Съдържание

Условие 1. Подготовка 2. Кристаллизация 3. Охлаждение и кристаллизация Справочные данные Решение

BelPhO 2014, Областен етап — Задача 10-3. Машина по изготовлению льда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2014

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2014 — III этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Eleven whole tasks across grades 9–11, with 53 lowest printed labels. Full obtainable questions, extended archive keys, graphs, table, instructions and reference data retained. Original numerical, unit and label differences are separately explained. The burning-ring key lacks some current answers and graphs; its original equation 11 is physically obscured. No absent answer is inferred. No further theory companion was obtainable.

2014. III этап. Теоретический тур. 9 класс — инструкции

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования. __________________В.А. Будкевич. «» декабря 2013 г.

Республиканская физическая олимпиада 2014 год. (III этап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач! Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Успехов Вам на олимпиаде! Ждем Вас в Могилеве на Заключительном туре!

2014. III этап. Теоретический тур. 10 класс — инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2014 год. (III этап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Успехов Вам на олимпиаде! Ждем Вас в Могилеве на Заключительном туре!

2014. III этап. Теоретический тур. 11 класс — инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2014 год. (III этап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Успехов Вам на олимпиаде! Ждем Вас в Могилеве на Заключительном туре!

Условие

Юный экспериментатор Федя, изучив основы термодинамики, понял, что в силах своими руками собрать тепловую машину, а точнее, холодильную машину. Своей целью юный физик поставил, используя собственную физическую силу, получить из воды лёд. В качестве основы своей установки он взял теплоизолированную цилиндрическую ёмкость с поршнем (рис. 1). Передвигая поршень, можно изменять объём сосуда от $V_1=5{,}0\ \text{л}$ до $V_2=7{,}0\ \text{л}$ . Площадь поршня $S=80\ \text{см}^2$ . При необходимости с сосуда можно снять изоляцию и открыть теплообмен с окружающим воздухом.

Рисунок 1. Цилиндр с поршнем, изолированным стаканом воды и перегородкой

Вода массой $m=0{,}20\ \text{кг}$ в стакане, теплоемкостью которого можно пренебречь, помещена в сосуд и отделена от всего объёма теплоизолирующей перегородкой, которую можно открывать при необходимости. Объёмом газа с водой, отделенного перегородкой, можно пренебречь. Рабочим телом Василий выбрал некоторый двухатомный идеальный газ. Перед началом работы машины объём сосуда минимален, газ находится при комнатной температуре $T_{\text{комн}}=20\,{}^\circ\text{C}$ и атмосферном давлении $p_0=101\ \text{кПа}$ .

Рисунок 2. Четыре этапа холодильного цикла

Холодильный циклический процесс, придуманный Федей, состоит из четырёх этапов (рис. 2). На первом этапе сосуд теплоизолирован, вода внутри изолирована от рабочего газа, и Федя, прикладывая свои усилия к поршню, увеличивает объём газа с $V_1$ до $V_2$ . На следующем этапе, при постоянном объёме $V_2$ , открывают перегородку внутри сосуда и позволяют происходить теплообмену воды (льда) с газом до установления теплового равновесия. На третьем этапе Федя вновь закрывает перегородку и, своими усилиями перемещая поршень, уменьшает объём сосуда до исходного $V_1$ . Наконец, на четвёртом этапе, при постоянном объёме $V_1$ , с сосуда снимают изоляцию и позволяют происходить теплообмену с окружающей средой до наступления теплового равновесия.

. Адиабатический процесс, то есть процесс в отсутствие теплообмена, для идеального газа протекает таким образом, что произведение $TV^{\gamma-1}$ остаётся постоянным ( $TV^{\gamma-1}=\mathrm{const}$ ). Безразмерная величина $\gamma$ называется показателем адиабаты и зависит от свойств газа.

1. Подготовка

В этой части вам предлагается найти некоторые величины, которые могут пригодиться для дальнейшего решения.

1.1 Найдите химическое количество $\nu$ используемого газа.

1.2 До какого минимального объёма $V_{2\min}$ нужно «растягивать» газ на первом этапе, чтобы получение льда из воды описанным способом было возможным?

2. Кристаллизация

Пусть изначально вода в стакане имела температуру $0\,{}^\circ\text{C}$ .

2.1 Постройте качественную (то есть без точных чисел) диаграмму происходящего процесса в p-V координатах.

2.2 Найдите массу льда $\Delta m$ , образующегося за один цикл.

2.3 Сколько циклов $n$ необходимо провести, чтобы заморозить всю воду в стакане?

2.4 Какую работу $A$ совершает Федя за один цикл?

2.5 Предложите разумное определение коэффициента полезного действия холодильной машины. Рассчитайте КПД $\eta$ данного процесса в соответствии с предложенным определением.

2.6 Какую максимальную силу $F_{\max}$ должен приложить Федя к поршню в течение процесса? Какой средний модуль силы $F_{\text{ср}}$ прикладывает Федя за один цикл? Считайте, что ускорение поршня пренебрежимо мало.

3. Охлаждение и кристаллизация

Теперь рассмотрим более практичный случай, когда вода изначально находится при комнатной температуре $T_{\text{комн}}$ .

3.1 Качественно изобразите несколько последовательных циклов данного процесса на p-V диаграмме.

3.2 Пусть в начале очередного цикла вода находится при некоторой температуре $T_n>T_{\text{л}}$ . За этот цикл вода охладится до некоторой температуры $T_{n+1}$ . Определите зависимость $T_{n+1}(T_n)$ .

3.3 Какое количество циклов необходимо провести, чтобы охладить всю воду до температуры замерзания? Сколько всего циклов с начала процесса должно быть проведено для обращения в лёд всей воды?

3.4 Согласно предложенному определению (п. 2.5 задачи) определите КПД процесса охлаждения воды.

3.5 Какую полную работу необходимо совершить Феде, чтобы всю изначальную воду превратить в лёд?

Справочные данные

Справочные данные.

Характеристики воды: молярная масса $M=18\cdot10^{-3}\ \text{кг}/\text{моль}$ ; плотность $\rho=1{,}0\cdot10^3\ \text{кг}/\text{м}^3$ ; удельная теплоемкость $c_0=4{,}2\cdot10^3\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})$ ; удельная теплота испарения $L=2{,}3\cdot10^6\ \text{Дж}/\text{кг}$ ; удельная теплота кристаллизации $\lambda=3{,}3\cdot10^5\ \text{Дж}/\text{кг}$ ; температура плавления льда $T=0\,{}^\circ\text{C}=273\ \text{К}$ ; поверхностное натяжение $\sigma=7{,}3\cdot10^{-2}\ \text{Н}/\text{м}$ ; давление насыщенных паров воды при $25\,{}^\circ\text{C}$ $p_{25}=3{,}17\cdot10^3\ \text{Па}$ , при $18\,{}^\circ\text{C}$ — $p_{18}=2{,}07\cdot10^3\ \text{Па}$ .

Показатель адиабаты для двухатомного газа: $\gamma=7/5$ .
Универсальная газовая постоянная $R=8{,}31\ \text{Дж}/(\text{моль}\cdot\text{К})$ ; постоянная Авогадро $N_A=6{,}02\ \text{моль}^{-1}$ ; атмосферное давление $P_0=1{,}0\cdot10^5\ \text{Па}$ .

Решение

1. Подготовка

1.1. В исходном состоянии давление, температура и объём газа равны соответственно $p_0,T_{\text{комн}},V_1$ . Запишем уравнение состояния идеального газа:

p_0V_1=\nu RT_{\text{комн}}.\qquad (1)

Откуда следует:

\nu=\frac{p_0V_1}{RT_{\text{комн}}}=\frac{101\cdot10^3\ \text{Па}\cdot5{,}0\cdot10^{-3}\ \text{м}^3}{8{,}31\ \text{Дж}/(\text{моль}\cdot\text{К})\cdot293\ \text{К}}=0{,}207\ \text{моль}.

1.2. При адиабатическом «растягивании» на первом этапе газ будет охлаждаться. Далее, за счет теплообмена с водой, он будет иметь возможность заморозить её, только если температура газа окажется ниже температуры замерзания воды.
Пусть после увеличения объёма газа до $V_2$ на первом этапе температура газа стала равной $T^*$ . Тогда необходимым условием для изготовления льда будет $T^*<T_{\text{л}}$ . Так как процесс на первом этапе адиабатический, то справедливо соотношение:

T_{\text{комн}}V_1^{\gamma-1}=T^*V_2^{\gamma-1}.\qquad (4)

Условию $T^*<T_{\text{л}}$ тогда соответствует:

V_2>V_1\left(\frac{T_{\text{комн}}}{T_{\text{л}}}\right)^{1/(\gamma-1)}.\qquad (5)

То есть минимальный объём:

V_{2\min}=V_1\left(\frac{T_{\text{комн}}}{T_{\text{л}}}\right)^{1/(\gamma-1)}=5{,}0\cdot10^{-3}\ \text{м}^3\left(\frac{293\ \text{К}}{273\ \text{К}}\right)^{1/(7/5-1)}=5{,}97\cdot10^{-3}\ \text{м}^3=5{,}97\ \text{л}.

2. Кристаллизация

2.1. Примерная диаграмма, иллюстрирующая описанный процесс, изображена на рис. 1

Рисунок 1 ключа. Диаграмма холодильного цикла в p-V координатах

Участок 1 – адиабатическое сжатие до объёма $V_2$ , далее на участке 2 газ изохорно нагревается за счёт теплообмена с замерзающей водой. Теплообмен идёт до тех пор, пока температура газа не сравняется с температурой кристаллизации воды $T_{\text{л}}$ . Далее участок 3 представляет собой адиабатическое сжатие до начального объёма $V_1$ . Наконец, участок 4 – изохорное охлаждение газа до комнатной температуры.
2.2. Используя постоянство произведения $TV^{\gamma-1}$ для адиабатического процесса на участке 1, найдём температуру газа $T^*$ в конце данного участка:

T^*=T_{\text{комн}}\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}=293\ \text{К}\left(\frac{5{,}0\cdot10^{-3}\ \text{м}^3}{7{,}0\cdot10^{-3}\ \text{м}^3}\right)^{7/5-1}=256{,}10\ \text{К}.\qquad (6)

(Запасные цифры после запятой взяты не из соображений физической точности, а для того, чтобы уменьшить вклад погрешности округлений, способных оказать значительное влияние на результат в данной задаче).
Далее на участке 2 будет происходить изохорный теплообмен между газом и замерзающей водой, пока газ не нагреется до $T_{\text{л}}$ . Запишем уравнение теплового баланса.

C_V(T_{\text{л}}-T^*)=\lambda\Delta m.\qquad (7)

Тогда масса льда, образующегося за один цикл равна:

\Delta m=\frac{C_V(T_{\text{л}}-T^*)}{\lambda}=\frac{4{,}30\ \text{Дж}/\text{К}\cdot(273{,}00\ \text{К}-256{,}10\ \text{К})}{3{,}3\cdot10^5\ \text{Дж}/\text{кг}}=0{,}220\ \text{г}.

2.3. Чтобы заморозить всю воду в стакане, необходимо произвести количество циклов:

N=\frac m{\Delta m}=\frac{0{,}20\ \text{кг}}{0{,}220\cdot10^{-3}\ \text{кг}}=909.\qquad (8)

2.4. После прохождения одного цикла газ возвращается в исходное состояние, значит изменение внутренней энергии газа за один цикл равно нулю. Тогда, исходя из первого начала термодинамики, работа, которую Федя совершает над газом, расходуется на теплопередачу другим телам. Для изучаемого цикла:

A=Q_{\text{окр}}-Q_{\text{воды}}.\qquad (9)

где $Q_{\text{окр}}$ – количество теплоты, отданное в окружающую среду на 4 этапе цикла, $Q_{\text{воды}}$ – количество теплоты, полученное при кристаллизации воды на 2-м участке цикла.
Выражение для $Q_{\text{воды}}$ мы уже записали в (7), чтобы рассчитать $Q_{\text{окр}}$ необходимо сначала найти температуру газа после окончания третьего этапа цикла. Для этого применим условие постоянства $TV^{\gamma-1}$ к адиабатическому сжатию газа. Температура $T^{**}$ в конце сжатия оказывается равной:

T^{**}=T_{\text{л}}\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1}=273\ \text{К}\left(\frac{7{,}0\ \text{л}}{5{,}0\ \text{л}}\right)^{7/5-1}=312{,}33\ \text{К}.\qquad (10)

Тогда из (9) получаем выражение для работы, совершаемой Федей за один цикл:

A=C_V(T^{**}-T_{\text{комн}})-C_V(T_{\text{л}}-T^*)=C_V(T^*+T^{**}-T_{\text{комн}}-T_{\text{л}}).\qquad (11)

A=4{,}30\ \text{Дж}/\text{К}\cdot(256{,}10+312{,}33-293{,}00-273{,}00)\ \text{К}=10{,}45\ \text{Дж}.

2.5. Логичным и естественным способом введения КПД для холодильника является подсчет количества энергии, забираемого у охлаждаемого тела по отношению к совершённой работе. В нашем случае это равно $\eta=Q_{\text{воды}}/A$ . Данная величина действительно описывает эффективность холодильной машины: из двух устройств выгоднее то, у которого $\eta$ больше. Однако, непривычное в таком определении КПД то, что он, вообще говоря, может оказаться большим единицы. Тем не менее, именно указанный способ подсчёта мы и будем использовать в дальнейшем. Получаем:

\eta=\frac{Q_{\text{воды}}}{A}=\frac{4{,}30\ \text{Дж}/\text{К}\cdot(273{,}00\ \text{К}-256{,}10\ \text{К})}{10{,}45\ \text{Дж}}=6{,}95=695\%.\qquad (12)

Еще раз отметим, что данный результат вполне корректен, а столь большое значение получилось вследствие введённого определения КПД. Нет никаких причин требовать КПД быть меньшим единицы: действительно, ведь $Q_{\text{воды}}$ представляет собой не часть расходов энергии, на которые «тратится» совершённая работа $A$ , а, наоборот, является поступлением теплоты в рабочий газ.
2.6. Максимальную силу $F_{\max}$ Феде придётся приложить к поршню в тот момент, когда давление газа будет максимально отличаться от атмосферного. Из P-V диаграммы процесса (рис. 1) замечаем, что это может произойти в конце этапа 1 или этапа 3 цикла. Давление $p^*$ в конце этапа 1 найдём из уравнения состояния идеального газа:

p^*=\frac{\nu RT^*}{V_2}=\frac{0{,}207\cdot8{,}31\cdot256{,}10}{7{,}0\cdot10^{-3}}\ \text{Па}=6{,}29\cdot10^4\ \text{Па}.\qquad (13)

Аналогично давление $p^{**}$ в конце этапа 3 равно:

p^{**}=\frac{\nu RT^{**}}{V_1}=\frac{0{,}207\cdot8{,}31\cdot312{,}33}{5{,}0\cdot10^{-3}}\ \text{Па}=1{,}07\cdot10^5\ \text{Па}.\qquad (14)

Сила, которую прикладывает Федя, с учётом атмосферного давления, действующего на поршень снаружи, будет равна:

F=|p-p_0|S.\qquad (15)

В двух рассматриваемых состояниях получаем:

F^*=|p^*-p_0|S=|6{,}29\cdot10^4-10{,}1\cdot10^4|\ \text{Па}\cdot8{,}0\cdot10^{-3}\ \text{м}^2=304\ \text{Н}.

F^{**}=|p^{**}-p_0|S=|1{,}07\cdot10^5-1{,}01\cdot10^5|\ \text{Па}\cdot8{,}0\cdot10^{-3}\ \text{м}^2=48{,}0\ \text{Н}.

Таким образом, $F_{\max}=304\ \text{Н}$ .
Из п.2.4 нам известна работа, совершаемая Федей за один цикл. При этом поршень проходит путь равный:

l=2\frac{V_2-V_1}{S}=2\frac{7{,}0\cdot10^{-3}-5{,}0\cdot10^{-3}}{8{,}0\cdot10^{-3}}\ \text{м}=0{,}50\ \text{м}.\qquad (16)

Средний модуль силы тогда можно найти через выражение для работы силы.

F_{\text{ср}}=\frac Al=\frac{8{,}6\ \text{Дж}}{0{,}50\ \text{м}}=17{,}2\ \text{Н}.\qquad (17)

3. Охлаждение и кристаллизация

3.1. Второй этап цикла длится до наступления теплового равновесия. В предыдущей части задачи оно наступало, когда рабочий газ нагревался до температуры кристаллизации $T_{\text{л}}$ воды. Теперь во время теплообмена с рабочим газом вода будет охлаждаться, и конечная температура установившегося теплового равновесия в конце второго этапа цикла заранее неизвестна. Более того, в результате охлаждения на данном этапе, в начале каждого цикла вода будет находиться при меньшей температуре, чем на предыдущем. Значит, и температура установившегося теплового равновесия будет с каждым циклом уменьшаться. Согласно уравнению состояния идеального газа, при постоянном объёме с температурой будет уменьшаться и давление. Таким образом, общий вид диаграммы процесса для трёх последовательный циклов приведён на рис. 2.

Рисунок 2 ключа. Три последовательных цикла охлаждения воды

Температура равновесного состояния и давление в конце второго этапа будут падать с каждым последующим циклом до тех пор, пока не будет достигнута температура кристаллизации воды. Дальше процесс пойдёт аналогично рассмотренному в предыдущем пункте задачи.
3.2. Уравнение теплового баланса (7) в данном случае примет вид:

C_V(T_{n+1}-T^*)=c_{\text{в}}m(T_n-T_{n+1}).\qquad (18)

Откуда можно выразить искомую зависимость:

T_{n+1}=\frac{c_{\text{в}}mT_n+C_VT^*}{c_{\text{в}}m+C_V}.\qquad (19)

где значение $T^*$ было найдено в п.2.2 – уравнение (6).
3.3. Выражение (19) можно переписать в следующем виде:

T_{n+1}=\frac{c_{\text{в}}mT_n-c_{\text{в}}mT^*+c_{\text{в}}mT^*+C_VT^*}{c_{\text{в}}m+C_V}=\frac{c_{\text{в}}m(T_n-T^*)}{c_{\text{в}}m+C_V}+T^*.

T_{n+1}-T^*=\frac{c_{\text{в}}m(T_n-T^*)}{c_{\text{в}}m+C_V}.

Вводя новую величину $x_n\equiv T_n-T^*$ , получим связь $x_{n+1}$ и $x_n$ , описывающую геометрическую прогрессию: $x_{n+1}=qx_n$ , где знаменатель равен:

q=\frac{c_{\text{в}}m}{c_{\text{в}}m+C_V}=\frac{4200\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})\cdot0{,}20\ \text{кг}}{4200\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})\cdot0{,}20\ \text{кг}+4{,}30\ \text{Дж}/\text{К}}=0{,}995.

Чтобы найти количество циклов до начала замерзания воды, необходимо найти номер члена данной прогрессии, при котором $T_n$ станет равным температуре кристаллизации воды $T_{\text{л}}$ . Подставляя начальную и конечную температуры, имеем для величины $x$ :

x_0=T_{\text{комн}}-T^*=293\ \text{К}-256{,}10\ \text{К}=36{,}90\ \text{К},

x_N=T_{\text{л}}-T^*=273\ \text{К}-256{,}10\ \text{К}=16{,}90\ \text{К}.

Так как $x_N=x_0q^N$ , получаем:

q^N=\frac{x_N}{x_0},\qquad(0{,}995)^N=0{,}458.

Необходимо из данного уравнения найти $N$ . В математике функция, позволяющая найти степень при известном основании и результату возведения, называется логарифмом. Однако, даже не используя подобную терминологию, ответ можно подобрать, используя инженерный калькулятор: пробуя степени сначала грубо (50, 100, 150, 200), затем около искомого значения более точно. Можно обнаружить, что наиболее точно подходит значение $N=156$ .
Наконец, грубую оценку величины $N$ можно получить и без калькулятора. Записав возведение в виде $(0{,}995)^n=(1-0{,}005)^n$ и воспользовавшись приближённой формулой $(1+x)^a\approx1+ax$ для малых $x$ , получим $1-0{,}005N\approx0{,}458$ . Откуда следует $N\approx108$ .
Чтобы обратить в лёд всю воду, необходимо к найденному количеству циклов $N$ охлаждения воды прибавить количество циклов, необходимых для её замораживания из предыдущей части задачи.

N_{\text{полн}}=N+N_{\text{заморозк}}=156+909=1065.

3.4. Для нахождения КПД необходимо посчитать работу Феди и количество теплоты, забираемой у воды за цикл при её охлаждении.
Температура после адиабатического сжатия (третьего этапа цикла) теперь уже будет зависеть от номера цикла – $T_n^{**}$ , как и температура равновесного состояния газ-вода. Однако связь между ними останется всё той же, определяемой формулой (10). Выражение (11) для работы Феди также остаётся справедливым, если учесть зависимость от номера цикла:

A_n=C_V(T^*+T_n^{**}-T_{\text{комн}}-T_n).\qquad (20)

Подставляя выражения (6) и (10) для температур со звёздочками, получаем:

\begin{aligned}A_n&=C_V\left(T_{\text{комн}}\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}-T_{\text{комн}}+T_n\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1}-T_n\right)\\&=C_V\left(T_{\text{комн}}\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}-T_n\right)\left(1-\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1}\right).\end{aligned}\qquad (21)

Количество теплоты, забираемой у воды за один цикл, равно:

Q_{n\text{воды}}=C_V(T_n-T^*)=C_V\left(T_n-T_{\text{комн}}\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}\right).\qquad (22)

Таким образом, КПД за один цикл оказывается равным:

\eta=\frac{Q_{n\text{воды}}}{A_n}=\frac{C_V\left(T_n-T_{\text{комн}}(V_1/V_2)^{\gamma-1}\right)}{C_V\left(T_{\text{комн}}(V_1/V_2)^{\gamma-1}-T_n\right)\left(1-(V_2/V_1)^{\gamma-1}\right)}=\frac1{(V_2/V_1)^{\gamma-1}-1}.\qquad (23)

Что важно, оказалось, КПД не зависит от температур и номера цикла, а определяется только максимальным и минимальным объёмом газа в ходе процесса. Данное выражение для $\eta$ можно было получить и в предыдущей части задачи с замерзанием воды, однако там, ввиду постоянства температур, в нём не было необходимости. И действительно, подставив числовые значения, получим тот же результат (с точностью до погрешности округления):

\eta=\frac1{\left(\dfrac{7{,}0\cdot10^{-3}\ \text{м}^3}{5{,}0\cdot10^{-3}\ \text{м}^3}\right)^{7/5-1}-1}=6{,}94=694\%.

3.5. Чтобы всю воду превратить в лёд, нужно отвести от неё количество теплоты:

Q_{\text{полн}}=c_{\text{в}}m(T_{\text{комн}}-T_{\text{л}})+\lambda m.\qquad (24)

Так как КПД процесса оказывается постоянным, работу, которую необходимо затратить Феде для заморозки воды, можно рассчитать по формуле:

A_{\text{полн}}=\frac{Q_{\text{полн}}}{\eta}=\frac{c_{\text{в}}m(T_{\text{комн}}-T_{\text{л}})+\lambda m}{\eta}.\qquad (25)

A_{\text{полн}}=\frac{4200\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})\cdot0{,}2\ \text{кг}\cdot(393\ \text{К}-373\ \text{К})+3{,}3\cdot10^5\ \text{Дж}/\text{кг}\cdot0{,}2\ \text{кг}}{6{,}94}=11{,}9\ \text{кДж}.

Reader note 1: retained native source wording and scope

The original contains nine numbered assignments across grades 9, 10 and 11. Grade9 assignments1and2 each explicitly contain two unrelated tasks, now represented separately with their native section labels. The resulting eleven whole tasks preserve all53 lowest printed labels, including multiple prompts in some labels. Grade10 assignment1 has no such independence declaration and remains whole; all other native assignments and connected requests remain whole. The catalogue’s59parts are provisional.

Reader note 2: retained native source wording and scope

Covers on original question pages 1, 5 and 11 repeat full instructions and the December 2013 approval heading for the 2014 event. Question page 10 contains shared grade 10 reference data. No separate answer forms, marking matrix or author credits occur in the obtainable theory pair.

Reader note 3: retained native source wording and scope

The grade 9 traffic key literally prints x₂ greater than 4388 m or below 4614 m, then 4.4 km or 4.6 km. These final bounds do not follow its preceding inequality. The original displayed expressions are retained.

Reader note 4: retained native source wording and scope

The grade 9 scale key drops a factor of one half between its moment equation and final mass bound. It prints pressure-force results with the unit Pa and omits the added weight in its last numerical substitution. All original expressions and units remain unchanged.

Reader note 5: retained native source wording and scope

The botanical question prints capillary diameter 10⁻⁵ mm; its key uses metres. The question gives salt 20 g/L; the key’s repeated stem gives 1 g/L while its calculation uses 20. Chlorine is labelled M_Na in both stems. These original differences remain.

Reader note 6: retained native source wording and scope

The shared reference page prints Avogadro’s constant as 6.02 mol⁻¹ without a power of ten. Its atmospheric pressure 10⁵ Pa differs from the ice task’s 101 kPa. Both original values remain.

Reader note 7: retained native source wording and scope

The meteorological key repeats equation number 4 and prints heat 1.7 × 10¹⁴ J and about 4 × 10⁴ Gcal. The printed expressions are retained without a substituted arithmetic correction.

Reader note 8: retained native source wording and scope

The elastic disk key’s equation 8 drops a factor of two from the preceding horizontal-speed denominator. The source also switches some body names. All original wording and formulas remain.

Reader note 9: retained native source wording and scope

The ice question switches between Fedya and Vasily. Its key calls the initial expansion compression. Original key page 12 prints 8.6 J / 0.50 m = 17.2 N although page 11 gives work 10.45 J. A direct native PDF detail confirms the decimal 8.6.

Reader note 10: retained native source wording and scope

The ice key’s final total-work substitution on page 14 literally uses 393 K minus 373 K instead of the earlier 293 K and 273 K. The original numerical expression remains unchanged.

Reader note 11: retained native source wording and scope

The burning-ring key explicitly includes parts from an earlier question version. Its labels 1.1–1.7 differ from the current preparation and mechanics labels. All extended material is retained with correspondence notes. Current burning time and flame trajectory have no explicit matching answers; requested angular graphs are absent. Native equation 11 is physically obscured by its overlaid graph. Figure 4 and Figure 10 captions are displaced in the original.

Reader note 12: retained native source wording and scope

The burning-ring key’s printed angle denominator has a plus sign, and its subsequent derivative and angular-speed labels are retained literally. Its field graph covers angles zero to pi while the question considers a full burn to two pi.

Reader note 13: retained native source wording and scope

The car key includes an older downhill section absent from the current question and interchanges acceleration and uphill numbering. Every old key section remains, with exact correspondence explained separately. The question’s profile and the key’s two graph captions use figure numbers different from their prose references.

Reader note: incomplete answers in the extended burning-ring key

All10native burning-ring key pages and13figures are retained as an extended archive key. Its author expressly notes older question variants. Current0.2burning time and1.4flame trajectory are not explicitly answered, and requested omega(t)/beta(t) graphs are absent. Formula11 is genuinely obscured by the native overlaid graph; visible portions and source crop are preserved without reconstructing hidden text. Referenced Table1 is not present in the obtainable native key. Missing answers remain marked incomplete, not supplemented with newly derived text.

Reader note: original archive authority and complete obtainable packet

The archive retains this event-branded15pagequestion/32pagekey pair. An independent organizer publication URL was not established; every key uses archive attribution. The theoretical folder has no further theoretical companion, separate answer form or grading matrix. Distinct experimental PDFs are outside this paper. Original signs, Greek letters, units, literal source errors and extra old key sections remain; no source text was inferred from hidden or absent pixels.

Reader note: native caption placement

Figure9’s caption appears beside an adjacent prose column. The complete scientific diagram is cropped directly from the original PDF, with its original caption transcribed literally after it. Figure4 and Figure10 captions are natively displaced and preserved in text. No native artwork was whitened or redrawn. The Figure3 overlay and visible underlying formula11 fragments remain original source layout loss.

Примечание читателя о соответствии — 2 (11 класс). Бенгальский огонь

Ниже сохранён весь архивный ключ с его собственной нумерацией. Он прямо предупреждает о пунктах, отсутствующих в окончательном условии. Ключевое 1.1 соответствует подготовительному 0.1; ключевые 1.2–1.6 относятся к центру масс неподвижного кольца (нынешнее 1.1), 1.7 — к повороту подвешенного кольца (нынешние 1.2–1.3), 2.1–2.2 — к электростатической части. Явный ответ на нынешнее 0.2 и траектория самого огня в нынешнем 1.4 в этом ключе отсутствуют; графики требуемых зависимостей угла и угловой скорости от времени не напечатаны. Ответы не дописаны читателем.

Примечание читателя о соответствии — 3 (11 класс). Автомобиль и топливо

Сохранён весь исходный ключ с его собственной нумерацией. Его 1 соответствует нынешнему 1, ключевое 2 «Подъём» — нынешнему 3, ключевое 4 «Разгон» — нынешнему 2, ключевое 5 — нынешнему 4, ключевое 6 — нынешнему 5. Ключевое 3 «Спуск с горы» относится к прежнему варианту и не создаёт новой задачи в текущем условии.

Примечание читателя — оригинальное наложение рисунка

На исходной странице 19 рисунок 3 физически наложен на формулу (11), закрывая её продолжение. Ниже сохранён исходный фрагмент с наложением; скрытые символы не восстановлены из догадки или скрытого текстового слоя.

Reader note: original abbreviated cycle-count subscript

The total-cycle formula on original key page13 prints the abbreviated subscript N_заморозк. The exact original PDF detail is retained in reading evidence. Initial transcription attempts omitted or expanded its ending; the final transcription retains the original abbreviation. The unmodified prose gate checks both trusted sources and reports no defects, omissions or misreadings.

Оригинал в Архива: 3_etap_2014_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 3_etap_2014_theoretical_solutions.pdf