Съдържание

Условие Часть 1. Примитивное решение.Часть 2. Умный лихач без тормозов.Часть 3. Умный лихач с тормозами.Решение

BelPhO 2015, Областен етап, 9,10,11 — Задача 9-1. 9 класс — 1. Разгон

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2015

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 18 страниц условий и 27 страниц соответствующего теоретического ключа. Сохранены семь целых заданий: по три для 9 и 10 классов и одна связанная «Параболическая физика» для 11 класса с семью разделами. Всего 54 печатные группы запросов, а не каталожные 48 частей. В оригинале 11 класса прямо сказано, что семь частей связаны общей идеей. Общие утверждение и инструкции напечатаны отдельно для каждого класса; утверждение для олимпиады 2015 года датировано ноябрем 2014 года. Время, баллы и отдельная шкала оценивания не напечатаны. Все семь ключей получены; бланк №1 терморезистора имеется на странице 13 условий и сохранен с механическим поворотом для чтения. Отдельный экспериментальный ключ относится к уже существующему экспериментальному туру и сюда не включен.

Буквальные научные несогласованности исходного ключа не исправлены: t2≈2,59τ рядом с формулой, дающей примерно 1,59τ; разные выражения координаты и пропущенные начальные смещения, непоследовательные штрихи относительных величин и повторные номера формул разгона; FD2−FD2 в равновесии цилиндра; семь чисел таблицы соединений дают 19, хотя напечатан итог 17, а строка трех параллельных резисторов содержит 3; l1+ использует критическую скорость; положительный последний знак силы упругости в А1.1 газа и отсутствие 5/3 в последней формуле переменной жесткости А2.3; обе мощности обозначены P1, пропущенный квадрат 20 и множители температуры в приближении терморезистора, повторные номера формул и подпись 80° при оценке на 90°; знаки потенциала (27)–(28) расходятся с (26), условием отрицательного заряда и рисунком. Сохранены повторная подпись «Рис.6», пропуск номера (33), номера 6.1/6.2 в части 7, буквальные грамматические ошибки и повтор «проанализировать возможность» условия. Промежуточные рассуждения, все четыре сноски и дополнительный традиционный метод вращающейся жидкости сохранены.

Оригинальная общая обложка

Республиканская физическая олимпиада 2015 год. (III этап). Теоретический тур.

Оригинальные утверждение и инструкции — 9 класс

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования. __________________В.А. Будкевич. «» ноября 2014 г.

Республиканская физическая олимпиада 2015 год. (III этап). Теоретический тур.

При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач! Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

9 класс.

Полный комплект состоит из трех заданий.

Оригинальные утверждение и инструкции — 10 класс

Республиканская физическая олимпиада 2015 год. (III этап). Теоретический тур.

При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

10 класс.

Полный комплект состоит из трех заданий.

Оригинальные утверждение и инструкции — 11 класс

Республиканская физическая олимпиада 2015 год. (III этап). Теоретический тур.

При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

11 класс.

Полный комплект состоит из семи частей, связанных общей идеей.

Условие

Перед переездом на пустынной дороге стоит автомобиль. На светофоре указано, что переезд откроется через $\tau$ секунд. Водителю необходимо попасть в точку, находящуюся на расстоянии $S$ за переездом за минимальное время.

Введем ось $Ox$ , направленную вдоль дороги, начало отсчета совместим с переездом. Автомобиль можно считать материальной точкой. Формально: при $t=0$ , координата автомобиля $x=0$ и его скорость $v_x=0$ .

Оригинальный научный рисунок: все оси, подписи, стрелки, размеры, кривые, пустые клетки, данные и исходные границы.

Считайте, что автомобиль может двигаться только с постоянным по модулю ускорением $a$ (при движении в любую сторону, при разгоне и при торможении). Такая ситуация возможна в сильный гололед. Расстояние $S=\frac{a\tau^2}{2}$ .

Часть 1. Примитивное решение.

1 Водитель ожидает открытия переезда и затем начинает двигаться с постоянным ускорением $a$ . Найдите момент времени $t_1$ , когда автомобиль окажется в нужной точке при таком плане движения. Постройте графики зависимости проекции скорости автомобиля $v_x$ и его координаты $x$ от времени.

Примечание: Здесь и далее рекомендуем построить графики зависимостей относительных величин $v'_x=\frac{v_x}{a\tau}$ и $x'=\frac{x}{a\tau^2}$ от величины $t'=\frac{t}{\tau}$ . В этом случае вы сможете точно оцифровать оси графика.

Часть 2. Умный лихач без тормозов.

Будем считать, что автомобиль может двигаться только с постоянным по модулю ускорением $a$ (при движении в любую сторону, при разгоне и при торможении).

2 Определите закон движения автомобиля, при котором он достигнет нужной точки за минимальное время: постройте графики зависимости проекции скорости автомобиля $v_x$ и его координаты $x$ от времени в этом случае; найдите момент времени $t_2$ , когда автомобиль окажется в нужной точке в этом случае.

Часть 3. Умный лихач с тормозами.

Будем считать, что автомобиль может двигаться с постоянным по модулю ускорением $a$ (при движении как вперед, так и назад), кроме того, он может резко, практически мгновенно затормозить (дорога сухая, автомобиль в полной исправности).

3 Определите закон движения автомобиля, при котором он достигнет нужной точки за минимальное время: постройте графики зависимости проекции скорости автомобиля $v_x$ и его координаты $x$ от времени в этом случае; найдите момент времени $t_3$ , когда автомобиль окажется в нужной точке в этом случае.

Решение

Решения задач. Задача 9-1. Разгон

Часть 1. Примитивное решение.

Решение этой части задачи также примитивно. Закон равноускоренного движения при нулевой начальной скорости имеет вид

x=\frac{at^2}{2}.\qquad (1)

Полагая $x=S$ , найдем промежуток времени $\Delta t$ , которое требуется для достижения нужной точки:

S=\frac{a(\Delta t)^2}{2}\Rightarrow\Delta t=\sqrt{\frac{2S}a}=\sqrt{\frac2a\cdot\frac{a\tau^2}2}=\tau.\qquad (2)

Чтобы найти момент времени, когда автомобиль окажется в нужной точке, к найденному интервалу времени следует прибавить время ожидания $\tau$ :

t_1=\tau+\tau=2\tau.\qquad (3)

Для построения графиков следует записать законы изменения скорости и координаты от времени:

\text{при }t<\tau:\begin{cases}v_x=0,\\x=0;\end{cases}\qquad\text{при }t>\tau:\begin{cases}v_x=a(t-\tau),\\x=\frac{a(t-\tau)^2}{2}.\end{cases}\qquad (4)

При переходе к указанным относительным единицам данные выражения существенно упрощаются:

\text{при }t'<1:\begin{cases}v'_x=0,\\x'=0;\end{cases}\qquad\text{при }t>1:\begin{cases}v'_x=t'-1,\\x'=\frac{(t'-1)^2}{2}.\end{cases}\qquad (5)

Графики этих функций показаны на рисунке. Отметим, что расстояние до конечной точки в данной системе единиц равно $S'=1/2$ .

Часть 2. Умный лихач без тормозов.

Необходимой точки можно достичь быстрее! Для этого необходимо, чтобы к моменту открытия светофора автомобиль имел некоторую скорость, причем по возможности максимальную. То есть автомобилист может отъехать назад (в условии оговорено, что дорога пустая), а затем начать разгон с некоторой точки позади светофора.

Схематически такая «стратегия» показана на рисунке графика зависимости проекции скорости автомобиля от времени.

Итак: к моменту открытия светофора скорость автомобиля должна быть максимальна, следовательно, автомобиль должен отъехать как можно дальше, следовательно, он должен начать движение сразу! Кроме того, к моменту открытия светофора он должен находится непосредственно перед светофором. На рисунке: в течение некоторого промежутка времени $t_0$ автомобиль движется назад с возрастающей по модулю скоростью (включена задняя скорость), после этого водитель включает переднюю скорость и начинает двигаться с положительным ускорением. Понятно, что к моменту времени $2t_0$ скорость автомобиля станет равным нулю (до этого момента он движется в обратном направлении с уменьшающейся по модулю скоростью). Наконец в течение интервала времени от $2t_0$ до $\tau$ автомобиль разгоняется. Для определения времени $t_0$ необходимо учесть, что к моменту времени $\tau$ координата автомобиля должна равняться нулю (т.е. он находится перед светофором). Из этого условия следует, что площади треугольников $OAB$ (которая численно равна расстоянию на которое автомобиль отъедет от светофора) и $BCD$ должны быть равны! К моменту времени $t_0$ модуль скорости автомобиля равен $v_0=at_0$ , а к моменту времени $\tau$ скорость станет равной $v_1=a(\tau-2t_0)$ . Следовательно, условия равенства площадей треугольников имеет вид

2t_0\frac{at_0}{2}=\frac{a(\tau-2t_0)^2}{2}.\qquad (6)

Решая это уравнение, находим момент времени переключения скорости $t_0$

2\cdot\frac{at_0^2}{2}=\frac{a(\tau-2t_0)^2}{2}\Rightarrow2t_0^2=(\tau-2t_0)^2\Rightarrow(\tau-2t_0)=\pm\sqrt2t_0\Rightarrow t_0=\frac\tau{2\pm\sqrt2}.\qquad (7)

Корень со занком «−» больше $\tau$ , поэтому его следует отбросить. Таким образом, момент времени переключения скорости определяется формулой

t_0=\frac\tau{2+\sqrt2}\approx0{,}29\tau.\qquad (8)

Для определения момента времени достижения Нужной точки запишем уравнение равноускоренного движения с нулевой начальной скоростью, начиная с момента времени $2t_0$ :

x=\frac{a(t-2t_0)^2}{2}.\qquad (9)

Полагая $x=S=\frac{a\tau^2}{2}$ , находим искомое время:

\frac{a\tau^2}{2}=\frac{a(t_2-2t_0)^2}{2}\Rightarrow t_2=\tau+2t_0=\tau+\frac{2\tau}{2+\sqrt2}=\frac{4+\sqrt2}{2+\sqrt2}\tau.\qquad (9)

Численное значение этого времени $t_2\approx2{,}59\tau$ .

Законы движения данном случае выражаются функциями

\text{при }t<t_0:\begin{cases}v_x=-at,\\x=-\frac{at^2}{2};\end{cases}\quad\text{при }t>t_0:\begin{cases}v_x=-at_0+a(t-t_0)=a(t-2t_0),\\x=-\frac{at_0^2}2+\frac{a(t-t_0)^2}2=\frac{at(t-2t_0)}2.\end{cases}\qquad (10)

В приведенных единицах:

\text{при }t'<t'_0:\begin{cases}v'_x=-t',\\x=-\frac{(t')^2}2;\end{cases}\quad\text{при }t'>t'_0:\begin{cases}v'_x=(t'-2t'_0),\\x'=\frac{t'(t'-2t'_0)}2.\end{cases}\qquad (11)

Графики этих функций показаны на рисунке

Часть 3. Умный лихач с тормозами.

В этом случае основная идея более быстрого достижения цели остается прежней — предварительно необходимо отъехать назад. Однако, при исправных тормозах можно отъехать подальше и, следовательно, разогнаться при подъезде к светофору до большей скорости. Сейчас «стратегия» движения изображается следующим графиком зависимости скорости от времени. В течение некоторого промежутка времени $t_0$ автомобиль отъезжает назад с максимальным ускорением, затем резко тормозит и начинает разгон. Так как к открытию светофора автомобиль должен находится непосредственно перед ним, время движения назад должно быть равно времени приближения к светофору (площади треугольников $OAB$ и $BCD$ равны). Следовательно, $t_0=\frac\tau2$ . Теперь легко записать закон движения:

\text{при }t<\frac\tau2:\begin{cases}v_x=-at,\\x=-\frac{at^2}2;\end{cases}\quad\text{при }t>\frac\tau2:\begin{cases}v_x=a\left(t-\frac\tau2\right),\\x=\frac{a\left(t-\frac\tau2\right)^2}2.\end{cases}\qquad (10)

Время прибытия в конечный пункт находится из уравнения

S=\frac{a\left(t_3-\frac\tau2\right)^2}2=\frac{a\tau^2}2\Rightarrow t_3=\frac32\tau.\qquad (11)

Законы изменения скорости и координаты в приведенных единицах имеет вид

\text{при }t'<\frac12:\begin{cases}v'_x=-t',\\x'=-\frac{(t')^2}2;\end{cases}\quad\text{при }t>\frac12:\begin{cases}v_x=\left(t'-\frac12\right),\\x=\frac{\left(t'-\frac12\right)^2}2.\end{cases}\qquad (12)

Графики этих функций показаны на рисунке

Для сравнения на рисунке в одном масштабе показаны графики законов движения в двух случаях (без тормозов и с тормозами).

Оригинал в Архива: 3_etap_2015_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2015_theoretical_solutions.pdf