Съдържание

Условие Часть 1. Переменная диэлектрическая проницаемость.Часть 2. Переменная проводимость.Решение

BelPhO 2014, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 11-3. 11 класс — 3.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2014

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 17 страниц условий и 34 страницы соответствующего теоретического ключа. Сохранены девять целых заданий: по три для 9, 10 и 11 классов, 54 явно обозначенные группы запросов. Ненумерованный составной запрос о тени и раздел 0 об уравнении адиабаты сохранены целиком. Введение 1.2 к непрерывному диэлектрику и введение 2.2.1 к непрерывному резистору не превращены в дополнительные запросы. Сохранены все полные ключи, альтернативные выводы и модели, сноска, числовые таблицы, исходные формулы и графики. Полный пустой бланк к задаче 10-2 напечатан на странице 10 условий и включен. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны. В исходной папке нет дополнительных теоретических приложений; экспериментальные оригиналы принадлежат отдельному туру и здесь не использованы.

Исходные научные и редакционные несогласованности сохранены без исправления: ссылки и номера рисунков в задаче о нагреве и фотоэффекте расходятся с подписями; в задаче о стержне повторены номер формулы 2 и пункт 1.2.2 (второй пункт имеет † только для различения ссылок), а в формуле 15 ключа напечатано ε₀ вместо ε₁. В сравнении циклов раздел 3 содержит пункты 4.1/4.2, отношение давлений при вычислении T₃ напечатано p₂/p₂, а у результата 70,2 не напечатан знак процента. В ключе к «Установлению равновесия» повторены номера формул и перепутаны подписи графиков лодки/конденсатора и U₁/U₂. В «Краях» отдельные исходные символы B/x отображаются как Â/õ; отсутствующие глифы в K □ B и индексе силы параллельного диполя представлены □. Для диполя условие r≫L расходится с L≫r в ключе; напечатанные коэффициент 3/4 и отношение F⊥=F□/2 сохранены. Ключ сферической линзы нумерует ответы 4.1/4.2/4.3 иначе, чем условие, и последний комментарий дважды называет плосковыпуклую поверхность. Исходное «одно12тонный» в условии фотоэффекта сохранено, угол на схеме отложен от нормали, тогда как пункт 3.1 указывает угол к поверхности, и в ключе повторен индекс компоненты. В последней задаче рисунок диэлектрика обозначает ρ(x), а три запроса части 2 вновь имеют номера 1.2.1–1.2.3. Ключ сохраняет разные множители в формулах 7/8, повтор E₂s−E₂s, пропуск площади в формуле 20, повтор E₁ для двух половин резистора и лишний множитель E в конечной формуле поверхностного заряда. Явная итоговая формула сопротивления непрерывного резистора в ключе не напечатана; она не дописана. Остальные исходные обозначения и грамматические ошибки также сохранены. График касательной в ключе на странице 5 обрезан в самом исходнике справа после отметки 5 минут; сохранен полный полученный рисунок. Схема цепочки в ключе пространственно соседствует с текстом и формулами внутри своей прямоугольной области; сохранен полный исходный контекст, без частичных обрезков слов. В исходном рисунке тонких слоев на странице 32 ключа низ обозначения Δxᵢ обрезан самим встроенным изображением; полученное изображение сохранено полностью, без дорисовки.

Оригинальная общая обложка

А.И.Слободянюк, В.В.Барашков, Л.Г.Маркович, Н.В.Лаппо, К.Д.Сечко. Республиканская физическая олимпиада 2014 года (Заключительный этап). Теоретический тур. Могилев. 2014.

Условие

С развитием технологий появляются все новые материалы с удивительными свойствами. Два таких метаматериала рассматриваются в данной задаче.

Часть 1. Переменная диэлектрическая проницаемость.

1.1.1 Плоский конденсатор состоит из двух металлических параллельных пластин площади $S$ , находящимися на расстоянии $h$ друг от друга. Пространство между пластинами заполнено двумя слоями диэлектрика (толщины этих слоев одинаковы) с диэлектрическими проницаемостями $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ . Найдите емкость такого конденсатора.

Оригинальный рисунок со всеми исходными стрелками, линиями, осями, данными и обозначениями.

1.1.2 На внешние металлические пластины подают постоянное напряжение $U_0$ . Найдите поверхностные плотности зарядов на пластинах $\sigma_0$ и на границе раздела диэлектриков $\sigma'$ .

1.2. Плоский конденсатор состоит из двух металлических параллельных пластин площади $S$ , находящимися на расстоянии $h$ друг от друга. Пространство между пластинами заполнено диэлектриком, проницаемость которого плавно изменяется от $\varepsilon_1$ у левой пластины до $\varepsilon_2$ у правой. Закон изменения проницаемости от координаты $x$ имеет вид $\varepsilon=(ax+b)^{-1}$ .

1.2.1 Выразите параметры этой зависимости через значения $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ .

1.2.2 Найдите емкость этого конденсатора.

1.2.3 На внешние металлические пластины подают постоянное напряжение $U_0$ . При этом внутри диэлектрика возникают объемные поляризационные заряды. Найдите их объемную плотность как функцию координаты $x$ $\rho(x)$ .

Часть 2. Переменная проводимость.

2.1.1 Плоский резистор состоит из двух металлических параллельных пластин площади $S$ , находящимися на расстоянии $h$ друг от друга. Пространство между пластинами заполнено двумя слоями слабо проводящих веществ (толщины этих слоев одинаковы) с удельными сопротивлениями $\rho_1$ и $\rho_2$ . Найдите сопротивление такого резистора.

2.1.2 На внешние металлические пластины подают постоянное напряжение $U_0$ . Найдите поверхностную плотность заряда $\sigma'$ на границе раздела слоев. Поляризационными зарядами пренебречь.

2.2.1. Плоский резистор состоит из двух металлических параллельных пластин площади $S$ , находящимися на расстоянии $h$ друг от друга. Пространство между пластинами заполнено веществом, удельное сопротивление которого плавно изменяется от $\rho_1$ у левой пластины до $\rho_2$ у правой по линейному закону.

1.2.1 Запишите формулу, описывающую изменение удельного сопротивления вещества.

1.2.2 Найдите сопротивление этого резистора.

1.2.3 На внешние металлические пластины подают постоянное напряжение $U_0$ . При этом внутри вещества возникают объемные заряды. Найдите их объемную плотность как функцию координаты $x$ .

Решение

Часть 1. Переменная диэлектрическая проницаемость.

1.1.1 Описанную систему можно рассматривать как два конденсатора, соединенных последовательно. Используя формулу для электроемкости плоского конденсатора, запишем емкость составного конденсатора

\frac1C=\frac h{2\varepsilon_1\varepsilon_0S}+\frac h{2\varepsilon_2\varepsilon_0S}=\frac h{2\varepsilon_0S}\frac{\varepsilon_1+\varepsilon_2}{\varepsilon_1\varepsilon_2}\Rightarrow C=\frac{2\varepsilon_0S}h\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}.\qquad(1)

1.1.2 При помещении диэлектрика во внешнее поле на нем возникают поляризационные заряды, которые изменяют поле внутри диэлектрика. Если силовые линии поля перпендикулярны границам диэлектрика, то напряженность поля внутри диэлектрика оказывается в $\varepsilon$ раз меньше.

Обозначим напряженность поля, создаваемого только зарядами на пластинах $\vec E_0$ , модуль которой связан с поверхностной плотностью зарядов на пластинах соотношением

\sigma_0=\varepsilon_0E_0.\qquad(2)

Тогда напряженности полей внутри диэлектриков будут равны $\vec E_1=\vec E_0/\varepsilon_1$ , $\vec E_2=\vec E_0/\varepsilon_2$ . Разность потенциалов между пластинами (напряжение) может быть выражена через напряженности полей следующим образом

U_0=E_1\frac h2+E_2\frac h2=\frac{E_0}{\varepsilon_1}\frac h2+\frac{E_0}{\varepsilon_2}\frac h2=E_0\frac h2\frac{\varepsilon_1+\varepsilon_2}{\varepsilon_1\varepsilon_2}.\qquad(3)

Откуда следует, что

E_0=U_0\frac2h\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}.\qquad(4)

А поверхностная плотность зарядов на пластинах

\sigma_0=\varepsilon_0U_0\frac2h\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}.\qquad(5)

Впрочем, эта формула может быть получена непосредственно из формулы (1), как $q=CU_0$ .

Поверхностная плотность поляризационных зарядов на границе диэлектриков $\sigma'$ может быть найдена различными способами.

Способ 1. Представим поля внутри диэлектриков как суперпозицию поля $E'=\sigma'/(2\varepsilon_0)$ , создаваемого зарядами $\sigma'$ и поля $\vec E_e$ , создаваемого всеми остальными зарядами (на пластинах и поляризационных зарядов на границах диэлектриков, примыкающих к пластинам). В этом случае напряженности полей внутри диэлектриков описываются формулами

E_1=\frac{E_0}{\varepsilon_1}=E_e-\frac{\sigma'}{2\varepsilon_0},\qquad E_2=\frac{E_0}{\varepsilon_2}=E_e+\frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}.\qquad(6)

Из этих формул следует

\frac{E_0}{\varepsilon_2}-\frac{E_0}{\varepsilon_1}=\frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}\Rightarrow\sigma'=\varepsilon_0\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1\varepsilon_2}E_0.\qquad(7)

Подставляя выражение (4), окончательно получим

\frac{E_0}{\varepsilon_2}-\frac{E_0}{\varepsilon_1}=\frac{\sigma'}{\varepsilon_0}\Rightarrow\sigma'=\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}\frac{2\varepsilon_0}hU_0.\qquad(8)

Способ 2. Поле внутри диэлектрика $\vec E_1=\vec E_0/\varepsilon_1$ может быть представлено как сумма внешнего поля $\vec E_0$ и поля $E_1'=\sigma_1'/\varepsilon_0$ , создаваемого поляризационными зарядами:

\frac{E_0}{\varepsilon_1}=E_0-\frac{\sigma_1'}{\varepsilon_0}.\qquad(9)

Откуда находим

\sigma_1'=\varepsilon_0\frac{\varepsilon_1-1}{\varepsilon_1}E_0.\qquad(10)

Поверхностная плотность зарядов на втором диэлектрике описывается аналогичной формулой. Суммарная плотность заряда на границе равна $\sigma'=\sigma_1'-\sigma_2'=\varepsilon_0E_0(\varepsilon_1-\varepsilon_2)/(\varepsilon_1\varepsilon_2)$ , что совпадает с формулой (7).

Способ 3. Используем теорему Гаусса для поверхности изображенной на рисунке.

E_2s-E_2s=\frac{\sigma's}{\varepsilon_0}.

Из этой формулы следует $\sigma'=\varepsilon_0(E_0/\varepsilon_2-E_0/\varepsilon_1)$ , что приводит, как это не странно, к тому же результату (10).

1.2 Решение этой части задачи, в принципе, аналогично решению предыдущей части.

1.2.1 Сначала выразим параметры зависимости диэлектрической проницаемости от координаты

\varepsilon(x)=\frac1{ax+b},\qquad(11)

через граничные значения. Для этого запишем и решим систему уравнений

\begin{cases}1/\varepsilon_1=b,\\1/\varepsilon_2=ah+b\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=1/\varepsilon_1,\\a=\frac1h\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1\varepsilon_2}.\end{cases}\qquad(12)

1.2.2 Для расчета емкости конденсатора представим его как совокупность последовательно соединенных конденсаторов малой толщины $\Delta x_i$ , емкости которых равны

C_i=\frac{\varepsilon(x)\varepsilon_0S}{\Delta x_i}.\qquad(13)

При последовательном соединении суммарная емкость рассчитывается по формуле

\frac1C=\sum_i\frac1{C_i}=\sum_i\frac1{\varepsilon(x)\varepsilon_0S}\Delta x_i=\frac1{\varepsilon_0S}\sum_i\frac{\Delta x_i}{\varepsilon(x)}.\qquad(14)

При малых $\Delta x_i$ сумма в выражении (14) равна площади под графиком зависимости $\varepsilon^{-1}(x)$ . Так как эта зависимость линейна, то в результате суммирования получим

\frac1C=\frac1{\varepsilon_0S}\sum_i\frac{\Delta x_i}{\varepsilon(x)}=\frac1{\varepsilon_0S}\frac h2(\varepsilon_1^{-1}+\varepsilon_2^{-1})=\frac1{\varepsilon_0S}\frac h2\frac{\varepsilon_1+\varepsilon_2}{\varepsilon_1\varepsilon_2}.

Тогда емкость конденсатора оказывается равной

C=2\frac{\varepsilon_0S}h\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}.\qquad(15)

Для расчета объемной плотности поляризационных зарядов запишем выражение для напряженности электрического поля

E(x)=\varepsilon^{-1}(x)E_0,\qquad(16)

где $E_0$ — как и ранее напряженность поля создаваемого только зарядами на пластинах. Разность потенциалов между пластинами в данном случае определяется формулой

U_0=\sum_iE(x)\Delta x_i=E_0\sum_i\varepsilon^{-1}(x)\Delta x_i.\qquad(17)

Эту сумму мы уже вычисляли, поэтому сразу запишем

U_0=E_0\sum_i\varepsilon^{-1}(x)\Delta x_i=E_0\frac h2\frac{\varepsilon_1+\varepsilon_2}{\varepsilon_1\varepsilon_2}\Rightarrow E_0=2\frac{U_0}h\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}.\qquad(18)

Таким образом, зависимость напряженности от координаты имеет вид

E(x)=\frac{E_0}{\varepsilon(x)}=2\frac{U_0}h\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}\varepsilon^{-1}(x).\qquad(19)

Для расчета зависимости плотности заряда от координаты воспользуемся самым коротким способом, основанном на теореме Гаусса (хотя приемлем любой из ранее рассмотренных). Так для тонкого цилиндра толщиной $\Delta x$ , основания которого параллельны пластинам, имеем:

E(x+\Delta x)s-E(x)s=\frac{\rho(x)\Delta x}{\varepsilon_0}.\qquad(20)

Из этой формулы следует

\rho(x)=\varepsilon_0\frac{\Delta E}{\Delta x}=2\varepsilon_0\frac{U_0}h\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}\frac{\Delta\varepsilon^{-1}(x)}{\Delta x}=2\varepsilon_0\frac{U_0}h\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}a,

где $a$ — коэффициент, найденный ранее (формула (12)). С учетом этой формулы получим

\rho(x)=\varepsilon_0\frac{\Delta E}{\Delta x}=2\varepsilon_0\frac{U_0}h\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}\frac{\Delta\varepsilon^{-1}(x)}{\Delta x}=2\varepsilon_0\frac{U_0}{h^2}\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}.\qquad(21)

Отметим, что объемная плотность поляризационных зарядов постоянна по объему диэлектрика.

Часть 2. Переменная проводимость.

2.1.1 Сопротивление резистора найдем как сумму двух последовательно соединенных резисторов

R=\rho_1\frac h{2S}+\rho_2\frac h{2S}=\frac{\rho_1+\rho_2}2\frac hS.\qquad(22)

2.1.2 Поясним причину возникновения заряда в этом случае. При включении внешнего поля плотности токов будут различными, что приведет к накоплению зарядов на границе раздела. Эти заряды будут изменять плотности токов в разных материалах до тех пор, пока плотности токов не сравняются. Итак, в установившемся режиме будет выполняться условие

j_1=j_2\Rightarrow\frac{E_1}{\rho_1}=\frac{E_2}{\rho_2}.\qquad(23)

Как уже было отмечено различия в напряженностях полей обусловлены полем, создаваемым зарядами на границе, поэтому

E_1=E_0-\frac{\sigma'}{2\varepsilon_0},\qquad E_2=E_0+\frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}.

Здесь $E_0$ — напряженность поля, создаваемого всеми зарядами, кроме зарядов на границе. Из уравнений (23)–(24) найдем

\frac1{\rho_1}\left(E_0-\frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}\right)=\frac1{\rho_2}\left(E_0+\frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}\right)\Rightarrow\sigma'=2\varepsilon_0E_0\frac{\rho_2-\rho_1}{\rho_2+\rho_1}.\qquad(24)

Из формул (24) и определения напряжения следует, что величина $E_0$ может быть легко найдена

U_0=E_1\frac h2+E_1\frac h2=E_0h\Rightarrow E_0=\frac{U_0}h.\qquad(25)

Поэтому поверхностная плотность зарядов на границе равна

\sigma'=2\varepsilon_0E\frac{U_0}h\frac{\rho_2-\rho_1}{\rho_2+\rho_1}.\qquad(26)

2.2 Основная идея решения этой части заключается в постоянстве плотности тока, т.е.

j=\frac E\rho=\mathrm{const}.\qquad(27)

Поэтому напряженность поля внутри проводника изменяется по закону

E(x)=j\rho(x).\qquad(28)

Зависимость удельного сопротивления от координаты линейна, с учетом значений на границе эта зависимость имеет вид

\rho(x)=\rho_1+\frac{\rho_2-\rho_1}h x.\qquad(29)

Для определения плотности тока запишем выражение для напряжения между пластинами резистора

U_0=\sum_iE(x)\Delta x=\sum_i j\rho(x)\Delta x=j\frac{\rho_1+\rho_2}2h.\qquad(30)

из которого выразим

j=\frac{2U_0}{h(\rho_1+\rho_2)}.\qquad(31)

Ранее было получено, что плотность² заряда определяется формулой $\gamma(x)=\varepsilon_0\Delta E/\Delta x$ .

Используя эту формулу, а также выражения (28), (29), (31), найдем

\gamma(x)=\varepsilon_0\frac{\Delta E}{\Delta x}=\varepsilon_0j\frac{\Delta\rho}{\Delta x}=\varepsilon_0\frac{2U_0}{h(\rho_1+\rho_2)}\frac{\rho_2-\rho_1}h=\frac{2\varepsilon_0U_0}{h^2}\frac{\rho_2-\rho_1}{\rho_1+\rho_2}.\qquad(32)

Как и в первой части, объемная плотность заряда оказалась постоянной.

Последнее замечание. Вторую часть задачи можно было и не решать! В первой части расчет электрического поля сводился к решению системы уравнений

E(x)=\varepsilon^{-1}(x)E_0=(ax+b)E_0,\qquad\sum_iE(x)\Delta x=U_0,

А во второй

E(x)=\rho(x)j=(ax+b)j,\qquad\sum_iE(x)\Delta x=U_0,

Эти системы уравнений полностью совпадают, если $E_0$ заменить на $j$ , $\varepsilon^{-1}$ заменить на $\rho$ . Достаточно было просто переписать формулы с учетом этих замен!

² Чтобы не путать с удельным электрическим сопротивлением, обозначим плотность заряда $\gamma$ .

Оригинал в Архива: 2014_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2014_theoretical_solutions.pdf