Съдържание

Условие Часть 1. Измерительная.Часть 2. Расчетная.Решение

BelPhO 2016, Областен етап, 9–11 клас — Задача 11-2. · Сухое трение

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2016

Республиканская физическая олимпиада 2016 год (III этап) — Экспериментальный тур

Внимание: Бележка към темата

Полностью прочитаны все 11 страниц условий и 23 страницы архивного ключа: шесть целых задач, по две для 9, 10 и 11 классов, 52 исходных номерованных запроса, все методы, таблицы данных и графики. Баллы, время и критерии оценивания в этом комплекте не напечатаны. Исходные несогласованности и опечатки сохранены с отдельными примечаниями читателя. Авторство ключа организаторами по этим архивным PDF не установлено. Нижняя часть рисунка давления в ключе к первой задаче обрезана уже в родном PDF.

Титул исходного комплекта

Республиканская физическая олимпиада 2016 год. (III этап). Экспериментальный тур.

Примечание читателя к источнику: на декоративной обложке также напечатано «Top secret»; она полностью сохранена в родном PDF. В источнике нет времени, баллов, критериев или отдельного бланка ответа. Ключ представлен как архивный источник.

Условие

Приборы и оборудование: Штатив с гладким стержнем, кусок проволоки (алюминиевая, двойная в пластиковой изоляции), круговая шкала (лимб), секундомер с памятью этапов, линейка.

Изготовьте из куска провода маятник, способный колебаться на стержне. Для этого закрутите один из его концов вокруг стержня штатива (полтора — два оборота), но не слишком туго с небольшим зазором, чтобы колебания проволоки не затухали слишком быстро. Длина свободной части проволоки должна быть не менее 30-40 см, эта часть должна быть прямой. На том же стержне закрепите лист с угловой шкалой так, чтобы было возможно измерять углы отклонения маятника от вертикали $\alpha$ . Колебания маятника являются устойчивыми и воспроизводимыми, поэтому измерения можно проводить многократно с примерно одинаковыми результатами.

Полный родной проволочный маятник, кольцо/стержень, вертикаль, L,α и размерная стрелка.

Часть 1. Измерительная.

Во всех случаях начальный угол отклонения маятника должен быть равным $\alpha_0=90^\circ$ .

Конечно, вручную практически невозможно измерить зависимость угла отклонения маятника от времени. Но достаточно просто фиксировать углы отклонения $\alpha_k$ и соответствующие времена $t_k$ крайних положений маятника (точек остановки), тем более, что все измерения можно повторять.

Понятно, что все четные углы остановок $\alpha_{2k}$ являются положительными, а нечетные $\alpha_{2k-1}$ — отрицательными.

Полный родной рисунок крайних положений α0–α4 с вертикалью, окружностью и всеми остановками.

1.1 Измерьте зависимости времен «четных» остановок $t_{2k}$ от индекса $k$ . Постройте график полученной зависимости.

1.2 На основании проведенных измерений укажите, можно ли пренебречь изменением периода колебаний маятника от его амплитуды.

1.3 Рассчитайте средний период колебаний маятника $T$ . Оцените погрешность полученного значения.

1.4 Измерьте зависимость углов «четных» остановок $\alpha_{2k}$ от индекса $k$ .

Часть 2. Расчетная.

2.1 Рассчитайте приблизительно значения «нечетных» углов отклонения $\alpha_{2k-1}$ и соответствующих времен остановок $t_{2k-1}$ . Приведите формулы, по которым Вы провели расчеты.

2.2 Постройте схематический график зависимости угла отклонения маятника от времени, считая движение между остановками равномерным.

2.3 Рассчитайте среднее значение модуля угловой скорости $|\omega_k|$ маятника на каждом интервале между двумя последовательными остановками от $\alpha_{k-1}$ до $\alpha_k$ .

2.4 Рассчитайте потери энергии механической энергии маятника $\Delta E_k$ на каждом интервале между двумя последовательными остановками от $\alpha_{k-1}$ до $\alpha_k$ .

2.5 Используя полученные данные, оцените коэффициент трения проволоки о стержень. Не забудьте привести теоретическое обоснование Вашей оценки.

Решение

Задание 11-2. «Сухое трение»

1.1 Результаты измерений зависимости времен «четных» остановок $t_{2k}$ от индекса $k$ приведены в Таблице 1. Для каждого значения $k$ проведено 3 измерения и проведено их усреднение. В последнем столбце приведены значения случайной погрешности проведенных измерений (по условию не требуется). Жирным шрифтом выделены данные, по которым построен график полученной зависимости¹, показанный на рис. 1.

Таблица 1

$k$	$t_1$ , с	$t_2$ , с	$t_3$ , с	$\bar t$ , с	$\Delta t$ , с
0	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
1	0,90	1,01	0,79	0,90	0,16
2	1,91	2,03	1,80	1,91	0,17
3	2,87	3,03	2,76	2,89	0,20
4	3,83	3,99	3,73	3,85	0,19
5	4,71	4,91	4,66	4,76	0,19
6	5,62	5,81	5,53	5,65	0,21
7	6,49	6,71	6,39	6,53	0,24
8	7,32	7,62	7,28	7,41	0,27
9	8,25	8,53	8,22	8,33	0,25
10	9,15	9,51	9,12	9,26	0,31

Полный родной график рис.1 времен четных остановок со всеми точками/ошибками/подписью2k и стрелками осей.

1.2 Практически строгая прямо пропорциональная зависимость говорит, что изменением периода колебаний от амплитуды можно пренебречь.

1.3 Очевидно, что коэффициент наклона полученной зависимости равен периоду колебаний. Рассчитанное по МНК значение этого периода (и его погрешности) равно

T=(0{,}92\pm0{,}01)\,\text{с}.\qquad (1)

¹ Строго говоря, в данном случае проведение сглаживающей прямой в данном случае не имеет смысла, так аргумент этой функции изменяется дискретно. Но мы провели ее, для наглядности, как иллюстрацию линейной зависимости.

1.4 Результаты измерений зависимости углов «четных» остановок $\alpha_{2k}$ от индекса $k$ приведены в Таблице 2.

Таблица 2. Измерения

	$t_k$ , с	$\alpha_k$ , °
0	0,000	90,0
2	0,900	67,3
4	1,913	56,7
6	2,887	49,7
8	3,850	44,7
10	4,760	40,0
12	5,653	35,7
14	6,530	31,7
16	7,407	27,7
18	8,333	23,2
20	9,260	18,7

Таблица 2. Расчеты

$k$	$t_k$ , с	$\alpha_k$ , °	$\alpha_k$ , рад	$\bar\omega_k$	$\Delta E'_k$	$Z_k$
0	0,000	90,00	1,57
1	0,450	-78,67	-1,37	6,54	0,197	5,00
2	0,900	67,33	1,18	5,66	0,189	3,88
3	1,407	-62,00	-1,08	4,46	0,084	2,99
4	1,913	56,67	0,99	4,09	0,080	2,64
5	2,400	-53,17	-0,93	3,94	0,050	2,40
6	2,887	49,67	0,87	3,69	0,048	2,19
7	3,368	-47,17	-0,82	3,51	0,033	2,03
8	3,850	44,67	0,78	3,33	0,031	1,89
9	4,305	-42,33	-0,74	3,34	0,028	1,79
10	4,760	40,00	0,70	3,16	0,027	1,67
11	5,207	-37,83	-0,66	3,04	0,024	1,56
12	5,653	35,67	0,62	2,87	0,023	1,46
13	6,092	-33,67	-0,59	2,76	0,020	1,36
14	6,530	31,67	0,55	2,60	0,019	1,27
15	6,968	-29,67	-0,52	2,44	0,018	1,17
16	7,407	27,67	0,48	2,28	0,017	1,09
17	7,870	-25,42	-0,44	2,00	0,018	0,99
18	8,333	23,17	0,40	1,83	0,016	0,89
19	8,797	-20,92	-0,37	1,66	0,015	0,80
20	9,260	18,67	0,33	1,49	0,013	0,72

2.1 Расчет приблизительных значений «нечетных» углов отклонения $\alpha_{2k-1}$ и соответствующих времен остановок $t_{2k-1}$ может быть проведен с помощью линейной аппроксимации по очевидным формулам

t_{2k-1}=\frac{t_{2k-2}+t_{2k}}2,\qquad (2)

\alpha_{2k-1}=-\frac{\alpha_{2k-2}+\alpha_{2k}}2.\qquad (3)

Результаты всех расчетов также приведены в Таблице 2.

2.2 Схематический график зависимости угла отклонения маятника от времени показан на рис.2.

2.3 Модуль средней угловой скорости на каждом интервале рассчитывается по формуле

\bar\omega_k=\frac{|\alpha_k-\alpha_{k-1}|}{t_k-t_{k-1}}.\qquad (4)

Очевидно, что здесь и далее значения углов должны быть в радианах.

2.4 Потери энергии на каждом шаге равны изменению потенциальной энергии маятника в крайних положениях (где его кинетическая энергия равна нулю)по формуле

\Delta E_k=mg\frac l2(\cos\alpha_{k-1}-\cos\alpha_k).\qquad (5)

Имеет смысл рассчитать изменение энергии в относительных единицах, разделив ее на величину $E_0=\frac12mgl$ :

\Delta E'_k=\frac{\Delta E_k}{E_0}=\cos\alpha_{k-1}-\cos\alpha_k.\qquad (6)

Полный родной график рис.2 αk(tk), все чередующиеся экстремумы, соединения, положительные/отрицательные оси и подписи.

2.5 Рассчитанные потери энергии равны работе силы трения маятника о стержень. Для расчета этой работы рассмотрим динамику движения стержня. На рис. 3 показаны силы, действующие на стержень в процессе его движения.

Рис.3: полный родной стержень/центр C, N,Fтр,mg,φ,ω, шарнир и все векторы.

Уравнение 2 закона Ньютона в проекции на стержень имеет вид

m\omega^2\frac l2=N-mg\cos\varphi,\qquad (6)

из которого следует выражение для силы реакции

N=\frac12m\omega^2l+mg\cos\varphi.\qquad (7)

Так как нам требуется провести только оценку коэффициента трения, можно достаточно грубо провести усреднение² этого выражения по каждому полупериоду колебаний

\bar N_k\approx\frac12m\bar\omega^2l+mg=mg\left(\frac{\bar\omega_k^2l}{2g}+1\right).\qquad (8)

В данном выражении мы также полагаем, что $\langle\cos\varphi\rangle\approx1$ .

В этом приближении работа силы трения описывается формулой

\Delta E_k=A_{\text{тр}}=\left|\mu\bar Nr(\alpha_k-\alpha_{k-1})\right|=\mu mgr\left(\frac{\bar\omega_k^2l}{2g}+1\right)\cdot|\alpha_k-\alpha_{k-1}|.\qquad (9)

² Более точные, но громоздкие расчеты, во-первых, излишни из-за достаточно больших погрешностей измерения углов, во-вторых, приводят практически к тем же результатам.

Приравнивая работу силы трения к изменению энергии маятника (5), получим

mg\frac l2(\cos\alpha_{k-1}-\cos\alpha_k)=\mu mgr\left(\frac{\bar\omega_k^2l}{2g}+1\right)\cdot|\alpha_k-\alpha_{k-1}|.\qquad (10)

Откуда следует выражение, допускающее проверку на основании экспериментальных данных:

\Delta E'_k=(\cos\alpha_{k-1}-\cos\alpha_k)=2\frac rl\mu\left(\frac{\bar\omega_k^2l}{2g}+1\right)\cdot|\alpha_k-\alpha_{k-1}|.\qquad (11)

Обозначим параметр

Z_k=\left(\frac{\bar\omega_k^2l}{2g}+1\right)\cdot|\alpha_k-\alpha_{k-1}|.\qquad (12)

Тогда относительное измерение энергии оказывается прямо пропорциональным этому параметру

\Delta E'_k=2\frac rl\mu Z_k.\qquad (13)

График этой функции показан на рис. 4.

Рис.4: полный родной график ΔE′k от Zk, все точки/сетки/кривая/линейная аппроксимация/стрелки и подписи.

Полученная зависимость, конечно, не является линейной — ожидать иного и не следовало, так как было сделано достаточно много упрощающих приближений. Однако, при малых отклонениях полученную зависимость можно аппроксимировать линейной функцией (отрезок прямой показан на рисунке). Действительно, при малых углах отклонения сделанные выше приближения обоснованны. Не сложно (графически, или по МНК) найти коэффициент наклона, который приблизительно равен $K=0{,}014$ . Из выражения (13) следует, что коэффициент наклона определяется формулой $K=2(r/l)\mu$ , из которой можно рассчитать коэффициент трения

\mu=\frac K2\frac lr\approx0{,}45.\qquad (14)

Примечание читателя к источнику: исходный график рис.1 имеет подпись $2k$ при шкале 0–10 и таблице $k=0\ldots10$ ; ключ называет наклон периодом. В формулах (5), (6), (10), (11) напечатан порядок $\cos\alpha_{k-1}-\cos\alpha_k$ , тогда как положительные потери в таблице соответствуют противоположному порядку. Исходные формулы, положительные данные, все графики и повторный номер (6) сохранены без исправления научного содержания. Две половины исходной таблицы 2 представлены отдельно для читаемости; все измеренные и расчетные ячейки, исходное округление и пустые ячейки сохранены.

Оригинал в Архива: 3_etap_2016_experimental_problems.pdf · решение от архива: 3_etap_2016_experimental_solutions.pdf