Съдържание

Условие 1. Простая поездка 2. Разгон 3. Подъём в гору 4. Постоянный расход 5. Интересно знать Решение

BelPhO 2014, Областен етап — Задача 11-3. Автомобиль и топливо

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2014

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2014 — III этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Eleven whole tasks across grades 9–11, with 53 lowest printed labels. Full obtainable questions, extended archive keys, graphs, table, instructions and reference data retained. Original numerical, unit and label differences are separately explained. The burning-ring key lacks some current answers and graphs; its original equation 11 is physically obscured. No absent answer is inferred. No further theory companion was obtainable.

2014. III этап. Теоретический тур. 9 класс — инструкции

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования. __________________В.А. Будкевич. «» декабря 2013 г.

Республиканская физическая олимпиада 2014 год. (III этап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач! Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Успехов Вам на олимпиаде! Ждем Вас в Могилеве на Заключительном туре!

2014. III этап. Теоретический тур. 10 класс — инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2014 год. (III этап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Успехов Вам на олимпиаде! Ждем Вас в Могилеве на Заключительном туре!

2014. III этап. Теоретический тур. 11 класс — инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2014 год. (III этап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Успехов Вам на олимпиаде! Ждем Вас в Могилеве на Заключительном туре!

Условие

В данной задаче вам предлагается оценить расход топлива для различных видов движения автомобиля. Здесь мы будем рассматривать движение и потребление топлива автомобилем в рамках довольно упрощенной модели, описывающей, однако, основные связи между ключевыми величинами, определяющими данные процессы.

Будем изучать легковой автомобиль массы $m=1{,}5\ \text{т}$ , потребляющий топливо плотностью $\rho=710\ \text{кг}/\text{м}^3$ и удельной теплотой сгорания $q=44\ \text{МДж}/\text{кг}$ .
В рамках рассматриваемой модели будем считать КПД постоянным и равным $\eta=15\%$ . Под КПД здесь понимаем долю от энергии, выделившейся при сгорании топлива, которая преобразована двигателем в механическую энергию, затраченную разгон автомобиля, преодоление сопротивления воздуха, обеспечение работы автомобиля, например, электроснабжение (считайте, что на все подобные цели расходуется постоянная мощность $P_1=1{,}0\ \text{кВт}$ )
Силу сопротивления воздуха в данной задаче предлагаем упрощенно считать прямо пропорциональной скорости транспорта $F_C=kv$ , где $k$ – размерный коэффициент, который следует принять равным $k=15\ \text{Н}\cdot\text{с}/\text{м}$ .
Основной изучаемой характеристикой в задаче является расход топлива, который будем обозначать символом $\chi$ . Под расходом понимается объём топлива, требуемый для преодоления некоторой единицы расстояния $\chi=V/L$ , где $V$ – объем использованного топлива, $L$ – пройденный путь. Автомобилисты обычно измеряют расход в «литрах на сотню километров» ( $\text{л}/(100\ \text{км})$ ) – все рассчитанные значения $\chi$ вам необходимо указать в данной единице измерения.

1. Простая поездка

Автомобиль движется по прямой горизонтальной дороге с постоянной скоростью.

1.1 Расчитайте расход топлива, если скорость автомобиля $\upsilon=80\ \text{км}/\text{ч}$ .

1.2 Оказывается, что при некотором значении скорости расход топлива оказывается минимально возможным. Найдите это значение скорости $\upsilon_0$ , а также минимальный расход $\chi_{\min}$ .

2. Разгон

Автомобиль, начав равноускоренно двигаться по горизонтальной дороге после остановки, набрал скорость $\upsilon_1=90\ \text{км}/\text{ч}$ за время $\Delta t=2$ минуты.

2.1 Найдите зависимость расхода топлива от времени $\chi(t)$ во время разгона.
В этом пункте будет также полезным посчитать количество топлива, расходуемое в единицу времени $\psi=\Delta V/\Delta t$ . Назовём эту величину $\psi$ «временны́м расходом топлива», и будем ее измерять в $\text{л}/\text{с}$ (литрах в секунду).

2.2 Найдите зависимость временно́го расхода топлива от времени $\psi(t)$ .

2.3 Оцените средний временно́й расход топлива за весь промежуток времени $\Delta t$ .

2.4 Оцените средний расход топлива $\langle\chi\rangle$ на всем пройденном пути (в $\text{л}/(100\ \text{км})$ ).

3. Подъём в гору

При подъёме в гору даже малого уклона, расход топива значительно возрастает. Автомобиль поднимается в гору с постоянной скоростью по прямой дороге, образующей угол $\alpha=3^\circ$ с горизонтом.

Исходная иллюстрация автомобиля на подъеме

3.1 Расчитайте расход топлива, если скорость автомобиля $\upsilon=80\ \text{км}/\text{ч}$ .

3.2 При какой скорости $\upsilon_0$ расход топлива минимален и чему он равен?

4. Постоянный расход

Автомобиль движется из пункта A в пункт B по дороге без поворотов, профиль которой (зависимость высоты от продольной горизонтальной координаты) представлен на рис. 1. Будем полагать, что автомобиль поддерживает скорость движения такой, чтобы расход топлива был всё время постоянным и оставался равным $\chi=9{,}7\ \text{л}/(100\ \text{км})$ . Известно, что скорость всегда была больше 30 км/ч. Также считайте, что скорость в процессе движения меняется очень медленно – так, что ускорением в любой момент времени можно пренебречь.

4.1 Оцените время, которое понадобится автомобилю, чтобы попасть из пункта A в пункт B.

5. Интересно знать

Если выразить расход топлива в единицах СИ вместо предложенной единицы измерения $\text{л}/(100\ \text{км})$ , то можно заметить, что $\chi$ имеет размерность площади ( $\text{м}^2$ ).

5.1 Покажите, какую именно площадь описывает величина расхода топлива, выраженная в единицах СИ ( $\text{м}^2$ ).

Решение

Автомобиль и топливо. Решение

1. Простая поездка

1.1. Пусть расход топлива равен $\chi$ . За некоторый промежуток времени $\Delta t$ автомобиль проедет расстояние $l=v\Delta t$ и израсходует объём $V=\chi l=\chi v\Delta t$ топлива. При сгорании этого топлива выделится энергия $Q=qm=q\rho V=q\rho\chi v\Delta t$ . Часть $\eta$ данной энергии пойдёт на обеспечение электроники автомобиля и преодоление силы сопротивления воздуха, работа которой за указанный промежуток времени равна $kv\cdot l=kv^2\Delta t$ . В итоге получаем:

\eta q\rho\chi v\Delta t=P_1\Delta t+kv^2\Delta t.\qquad (1)

Откуда выражаем расход топлива:

\chi=\frac1{\eta q\rho}\left(\frac{P_1}{v}+kv\right).\qquad (2)

\chi=\frac1{0{,}15\cdot44\cdot10^6\ \text{Дж}/\text{кг}\cdot710\ \text{кг}/\text{м}^3}\left(\frac{1000\ \text{Вт}}{80\ \text{м}/(3{,}6\ \text{с})}+15\ \text{Н}\cdot\text{с}/\text{м}\cdot\frac{80\ \text{м}}{3{,}6\ \text{с}}\right)=8{,}07\cdot10^{-8}\ \text{м}^3/\text{м}=8{,}07\ \text{л}/(100\ \text{км}).\qquad (3)

1.2. Выражение (2) можно преобразовать к виду « $x+1/x$ »:

\chi=\frac1{\eta q\rho}\left(\frac{P_1}{v}+kv\right)=\frac{\sqrt{P_1k}}{\eta q\rho}\left(\frac{\sqrt{P_1}}{v\sqrt k}+\frac{v\sqrt k}{\sqrt{P_1}}\right)\ge\frac{2\sqrt{P_1k}}{\eta q\rho}.\qquad (4)

То есть минимальный расход топлива равен:

\chi_{\min}=\frac{2\sqrt{P_1k}}{\eta q\rho}=\frac{2\sqrt{1000\ \text{Вт}\cdot15\ \text{Н}\cdot\text{с}/\text{м}}}{0{,}15\cdot44\cdot10^6\ \text{Дж}/\text{кг}\cdot710\ \text{кг}/\text{м}^3}=5{,}23\ \text{л}/(100\ \text{км}).\qquad (5)

Реализуется минимальное значение расхода при условии $\sqrt{P_1}/(v_0\sqrt k)=1$ (согласно примечанию про выражение вида $x+1/x$ в условии задачи), то есть:

v_0=\sqrt{\frac{P_1}k}=\sqrt{\frac{1000\ \text{Вт}}{15\ \text{Н}\cdot\text{с}/\text{м}}}=8{,}16\ \text{м}/\text{с}=29{,}4\ \text{км}/\text{ч}.\qquad (6)

2. Подъём в гору

2.1. В случае подъёма в выражении (1) в правой части необходимо добавить работу на преодоление силы тяжести – $mgh$ . Так как высота подъёма $h$ рассчитывается как $h=l\sin\alpha=v\Delta t\sin\alpha$ , получим уравнение:

\eta q\rho\chi v\Delta t=P_1\Delta t+kv^2\Delta t+mg\sin\alpha\,v\Delta t.\qquad (7)

Откуда следует выражение для расхода топлива:

\chi=\frac1{\eta q\rho}\left(\frac{P_1}v+kv+mg\sin\alpha\right).\qquad (8)

\chi=\frac1{0{,}15\cdot44\cdot10^6\ \text{Дж}/\text{кг}\cdot710\ \text{кг}/\text{м}^3}\left(\frac{1000\ \text{Вт}}{80\ \text{м}/(3{,}6\ \text{с})}+15\ \text{Н}\cdot\text{с}/\text{м}\cdot\frac{80\ \text{м}}{3{,}6\ \text{с}}+1500\ \text{кг}\cdot9{,}8\ \text{м}/\text{с}^2\sin3^\circ\right),

\chi=24{,}5\ \text{л}/(100\ \text{км}).

2.2. В выражении (8) зависимость от скорости имеет вид $P_1/v+kv$ , идентичный рассмотренному в пером пункте задачи. Тогда минимальный расход топлива будет реализован при той же скорости равномерного движения $v_0=\sqrt{P_1/k}=29{,}4\ \text{км}/\text{ч}$ . Сам минимальный расход при этом равен:

\chi_{\min}=\frac{2\sqrt{P_1k}+mg\sin\alpha}{\eta q\rho}=\frac{2\sqrt{1000\ \text{Вт}\cdot15\ \text{Н}\cdot\text{с}/\text{м}}+1500\ \text{кг}\cdot9{,}8\ \text{м}/\text{с}^2\sin3^\circ}{0{,}15\cdot44\cdot10^6\ \text{Дж}/\text{кг}\cdot710\ \text{кг}/\text{м}^3}=21{,}6\ \text{л}/(100\ \text{км}).\qquad (9)

3. Спуск с горы

3.1. Теперь сила тяжести совершает работу над автомобилем – данное поступление энергии надо записать в левую сторону выражения (1):

\eta q\rho\chi v\Delta t+mg\sin\alpha\,v\Delta t=P_1\Delta t+kv^2\Delta t.\qquad (10)

Отсюда расход топлива определяется выражением:

\chi=\frac1{\eta q\rho}\left(\frac{P_1}v+kv-mg\sin\alpha\right).\qquad (11)

\chi=\frac1{0{,}15\cdot44\cdot10^6\ \text{Дж}/\text{кг}\cdot710\ \text{кг}/\text{м}^3}\left(\frac{1000\ \text{Вт}}{80\ \text{м}/(3{,}6\ \text{с})}+15\ \text{Н}\cdot\text{с}/\text{м}\cdot\frac{80\ \text{м}}{3{,}6\ \text{с}}-1500\ \text{кг}\cdot9{,}8\ \text{м}/\text{с}^2\sin1^\circ\right),

\chi=2{,}60\ \text{л}/(100\ \text{км}).

3.2. Приравнивая выражение (11) к нулю, можно получить квадратное уравнение:

kv_0^2-mg\sin\alpha\,v_0+P_1=0.\qquad (12)

Его дискриминант равен:

D=m^2g^2\sin^2\alpha-4P_1k.\qquad (13)

А решение имеет вид:

v_0=\frac1{2k}\left[mg\sin\alpha\pm\sqrt D\right].\qquad (14)

Подставляя числовые значения, получим два искомых значения скорости:

v_{01}=11{,}1\ \text{м}/\text{с}=39{,}9\ \text{км}/\text{ч},\quad v_{02}=6{,}01\ \text{м}/\text{с}=21{,}6\ \text{км}/\text{ч}.\qquad (15)

3.3. При движении автомобиля с ускорением необходимо в выражении (10) дополнительно учитывать расходы энергии по увеличению скорости автомобиля. Из второго закона Ньютона известно, для того, чтобы тело двигалось с ускорением $a$ , к нему должна быть приложена равнодействующая сила, по модулю равная $ma$ , которая и будет совершать работу по разгону. Воспользуемся этим знанием в нашей задаче: расходы энергии на ускорение автомобиля считаем как работу некоторой силы, равной $ma$ при перемещении на расстояние $v\Delta t$ . Тогда, в отсутствие расхода топлива, уравнение (10) примет вид:

mg\sin\alpha\,v\Delta t=P_1\Delta t+kv^2\Delta t+mav\Delta t.\qquad (16)

Отсюда получаем искомую зависимость ускорения от скорости:

a=g\sin\alpha-\frac1m\left(kv+\frac{P_1}v\right).\qquad (17)

Рассмотрим знак ускорения вблизи найденных значений $v_0$ . Во-первых, можно убедиться, что при скорости $v_{01}$ или $v_{02}$ ускорение действительно равно нулю. Во-вторых, отметим, что в сумме $kv+P_1/v$ при скорости $v_{01}$ основную роль играет первое слагаемое, а при скорости $v_{02}$ – второе. В этом можно убедиться, к примеру, подставив численные значения.
Пусть автомобиль двигался со скоростью $v_{01}$ и эта скорость немного увеличилась. Определим знак ускорения. В скобке в (17) основную роль играет слагаемое $kv$ – оно увеличится, а само ускорение уменьшится. Учитывая, что при $v_{01}$ оно было равно нулю, получаем $a<0$ при $v>v_{01}$ . Аналогичными рассуждениями можно прийти к результату $a>0$ при $v<v_{01}$ . Такие соотношения говорят об устойчивости значения скорости $v_{01}$ : при небольшом отклонении ускорение возвращает величину скорости обратно к $v_{01}$ .
Качественное объяснение полученных знаков ускорения следующее. $v_{01}$ – большее из двух найденных значений $v_0$ . При больших скоростях основную роль в сопротивлении движению оказывает сила сопротивления воздуха. С увеличением скорости эта сила также увеличится, что создаст тормозящее, то есть отрицательное, ускорение и наоборот.
Если рассмотреть движение автомобиля при скорости, близкой к $v_{02}$ , то основную роль будет играть слагаемое $P_1/v$ , имеющее смысл торможения двигателем. Как видно, его влияние уменьшается с увеличением скорости, что приведёт к следующей расстановке знаков ускорения: $a>0$ при $v>v_{02}$ и $a<0$ при $v<v_{02}$ . Такая расстановка знаков говорит о неустойчивости значения скорости $v_{02}$ . Действительно, при малом, например, возрастании скорости возникшее ускорение будет еще больше её увеличивать, удаляя всё дальше от величины $v_{02}$ .
Знаки ускорения оказались такими, что со временем значения скоростей будут расходиться от $v_{02}$ и сходиться к $v_{01}$ . Таким образом, через достаточно большой промежуток времени спуска автомобиля с горки не расходуя топливо, автомобиль будет двигаться со скоростью $v_{01}=39{,}9\ \text{км}/\text{ч}$ .
3.4. Постоянную скорость спуска с горы, не расходуя топливо, мы сможем определить из выражения (14) в том случае, если дискриминант (13) квадратного уравнения неотрицательный:

D=m^2g^2\sin^2\alpha-4P_1k\ge0.

Отсюда получаем условие для угла уклона:

\sin\alpha\ge\frac{2\sqrt{P_1k}}{mg}.\qquad (18)

\alpha\ge\arcsin\frac{2\sqrt{1000\ \text{Вт}\cdot15\ \text{Н}\cdot\text{с}/\text{м}}}{1500\ \text{кг}\cdot9{,}8\ \text{м}/\text{с}^2},\qquad\alpha\ge0{,}95^\circ.

4. Разгон

Для вычислений будет удобно заранее посчитать величину постоянного ускорения автомобиля.

a=\frac{v_1}{\Delta t}=\frac{(90/3{,}6)\ \text{м}/\text{с}}{2\cdot60\ \text{с}}=0{,}208\ \text{м}/\text{с}^2.\qquad (19)

4.1. Количество энергии, необходимое на разгон автомобиля мы уже считали в п.3.3. Запишем (1), добавляя слагаемое, связанное с разгоном.

\eta q\rho\chi v\Delta t=P_1\Delta t+kv^2\Delta t+mav\Delta t.\qquad (20)

Вспоминая, что для равноускоренного движения без начальной скорости справедливо $v=at$ , получим искомое выражение для зависимости расхода топлива от времени.

\chi(t)=\frac1{\eta q\rho}\left(\frac{P_1}{at}+kat+ma\right).\qquad (21)

4.2. Пройдя некоторое малое расстояние $\Delta l$ , автомобиль расходует объём топлива равный $\Delta V=\chi\Delta l$ . Если это расстояние пройдено за промежуток времени $\Delta t$ , то временно́й расход топлива равен:

\psi=\frac{\Delta V}{\Delta t}=\chi\frac{\Delta l}{\Delta t}=\chi v.\qquad (22)

Выражение (22) показывает связь между введенными временны́м и обычным расходами топлива в любой момент времени. Подставляя (21) в (22) и используя $v=at$ для равноускоренного движения, получим требуемую зависимость.

\psi(t)=\frac1{\eta q\rho}\left(P_1+ka^2t^2+ma^2t\right).\qquad (23)

4.3. Средний временно́й расход будем рассчитывать по формуле

\langle\psi\rangle=\frac V{\Delta t},\qquad (24)

где $V$ – объём топлива, израсходованного автомобилем за все $\Delta t=120\ \text{с}$ пути. Для нахождения этой величины удобным оказывается построить график зависимости $\psi(t)$ (рис. 1). Действительно на каждом малом участке пути объём потраченного топлива равен произведению величин $\psi$ и $\Delta t$ , из чего следует, что полный объём топлива $V$ будет равен площади под указанным графиком.

Рисунок 3 ключа. График зависимости временного расхода от времени

На рис. 1 под графиком оказалось приблизительно 154 клетки. Площадь одной клетки, исходя из цен деления осей, равна: $0{,}25\ \text{мл}/\text{с}\times5\ \text{с}=1{,}25\ \text{мл}$ . Тогда полный объём израсходованного автомобилем топлива равен: $V=1{,}25\ \text{мл}\cdot154=192{,}5\ \text{мл}$ .
Таким образом, средний временно́й расход топлива равен:

\langle\psi\rangle=\frac V{\Delta t}=\frac{192{,}5\ \text{мл}}{120\ \text{с}}=1{,}60\ \text{мл}/\text{с}.

4.4. Зная полный объём потраченного топлива, можно определить и средний путевой его расход. Вспоминая, что для равноускоренного движения пройденный путь $l=at^2/2$ , получаем:

\langle\chi\rangle=\frac Vl=\frac{2V}{at^2}=\frac{2\cdot192{,}5\ \text{мл}}{0{,}208\ \text{м}/\text{с}^2\cdot(120\ \text{с})^2}=0{,}129\ \text{мл}/\text{м}=12{,}9\ \text{л}/(100\ \text{км}).

5. Постоянный расход

5.1. Исходя из графика, представленного в условии задачи, мы можем получить информацию о горизонтальной координате, высоте, и угле наклона дороги в любой точке. На основании того, что горизонтальные координаты на дороге на два порядка превышают вертикальные, отсчитываемые от места начала движения, будем считать, что пройденный автомобилем путь мало отличается от его координаты $x$ (то есть высота подъема пренебрежимо мала по сравнению с горизонтальным перемещением). Так как по условию ускорением можно пренебречь, то справедливо выражение (8) для расхода топлива при подъёме на склон. Его можно переписать в виде квадратного уравнения для скорости:

kv^2+(mg\sin\alpha-\eta q\rho\chi)v+P_1=0.\qquad (25)

Подставив значение $\sin\alpha$ , из уравнения (25) сможем определить скорость движения при заданном расходе топлива. Возьмём некоторое количество точек на графике в условии и проведём для них соответствующие вычисления. Результаты будем записывать в таблицу.
Для определения угла $\alpha$ по графику удобной процедурой является измерение $\operatorname{tg}\alpha$ , построив касательную к профилю. К нашему удобству, для малого уклона $\operatorname{tg}\alpha\approx\sin\alpha$ . У квадратного уравнения, вообще говоря, два различных корня. Однако один из них будет соответствовать медленному движению, не подходящему под условие данного пункта.
Для того чтобы найти время движения автомобиля, построим график зависимости величины, обратной скорости $(1/\upsilon)$ от пройденного пути. Действительно, их произведение на каждом малом промежутке дает соответствующий интервал времени, а вся площадь под графиком будет определять полное время движения автомобиля.

Таблица 1

№	$l$ , км	$h$ , м	$\sin\alpha$	$v_1$ , м/с	$v_2$ , м/с	$1/v_2$ , с/км
1	0	0	0,014	6,85	9,73	102,734
2	1	12	0,01	4,05	16,45	60,790
3	2	22	0,0082	3,56	18,70	53,470
4	3	30	0,0063	3,17	21,00	47,611
5	4	35	0,004	2,83	23,55	42,459
6	6	39	0,0007	2,46	27,15	36,830
7	8	40	0	2,39	27,91	35,824
8	10	41	0,0005	2,44	27,38	36,526
9	12	45	0,0039	2,82	23,66	42,259
10	13	50	0,0062	3,17	21,06	47,480
11	14	56	0,0083	3,59	18,58	53,819
12	15	66	0,0118	4,77	13,96	71,608

Рисунок 4 ключа. График зависимости обратной скорости от пройденного пути

Под графиком на рис. 2 оказалось примерно 67 клеток. Площадь каждой определяется ценой деления и равна: $1\ \text{км}\times10\ \text{с}/\text{км}=10\ \text{с}$ . Получаем, что общее время движения автомобиля из пункта A в пункт B оцениваем как:

T=67\ \text{клеток}\times10\ \text{с}=670\ \text{с}=11{,}2\ \text{минуты}.

6. Интересно знать

6.1. Согласно введенному определению, расход топлива – это объем делённый на единицу пути: $\chi=V/L$ . По размерности эта величина соответствует некоторой площади.
Действительно, если мы объём делим на некоторую длину объекта, то получаем среднюю площадь поперечного сечения. В качестве длины объекта $L$ в нашей формуле выступает пройденный путь. Получаем, если мы весь объем расходуемого топлива растянем тонкой струёй вдоль пройденного пути (вдоль траектории), то величина расхода $\chi$ будет равна малой площади поперечного сечения этой струи.

Reader note 1: retained native source wording and scope

The original contains nine numbered assignments across grades 9, 10 and 11. Grade9 assignments1and2 each explicitly contain two unrelated tasks, now represented separately with their native section labels. The resulting eleven whole tasks preserve all53 lowest printed labels, including multiple prompts in some labels. Grade10 assignment1 has no such independence declaration and remains whole; all other native assignments and connected requests remain whole. The catalogue’s59parts are provisional.

Reader note 2: retained native source wording and scope

Covers on original question pages 1, 5 and 11 repeat full instructions and the December 2013 approval heading for the 2014 event. Question page 10 contains shared grade 10 reference data. No separate answer forms, marking matrix or author credits occur in the obtainable theory pair.

Reader note 3: retained native source wording and scope

The grade 9 traffic key literally prints x₂ greater than 4388 m or below 4614 m, then 4.4 km or 4.6 km. These final bounds do not follow its preceding inequality. The original displayed expressions are retained.

Reader note 4: retained native source wording and scope

The grade 9 scale key drops a factor of one half between its moment equation and final mass bound. It prints pressure-force results with the unit Pa and omits the added weight in its last numerical substitution. All original expressions and units remain unchanged.

Reader note 5: retained native source wording and scope

The botanical question prints capillary diameter 10⁻⁵ mm; its key uses metres. The question gives salt 20 g/L; the key’s repeated stem gives 1 g/L while its calculation uses 20. Chlorine is labelled M_Na in both stems. These original differences remain.

Reader note 6: retained native source wording and scope

The shared reference page prints Avogadro’s constant as 6.02 mol⁻¹ without a power of ten. Its atmospheric pressure 10⁵ Pa differs from the ice task’s 101 kPa. Both original values remain.

Reader note 7: retained native source wording and scope

The meteorological key repeats equation number 4 and prints heat 1.7 × 10¹⁴ J and about 4 × 10⁴ Gcal. The printed expressions are retained without a substituted arithmetic correction.

Reader note 8: retained native source wording and scope

The elastic disk key’s equation 8 drops a factor of two from the preceding horizontal-speed denominator. The source also switches some body names. All original wording and formulas remain.

Reader note 9: retained native source wording and scope

The ice question switches between Fedya and Vasily. Its key calls the initial expansion compression. Original key page 12 prints 8.6 J / 0.50 m = 17.2 N although page 11 gives work 10.45 J. A direct native PDF detail confirms the decimal 8.6.

Reader note 10: retained native source wording and scope

The ice key’s final total-work substitution on page 14 literally uses 393 K minus 373 K instead of the earlier 293 K and 273 K. The original numerical expression remains unchanged.

Reader note 11: retained native source wording and scope

The burning-ring key explicitly includes parts from an earlier question version. Its labels 1.1–1.7 differ from the current preparation and mechanics labels. All extended material is retained with correspondence notes. Current burning time and flame trajectory have no explicit matching answers; requested angular graphs are absent. Native equation 11 is physically obscured by its overlaid graph. Figure 4 and Figure 10 captions are displaced in the original.

Reader note 12: retained native source wording and scope

The burning-ring key’s printed angle denominator has a plus sign, and its subsequent derivative and angular-speed labels are retained literally. Its field graph covers angles zero to pi while the question considers a full burn to two pi.

Reader note 13: retained native source wording and scope

The car key includes an older downhill section absent from the current question and interchanges acceleration and uphill numbering. Every old key section remains, with exact correspondence explained separately. The question’s profile and the key’s two graph captions use figure numbers different from their prose references.

Reader note: incomplete answers in the extended burning-ring key

All10native burning-ring key pages and13figures are retained as an extended archive key. Its author expressly notes older question variants. Current0.2burning time and1.4flame trajectory are not explicitly answered, and requested omega(t)/beta(t) graphs are absent. Formula11 is genuinely obscured by the native overlaid graph; visible portions and source crop are preserved without reconstructing hidden text. Referenced Table1 is not present in the obtainable native key. Missing answers remain marked incomplete, not supplemented with newly derived text.

Reader note: original archive authority and complete obtainable packet

The archive retains this event-branded15pagequestion/32pagekey pair. An independent organizer publication URL was not established; every key uses archive attribution. The theoretical folder has no further theoretical companion, separate answer form or grading matrix. Distinct experimental PDFs are outside this paper. Original signs, Greek letters, units, literal source errors and extra old key sections remain; no source text was inferred from hidden or absent pixels.

Reader note: native caption placement

Figure9’s caption appears beside an adjacent prose column. The complete scientific diagram is cropped directly from the original PDF, with its original caption transcribed literally after it. Figure4 and Figure10 captions are natively displaced and preserved in text. No native artwork was whitened or redrawn. The Figure3 overlay and visible underlying formula11 fragments remain original source layout loss.

Примечание читателя о соответствии — 2 (11 класс). Бенгальский огонь

Ниже сохранён весь архивный ключ с его собственной нумерацией. Он прямо предупреждает о пунктах, отсутствующих в окончательном условии. Ключевое 1.1 соответствует подготовительному 0.1; ключевые 1.2–1.6 относятся к центру масс неподвижного кольца (нынешнее 1.1), 1.7 — к повороту подвешенного кольца (нынешние 1.2–1.3), 2.1–2.2 — к электростатической части. Явный ответ на нынешнее 0.2 и траектория самого огня в нынешнем 1.4 в этом ключе отсутствуют; графики требуемых зависимостей угла и угловой скорости от времени не напечатаны. Ответы не дописаны читателем.

Примечание читателя о соответствии — 3 (11 класс). Автомобиль и топливо

Сохранён весь исходный ключ с его собственной нумерацией. Его 1 соответствует нынешнему 1, ключевое 2 «Подъём» — нынешнему 3, ключевое 4 «Разгон» — нынешнему 2, ключевое 5 — нынешнему 4, ключевое 6 — нынешнему 5. Ключевое 3 «Спуск с горы» относится к прежнему варианту и не создаёт новой задачи в текущем условии.

Примечание читателя — оригинальное наложение рисунка

На исходной странице 19 рисунок 3 физически наложен на формулу (11), закрывая её продолжение. Ниже сохранён исходный фрагмент с наложением; скрытые символы не восстановлены из догадки или скрытого текстового слоя.

Reader note: original abbreviated cycle-count subscript

The total-cycle formula on original key page13 prints the abbreviated subscript N_заморозк. The exact original PDF detail is retained in reading evidence. Initial transcription attempts omitted or expanded its ending; the final transcription retains the original abbreviation. The unmodified prose gate checks both trusted sources and reports no defects, omissions or misreadings.

Оригинал в Архива: 3_etap_2014_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 3_etap_2014_theoretical_solutions.pdf