{\sqrt{1-1/n^2}}-1\right)=2{,}65\cdot10^5\,\text{В}.\qquad(15)

4.3 Так как за каждым электроном «тянется» световой конус, то при попадании его на линзу, в ее фокальной плоскости образуется кольцо, радиус которого углом полураствора конуса (не забыть учесть преломление на задней грации сосуда с водой!), а этот угол определяется скоростью электронов.

Скорость электронов найдем из формулы

2E_\text{min}=\frac{E_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=2\frac{E_0}{\sqrt{1-1/n^2}}\Rightarrow v=\frac c{2n}\sqrt{3n^2+1}.\qquad(16)

В соответствии с полученным ранее результатом, угол полураствора светового конуса определяется условием

\sin\alpha=\frac c{nv}=\frac2{\sqrt{3n^2+1}}=0{,}796.\qquad(17)

Для дальнейших расчетов удобно перейти от волнового фронта к лучам, которые перпендикулярны фронту. Как следует из рисунка, закон преломления на задней стенке имеет вид:

n\cos\alpha=\sin\gamma.\qquad(18)

Конус, лучи и преломление на задней стенке воды

Из этого выражение определяем угол $\gamma$ (именно под этим углом к оптической оси лучи будут попадать на линзу): $\gamma=53{,}6^\circ$ .

Теперь находим радиус кольца на экране:

R=F\operatorname{tg}\gamma\approx14\,\text{см}.\qquad(19)

Оглавление.

Класс	Задача	Условие	Решение
9	Задача 9-1. Знаете ли Вы законы Архимеда и Паскаля?	1	17
	Задача 9-2 Сравним амперы с ньютонами!	2	19
	Задача 9-3 Ходьба человека	3	21
10	Задача 10-1 Погреемся на солнышке?	6	27
	Задача 10-2 Мы мирные люди…	8	30
	Задача 10-3 Термистор	10	38
11	Задача 11-1 Почему цикл Карно лучше других?	12	41
	Задача 11-2 Хорошо, что не экспериментальная задача!	14	45
	Задача 11-3 Принцип Гюйгенса, конус Маха, эффект Доплера, излучение Вавилова-Черенкова… и т.д.	16	48

Декоративная оригинальная иллюстрация в конце ключа

Баллы

Пункт	Содержание	Всего за пункт	Баллы	Оценки
1	Принцип Гюйгенса	6
	Фронты - окружности		1х2
	Правильные значения радиусов		2х2
2	Конус Маха
2.1		14		20
	Функция (2) График для v = c/2: - монотонно возрастающая зависимость; - значение в нуле; - предельные случаи τ→ ±∞; График для v = 2c: - функция с минимумом; - значение в нуле; - положение экстремума; - предельные случаи τ→ ±∞;		3 1 1 2 2 1 2 2
2.2		6		26
	- сначала резкий хлопок; - время хлопка; - положения источника в этот момент; - потом два «звука», исходящие из разъезжающихся источников (обоснование по графику);		1 1 2 2
2.3		7		37
	- наличие экстремума; - обоснование «бесконечной мощности»; Отсутствие экстремума, монотонная зависимость громкости (мощности) от времени		2 3 2
2.4	Формула (8)	2	2	39
3.	Эффект Доплера
3.1	Формула (11)	4	4	43
3.2	Отношение периодов – производная Вычисление производной (10); Схематический график: - вид графика (монотонно убывающая функция) - предельные значения; - промежуточная точка $\nu=\nu_0$	7	1 2 1 2 1	50
4	Излучение Вавилова-Черенкова
4.1	Условие излучения $v>c/n$ Формула для полной энергии Численное значение (14)	5	2 1 2	55
4.2	Формула (15); Численное значение (15)	4	2 2	59
4.3	Форма - кольцо Угол конуса Преломление на задней грани (угол выхода) Преломление в линзе радиус кольца	7	2 1 2 2	66
	Всего	66

Оригинал в Архива: 2013_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2013_theoretical_solutions.pdf · допълнителни данни: 2013_theoretical_schemes.pdf