Съдържание

Условие Часть 1. Проверка закона Гука.Часть 2. Колебания стержня.Решение

BelPhO 2015, Областен етап, 9–11 клас — Задача 11-2. 11 класс · Задача 2 «Деформация изгиба»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2015

Республиканская физическая олимпиада 2015 год (III этап) — Экспериментальный тур

Внимание: Бележка към темата

Полностью прочитаны 15 страниц условий и 23 страницы архивного ключа: шесть целых задач, по две для 9, 10 и 11 классов, 40 исходных номерованных запросов. Сохранены все исходные инструкции трех классов, утверждения с различными месяцами 2014 года, оборудование, предупреждения, методы, таблицы, графики и конечные объяснения, включая пустые ячейки. Инструкции отводят два с половиной часа на каждое из двух заданий; баллы и рубрики не напечатаны. Исходные противоречия слов, формул, обозначений, численных параметров и схем сохранены с отдельными примечаниями читателя. В ключе не напечатаны некоторые запрошенные численные коэффициенты жесткости, погрешности и отдельная эквивалентная схема элемента. Инструкция мультиметра и лист угломерной шкалы не приложены. Вопросы имеют напечатанное утверждение; авторство ключа организаторами по архивным PDF отдельно не установлено.

Общий титул

Республиканская физическая олимпиада 2015 год. (III этап). Экспериментальный тур.

9 класс. Исходные инструкции

УТВЕРЖДАЮ

Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования

____________________В.А. Будкевич

«__» ноября 2014 г.

Республиканская физическая олимпиада 2015 год (III этап). Экспериментальный тур. 9 класс.

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования — проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика — вторая для черновика.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

10 класс. Исходные инструкции

УТВЕРЖДАЮ

____________________В.А. Будкевич

«__» декабря 2014 г.

Республиканская физическая олимпиада 2015 год (III этап). Экспериментальный тур. 10 класс.

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования — проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика — вторая для черновика.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

11 класс. Исходные инструкции

УТВЕРЖДАЮ

____________________В.А. Будкевич

«__» ноября 2014 г.

Республиканская физическая олимпиада 2015 год (III этап). Экспериментальный тур. 11 класс.

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования — проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика — вторая для черновика.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Окончание инструкций 11 класса

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Примечание читателя к источнику: эта заключительная строка инструкций 11 класса отдельно напечатана на следующей странице 11; остальная часть страницы пуста.

Условие

Приборы и оборудование: Пружинка от шариковой ручки, две палочки от шашлыка длиной 20 см, штатив с лапкой, секундомер, транспортир, нить с грузом.

В данной работе необходимо исследовать деформацию изгиба пружинки от шариковой ручки. Для проведения измерений в пружинку вставлены две одинаковые деревянные палочки (для шашлыка), так чтобы они своими концами почти касались внутри пружинки. Мерой деформации пружинки служит угол изгиба (измеренный в радианах) — $\gamma$ . При изгибе возникает момент сил упругости, стремящийся выпрямить пружинку (см. рис. 1).

Рис. 1. Деформация изгиба пружины, угол gamma и момент M.

В соответствии с обобщенным законом Гука момент возвращающей силы должен быть пропорционален углу изгиба, т.е.

M=K\gamma,\qquad (1)

где $K$ — постоянный коэффициент упругости.

Часть 1. Проверка закона Гука.

В данной части работы в качестве единицы момента силы используйте величину $M_0=mg\frac l2$ , где $m,l$ — масса и длина палочки, $g=9{,}8\,\text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения.

Рис. 2. Полная установка, обе палочки, пружина, отвес, штатив и углы alpha/gamma.

1.1 Не проводя никаких измерений (достаточно простых наблюдений), укажите, является ли коэффициент $K$ в формуле (1) больше или меньше $M_0$ . Ответ обоснуйте.

Для экспериментальной проверки выполнимости закона Гука (1) предлагается использовать следующую установку (рис. 2). Одну из двух палочек (3) закрепите в лапке штатива (4). Вторая (2), прикрепленная к неподвижной палочке (3) с помощью исследуемой пружинки (1), может свободно колебаться. Для точного измерения углов используйте транспортир и отвес (5), привязанный к концу неподвижной палочки.

1.2 Измерьте зависимость угла изгиба $\gamma$ (в состоянии равновесия) от угла наклона $\alpha$ неподвижной палочки от вертикали. Постройте график полученной зависимости.

1.3 Запишите условие равновесия палочки (2), считая уравнение (1) справедливым.

1.4 Используя полученные экспериментальные данные, постройте график зависимости $M$ момента сил упругости, возникающего в пружинке, от угла изгиба $\gamma$ .

1.5 Укажите, при каких углах изгиба $\gamma$ закон Гука выполняется. Определите коэффициент упругости пружинки $K$ . Оцените погрешность этой величины.

При использовании единицы измерения момента силы $M_0$ речь идет об определении величины $\widetilde K=\frac K{M_0}$ .

Часть 2. Колебания стержня.

В данной части задачи исследуются колебания подвижного стержня (2) при различных углах наклона $\alpha$ неподвижного стержня (3). Следите, чтобы колебания происходили в вертикальной плоскости.

Тонкий однородный стержень длины l/массы m вращается с угловой скоростью omega.

2.1 Покажите, что период малых колебаний стержня определяется формулой

T=2\pi\sqrt{\frac{2l}{3g\bigl(\widetilde K-\cos(\alpha+\gamma)\bigr)}},\qquad (2)

где $l$ — длина подвижного стержня, $\widetilde K$ — найденный в первой части коэффициент жесткости пружинки, $\gamma$ — угол изгиба пружинки в положении равновесия.

Подсказка: Кинетическая энергия тонкого однородного стержня, вращающегося с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец равна

E=\frac{ml^2}{6}\omega^2.

2.2 Измерьте зависимость периода колебаний $T(\alpha)$ подвижного стержня в вертикальной плоскости от угла наклона неподвижного стержня $\alpha$ . Проверьте выполнимость формулы (2). Используя полученные данные, определите коэффициент $\widetilde K$ . Сравните это значение со значением, полученным в первой части работы.

Решение

Задача 11-2 Деформация изгиба.

Часть 1.

Из рисунка следует, что момент силы относительно пружинки равен

M=mg\frac l2\sin(\alpha+\gamma).\qquad (1)

В положении равновесия он компенсируется моментом силы упругости

M=K\gamma.\qquad (2)

Следовательно, в положении равновесия должно выполняться условие

K\gamma=mg\frac l2\sin(\alpha+\gamma).\qquad (3)

Схема установки из ключа с силой mg, плечом l/2 и полными обозначениями.

1.1 Отметим, что установить является ли величина $K$ больше или меньше 1 можно следующим простым способом. Рассмотрим уравнение (3) при $\alpha=0$ (то есть при вертикальном положении палочки). Это уравнение имеет очевидный корень $\varphi=0$ . При $K>1$ этот корень будет устойчивым, при $K<1$ неустойчивы. Эксперимент показывает, что две палочки вертикально вверх находится в состоянии равновесия не могут. Следовательно, $K<1$ .

При использовании указанной единицы измерения момента силы $M_0=mg\frac l2$ уравнение (3) упрощается

\widetilde K\gamma=\sin(\alpha+\gamma).\qquad (4)

Необходимо измерить углы $\alpha$ и $\gamma$ и построить зависимость угла $\gamma$ от $\sin(\alpha+\gamma)$ . Линейность данной зависимости будет свидетельствовать о применимости закона Гука для деформации изгиба пружинки. Результаты измерений приведены в таблице 1. И на графике Рис. 1. Там же приведены все необходимые в дальнейшем расчеты.

Таблица 1. Полная таблица, включая продолжение на следующей странице.

$\alpha$ , °	$\gamma$ , °	T, с	$\alpha$ , рад	$\gamma$ , рад	$\sin(\alpha+\gamma)$	$\cos(\alpha+\gamma)$	$T^{-2}$ , с $^{-2}$
180	0	0,606	3,142	0,000	0,000	-1,000	2,723
172	4	0,617	3,002	0,070	0,070	-0,998	2,627
168	7	0,610	2,932	0,122	0,087	-0,996	2,687
160	10	0,578	2,793	0,175	0,174	-0,985	2,993
150	15	0,587	2,618	0,262	0,259	-0,966	2,902
141	20	0,588	2,461	0,349	0,326	-0,946	2,892
124	25	0,596	2,164	0,436	0,515	-0,857	2,815
113	32	0,599	1,972	0,559	0,574	-0,819	2,787
102	34	0,614	1,780	0,593	0,695	-0,719	2,653
90	37	0,612	1,571	0,646	0,799	-0,602	2,670
82	39	0,613	1,431	0,681	0,857	-0,515	2,661
69	42	0,651	1,204	0,733	0,934	-0,358	2,360
53	45	0,682	0,925	0,785	0,990	-0,139	2,150
43	44	0,697	0,750	0,768	0,999	0,052	2,058
34	44	0,736	0,593	0,768	0,978	0,208	1,846
28	42	0,746	0,489	0,733	0,940	0,342	1,797
20	40	0,821	0,349	0,698	0,866	0,500	1,484
12	37	0,898	0,209	0,646	0,755	0,656	1,240
7	30	0,961	0,122	0,524	0,602	0,799	1,083
2	27	1,038	0,035	0,471	0,485	0,875	0,928
0	23	1,125	0,000	0,401	0,391	0,921	0,790

Рис. 1. Угол изгиба от угла наклона, все исходные данные/шкалы.

На следующем рисунке приведен график зависимости $\gamma\bigl(\sin(\alpha+\gamma)\bigr)$ .

Рис. 2. Проверка закона Гука, исходные подписи и y=1,3292x-0,0741.

Этот график показывает, что уравнение (4) применимо практически во всем диапазоне углов изгиба. Найденный по этому графику коэффициент оказывается равным $\widetilde K=0{,}75$ .

Часть 2.

Для вывода указанной формулы запишем выражение для полной энергии колеблющегося стержня,

\frac{ml^2}{6}\omega^2+\frac{K(\gamma+\varphi)^2}{2}+mg\frac l2\cos(\alpha+\gamma+\varphi)=E.\qquad (5)

В этом уравнение $\varphi$ — малое отклонение от равновесного угла $\gamma$ . Далее для расчета периода малых колебаний необходимо разложить потенциальную энергию, оставляя только квадратичные слагаемые по малой величине $\varphi$ . Несложные преобразования приводят к результату

\begin{aligned} U&=\frac{K(\gamma+\varphi)^2}{2}+mg\frac l2\cos(\alpha+\gamma+\varphi)\\ &=\frac{K(\gamma^2+2\gamma\varphi+\varphi^2)}2+mg\frac l2\bigl(\cos(\alpha+\gamma)\cos\varphi-\sin(\alpha+\gamma)\sin\varphi\bigr)\\ &\approx\frac{K(\gamma^2+2\gamma\varphi+\varphi^2)}2+mg\frac l2\left(\cos(\alpha+\gamma)\left(1-\frac{\varphi^2}{2}\right)-\sin(\alpha+\gamma)\varphi\right)\\ &=\left(\frac{K\gamma^2}{2}+mg\frac l2\cos(\alpha+\gamma)\right)+\left(K\gamma-mg\frac l2\sin(\alpha+\gamma)\right)\varphi+\left(K-mg\frac l2\cos(\alpha+\gamma)\right)\frac{\varphi^2}{2}. \end{aligned}

Второе слагаемое обращается в нуль ввиду условия равновесия, а первое можно не учитывать, как несущественную постоянную добавку к потенциальной энергии.

Подставляя полученное выражение $U=\left(K-mg\frac l2\cos(\alpha+\gamma)\right)\frac{\varphi^2}{2}$ в уравнение закона сохранения энергии, получим уравнение гармонических колебаний:

\frac{ml^2}{6}\omega^2+\left(K-mg\frac l2\cos(\alpha+\gamma)\right)\frac{\varphi^2}{2}=E.

Из которого следует приведенная формула

\begin{aligned} T&=2\pi\sqrt{\frac{ml^2}{3\left(K-mg\frac l2\cos(\alpha+\gamma)\right)}}\\ &=2\pi\sqrt{\frac{ml^2}{3mg\frac l2\left(\frac K{mg\frac l2}-\cos(\alpha+\gamma)\right)}}\\ &=2\pi\sqrt{\frac{2l}{3g\bigl(\widetilde K-\cos(\alpha+\gamma)\bigr)}}. \end{aligned}

Для проверки этой формулы ее следует линеаризовать, построив зависимость

\frac1{T^2}=\frac{3g}{8\pi l}\bigl(\widetilde K-\cos(\alpha+\gamma)\bigr).\qquad (6)

График этой зависимости показан на следующем рисунке 3. Если найти параметры полученной линейной зависимости ( $y=ax+b$ ), то, как следует из формулы (6), коэффициент упругости пружинки определяется по формуле

\widetilde K=-\frac ba.

Рис. 3. Линеаризация периода; полный график y=-1,0777x+1,9727.

Из данного графика следует, что $\widetilde K\approx0{,}56$ , что несколько отличается от полученного ранее значения.

Примечание читателя к источнику: в рассуждении 1.1 ключ сравнивает $K$ с 1 без тильды и вводит корень $\varphi=0$ , хотя условие использует размерный $K$ и равновесный угол $\gamma$ ; эти исходные обозначения сохранены. В формуле (6) напечатано $8\pi l$ без квадрата у $\pi$ , несмотря на предыдущую формулу периода. На последнем графике прямая напечатана $y=-1{,}0777x+1{,}9727$ , а текст дает $\widetilde K\approx0{,}56$ при указанной формуле $-b/a$ ; численный конфликт сохранен. График проверки закона Гука, его подписи, точки и прямая сохранены как напечатаны, без приведения к таблице. Численные погрешности коэффициента, запрошенные в п. 1.5, в ключе отсутствуют.

Оригинал в Архива: 3_etap_2015_experimental_problems.pdf · решение от архива: 3_etap_2015_experimental_solutions.pdf