BelPhO 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-1. «Тахоманометр»

• 5. 15 %

  По данным официального решения ($\lambda_1 = 77$, $\lambda_2 = 91$): $\Delta\nu/\nu \approx 15\ \%$; у участника зависит от установки.

1. В натянутой нити, закрепленной с обоих концов, стоячая волна возможна только при определенных частотах. Это связано с тем, что на закрепленных концах нити амплитуда колебаний должна быть равна нулю, то есть концы нити должны быть узлами стоячей волны. Отсюда следует, что на длине нити L должно укладываться целое число n полуволн. $L = n\dfrac{\lambda}{2}$

Перемещая вибратор вдоль нити, при разных нагрузках можно получить стоячую волну на расстоянии λ или λ/2 от точки подвеса нити.

$\upsilon = \nu\lambda = A\left(NF_0\right)^{\alpha}$, т. к. частота вибратора $\nu$ постоянна, $\upsilon$ $\propto$ $\lambda$ $\propto$ $N^{\alpha}$, где $N$ – количество гаек весом $F_0$, растягивающих нить.

Коэффициент наклона графика в логарифмическом масштабе равен 0,5 – следовательно $v \propto \sqrt{F}$

2. Нагрузим нить силой 6F₀ и будем получать стоячие волны, изменяя сечение от S₀ до 8S₀.

Перемещая вибратор вдоль нити, при разных сечениях нити можно получить стоячую волну на расстоянии λ или λ/2 от точки подвеса нити.

$\upsilon = \nu\lambda = B\left(NS_0\right)^{\beta}$, т. к. частота вибратора ν постоянна, $\upsilon$ $\propto$ $\lambda$ $\propto$ $N^{\beta}$, где N – количество нитей сечением S0 соединенных параллельно в жгут.

Коэффициент наклона графика в логарифмическом масштабе равен -0,5, следовательно, $v \propto \dfrac{1}{\sqrt{S}}$ .

Часть 3.

3. Способ №1 Использование метода размерностей дает зависимость $v \propto \dfrac{1}{\sqrt{\rho}}$

4. Способ №2

Предположим, что деформации натянутой нити (резинового шнура), связанные с поперечными колебаниями, малы. Следовательно, при малых колебаниях можно пренебречь изменениями величины силы натяжения нити (резинового шнура). Выделим маленький участок нити площадью сечения S в ее амплитудной части массой Δm и длины дуги окружности Δl=RΔα радиуса R, распространяющейся со скоростью υ вдоль нити с центростремительным ускорением υ2/R.

Тогда для малых деформаций нити можно записать:

4. Учитывая полученные результаты при выполнении пунктов №1,2,3 - можно записать:

, где N – количество грузиков весом F0 деформирующих шнур, L, S, m – длина, площадь сечения,

При увеличении нагрузки на резиновый шнур меняется его плотность и при этом должна выполняться зависимость: $\upsilon$ $\propto$ $\lambda$ $\propto$ $\sqrt{NL}$

Из графика следует, что $v \propto \dfrac{1}{\sqrt{\rho}}$ .

5. Нагрузим нить сечением 2S₀ грузом весом 4F₀ . При этих параметрах шнура образуется стоячая волна $\lambda_1 = 77$ ñì . При тех же параметрах нити, но при уменьшенной с помощью резистора силе тока через электродвигатель, длина стоячей волны равна $\lambda_2 = 91$ ñì .

Так как скорость распространения поперечных колебаний по шнуру не зависит от частоты вибратора (частоты вращения моторчика), то можно записать:

Итак, с помощью имеющегося у вас оборудования можно определять изменение частоты оборотов двигателя.

Назовем такое устройство ТАХО-МАНОМЕТР!