Съдържание

Условие Часть 1. Закон Ома.Часть 2. Закон Джоуля – Ленца.Часть 3. Закон Видемана – Франца.Часть 4. Эффект Томсона.Решение

BelPhO 2016, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 10-3. 10 класс — 3. Термоэлектрические явления

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2016

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полностью получены и прочитаны 22 страницы теоретических условий и 36 страниц соответствующего ключа заключительного этапа 2016 года: девять целых заданий, по три для 9, 10 и 11 классов, с 70 исходными запросами. Сохранены все исходные разделы, продолжения решений, дополнительные оптические рассуждения, сноски, формулы, фотографии, графики и рисунки. Отдельный пустой лист к оптической задаче сохранен полностью, включая код участника и координатную сетку. Время, баллы и отдельная схема оценивания в полученных оригиналах не напечатаны. Общий лист инструкций напечатан для 9 класса; отдельных листов инструкций для 10 и 11 классов в полученном комплекте нет. Дата 16 марта на листе утверждения не подменяет неизвестную дату проведения. В исходной папке нет дополнительных теоретических приложений; экспериментальные оригиналы относятся к отдельно опубликованному туру.

Научные и редакционные разночтения сохранены без исправления оригинала. В ключе Физо повторяются номера формул, максимум во второй части обозначен n_min; I₀ описана как наблюдаемая при неподвижном колесе интенсивность, хотя далее стоит I₀/2. Третья ветвь для второго колеса действительно содержит I₀/3. В осциллографическом ключе напечатаны R₂ вместо обозначения напряжения и различные ссылки на графики. В оптическом условии совпадающие оси обозначены OX/OV, хотя рисунок подписан X(U). Ключ прямо говорит о НЕ параллельных изображениях теней. Сохранены β/α в формуле (7), tan²α в (16), пропущенный K в последнем слагаемом (18), все выражения (19)/(20) и исходные обозначения в аналитическом дополнении. В ключе рассеяния разность Δφ напечатана χ₁−χ₁; в разложении энергии отсутствует коэффициент 2 у смешанного члена.

В условии о стержне λ в пункте 1.5 названа поверхностной плотностью, несмотря на исходную линейную плотность. Последний ответ ключа обозначен 1.6 вместо 1.5, численное k₁ дано без соответствующих исходных числовых параметров. Термоэлектрический ключ не содержит ответа на пункт 1.6; ответ не дописан. Его формула (2) действительно печатает скорость электронов 1,17×10²⁸ м/с. Сохранены исходные знаки, обозначения m/mₑ/v₀/v₁, разные коэффициенты в цепочке (9)/(10), численные мощности с неуказанными числовыми E/λ и различие множителя n в (25)/(26). В звуковом ключе Ω=(2π/ν)(V/c) противоречит предыдущему периоду и численному результату; исходная формула сохранена.

В ключе аквариума используется ξ вместо x, конечная формула скорости не содержит v, а формула (7) содержит исходное ошибочное разложение. В звездном условии две последовательные части обе обозначены «Часть 1» и повторяют номера 1.1–1.3. Ключ содержит β вместо µ, W_E/W_T, повтор (5), последний результат гравитационного интеграла −3GM/(5R) без второго M, а также слово «планеты» вместо звезды. Для 2.4 напечатано промежуточное выражение энергии через плотность, для 2.5 — критерий минимума; отсутствующие конечные формулы M(ρ) не добавлены.

Оригинальная общая обложка

Группа секретных физиков. Республиканская физическая олимпиада 2016 года (Заключительный этап). Теоретический тур. Гомель 2016.

Оригинальный лист утверждения и инструкции для 9 класса

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования ____________________ Р.С. Сидоренко. «16» марта 2016 г.

Республиканская физическая олимпиада 2016 год. (Заключительный этап). Теоретический тур. 9 класс.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач! Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Условие

Современная теория строения металлов основывается на законах квантовой физики. Однако и более простые классические теории позволяют получать описывать многие свойства металлов. Одной из простейших теорий, описывающих явления тепло- и электропроводности в металлах, является теория металлов Друде, предложенная немецким физиком Паулем Друде в 1900 году. Теория основывается на следующих предположениях:

кристаллическая решётка металла образована положительно заряженными ионами, которые считаются неподвижными, электроны же внутри металла свободны и образуют электронный газ, который считается идеальным;
электрон — электронными столкновениями пренебрегают, рассматривая только столкновения электронов с ионами;
в интервале между столкновениями не учитывается взаимодействие электрона с другими электронами и ионами решетки;
столкновения мгновенно изменяют скорость электрона, причём скорость электрона после столкновения не зависит от его скоростью до столкновения, направлена случайно, а её величина соответствует температуре проводника, в области столкновения;
время между двумя последовательными столкновениями является случайной величиной, среднее значение которого определяется свойствами металла и равно $\tau$ (эта величина также называется временем релаксации); средний квадрат времени между столкновениями равен $2\tau^2$ ;

В данной задаче вам предстоит в рамках теории Друде рассчитать некоторые характеристики меди. Вам могут понадобиться значения следующих величин:

элементарный заряд $e=1{,}60\cdot10^{-19}$ Кл;
масса электрона $m_e=9{,}11\cdot10^{-31}$ кг;
постоянная Авогадро $N_A=6{,}02\cdot10^{23}\,\text{моль}^{-1}$ ;
постоянная Больцмана $k=1{,}38\cdot10^{-23}\,\text{Дж}\cdot\text{К}^{-1}$ ;
атомная масса меди $A_{\rm Cu}=6{,}36\cdot10^{-2}\,\text{кг}\cdot\text{моль}^{-1}$ ;
валентность меди $Z_{\rm Cu}=1$ ;
плотность меди $\rho_{\rm Cu}=8{,}92\cdot10^3\,\text{кг}\cdot\text{м}^{-3}$ ;
удельное сопротивление меди $\gamma_{\rm Cu}=1{,}68\cdot10^{-8}$ Ом·м.

Часть 1. Закон Ома.

В данной части вам необходимо доказать, что из теории Друде следует закон Ома для участка цепи, который в дифференциальной форме имеет вид

\vec j=\sigma\vec E.\qquad(1)

Где $\vec j$ — вектор плотности тока, $\vec E$ — напряженность поля внутри проводника, $\sigma$ — его удельная проводимость.

1.1 Найдите концентрацию электронов в меди $n$ и рассчитайте её численное значение.

1.2 Найдите среднеквадратичную скорость движения электронов меди $\sqrt{\langle v^2\rangle}$ температуре и рассчитайте её численное значение при температуре $T=300$ К.

Пусть внутри металла существует однородное электрическое поле напряженности $\vec E$ .

1.3 Найдите среднюю скорость $\langle\vec v\rangle$ упорядоченного движения электронов в меди в этом случае. Покажите, что эта скорость пропорциональна напряженности электрического поля $\vec E$ .

1.4 Выразите удельную проводимость металла $\sigma$ через среднее время между столкновениями $\tau$ .

1.5 Используя экспериментальные значения характеристик меди, рассчитайте численное значение среднего времени между столкновениями $\tau$ .

1.6 Рассчитайте численное значение средней скорости упорядоченного движения электронов в меди при плотности тока $j_0=1{,}0\,\text{А}\cdot\text{мм}^{-2}$ .

Часть 2. Закон Джоуля – Ленца.

В данной части вам необходимо доказать. Что из теории Друде следует закон Джоуля – Ленца, который в дифференциальной форме выражается формулой

w=\frac1\sigma j^2.\qquad(2)

где $w$ — мощность теплоты, выделяющаяся в единице объема проводника при прохождении тока плотности $j$ .

Пусть температура проводника постоянна и равна $T$ . Внутри проводника существует однородное электрическое поле напряженности $\vec E$ .

2.1 Найдите среднюю энергию $\langle\varepsilon\rangle$ , передаваемую электроном кристаллической решётке за одно столкновение.

2.2 Покажите, что мощность теплоты, выделяющейся в единице объема, описывается формулой (2).

Часть 3. Закон Видемана – Франца.

Пусть металлический стержень неравномерно нагрет так, что его температура изменяется вдоль стержня и описывается функцией $T(x)$ . В этом случае в стержне будет существовать поток теплоты, который описывается законом Фурье

Оригинальный рисунок со всеми исходными стрелками, осями, шкалами, данными и обозначениями.

q=-\kappa\frac{\Delta T}{\Delta x}.\qquad(3)

где $q$ — плотность потока теплоты (количество теплоты, перетекающей через площадку единичной площади в единицу времени), $\kappa$ — коэффициент теплопроводности материала стержня.

Теплопроводность металлов главным образом обусловлена движением электронов, поэтому между теплопроводностью и электропроводностью металлов должна существовать связь. Эта связь была экспериментально обнаружена в 1853 году и носит название закона Видемана – Франца, который утверждает, что отношение

\frac\kappa{\sigma T}=L\qquad(4)

является постоянной величиной для всех металлов и называется числом Лоренца $L$ . В данной части вам необходимо доказать, что из модели Друде следует закон Видемана – Франца, а также рассчитать постоянную Лоренца.

3.1 Запишите выражения для плотностей потоков энергии, переносимой электронами в положительном $q_+$ и отрицательном $q_-$ направлении оси $X$ , а также суммарного потока энергии $q$ .

Используйте приближенную формулу, справедливую при медленном изменении функции

T(x\pm\Delta x)=T(x)\pm\left(\frac{\Delta T}{\Delta x}\right)\Delta x.\qquad(5)

3.2 Получите формулу для теплопроводности металла и рассчитайте ее численное значение для меди при температуре $T=300$ К.

3.3 Рассчитайте численное значение постоянной Лоренца $L$ .

Часть 4. Эффект Томсона.

При прохождении электрического тока по неоднородно нагретому проводнику выделяется дополнительное (по сравнению с теплотой Джоуля – Ленца) количество теплоты (это явление называется эффектом Томсона). Эффектом Томсона называется дополнительное выделение или поглощение теплоты при прохождении тока в неравномерно нагретом проводнике. В данной части задачи вам необходимо показать, что модель Друде объясняет этот эффект и получить формулу для расчета мощности теплоты Томсона.

Пусть температура медного стержня металла не зависит от времени, но зависит от координаты по закону

T(x)=T_0+\lambda x.\qquad(6)

где $T_0$ и $\lambda$ — известные положительные константы. По стержню протекает электрический ток плотности $j$ .

4.1 При каком направлении тока теплота Томсона будет положительной, а при каком отрицательной?

4.2 Найдите мощность теплоты, выделяющейся в единице объема стержня (плотность мощности) $p$ в описанном случае.

4.3 Покажите, что мощность дополнительной теплоты Томсона пропорциональна плотности тока $j$ и градиенту температуры $\lambda$ . Получите выражение для коэффициента пропорциональности.

Решение

Часть 1. Закон Ома.

1.1. На каждый ион в металле приходится $Z$ электронов, причём массой электронов в сравнении с массой иона можно пренебрегать. В соответствии с этим

n=\frac NV=\frac{Z\rho VN_A/A}{V}=\frac{Z\rho N_A}{A}=8{,}44\cdot10^{28}\,\text{м}^{-3}.\qquad(1)

1.2. Так как электронный газ считается идеальным, к нему можно применить методы кинетической теории газов, в соответствии с чем

\frac{m_e\langle v^2\rangle}{2}=\frac{3kT}{2}\Rightarrow\sqrt{\langle v^2\rangle}=\sqrt{\frac{3kT}{m_e}}=1{,}17\cdot10^{28}\,\text{м}\cdot\text{с}^{-1}.\qquad(2)

1.3. В электрическом поле в соответствии со вторым законом Ньютона для электронов

e\vec E=m_e\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}.\qquad(3)

Тогда по прошествии времени $t$ после предыдущего столкновения электрон имеет скорость

\vec v=\vec v_0+\frac{e\vec Et}{m_e}.\qquad(4)

где $\vec v_0$ — скорость, полученная электроном в результате столкновения. Тогда, учитывая, что среднее время между столкновениями равно времени релаксации, а скорость после столкновения направлена случайным образом, получаем, что

\langle\vec v\rangle=\left\langle\vec v_0+\frac{e\vec Et}{m_e}\right\rangle=\left\langle\frac{e\vec Et}{m_e}\right\rangle=\frac{e\vec E\langle t\rangle}{m_e}=\frac{e\vec E\tau}{m_e}.\qquad(5)

1.4. Плотность тока в данном случае найдем

\vec j=ne\langle\vec v\rangle=\frac{ne^2\tau}{m}\vec E=\sigma\vec E.\qquad(6)

по закону Ома. Тогда

\sigma=\frac{ne^2\tau}{m}.\qquad(7)

1.5. С учетом (7) для среднего времени между столкновениями получаем

\gamma=\frac1\sigma=\frac m{ne^2\tau}\Rightarrow\tau=\frac m{ne^2\gamma}=2{,}51\cdot10^{-14}\,\text{с}.\qquad(8)

Часть 2. Закон Джоуля-Ленца.

2.1. Найдем среднюю энергию, передаваемую электроном кристаллической решетке за одно столкновение. Если $\vec v_1$ — скорость электрона сразу после столкновения, а $\vec v_0$ — непосредственно перед ним, то

H=\frac{m_e}{2}(\langle v_1^2\rangle-\langle v_0^2\rangle).\qquad(9)

Выражение для $\vec v_1$ удобно привести к виду

\langle v_1^2\rangle=\left\langle\left(\vec v_0+\frac{e\vec Et}{m_e}\right)^2\right\rangle\approx\langle v_0^2\rangle+2\left(\frac{eE}{m_e}\right)^2\langle t^2\rangle=\langle v_0^2\rangle+2\left(\frac{eE\tau}{m_e}\right)^2.

из которого следует искомое значение

\langle v_1^2\rangle=\left\langle\left(\vec v_0+\frac{e\vec Et}{m_e}\right)^2\right\rangle=\langle v_0^2\rangle+\left(\frac{eE}{m_e}\right)^2\langle t^2\rangle=\langle v_0^2\rangle+2\left(\frac{eE\tau}{m_e}\right)^2\Rightarrow H=\frac{(eE\tau)^2}{m_e}.\qquad(10)

2.2. Тогда мощность, выделяемую в единице объёма, можно найти как

w=\frac n\tau H=\frac{n\tau(eE)^2}{m_e}=\sigma E^2=5{,}95\cdot10^{11}\,\text{Вт}\cdot\text{м}^{-3}.\qquad(11)

Как следует из закона Ома в дифференциальной форме

j=\sigma E\Rightarrow P=\frac{j^2}{\sigma}LS.\qquad(12)

где $L$ и $S$ — длина и площадь сечения стержня соответственно. Тогда

w=\frac{(jS)^2}{\sigma S}L\cdot\frac1V=\frac1\sigma j^2.\qquad(13)

Часть 3. Закон Видемана - Франца.

3.1. Перенос теплоты осуществляется за счёт того, что электроны, пришедшие из областей с более высокой температурой, сталкиваясь с ионами в областях с меньшей температурой, отдают им больше энергии, чем получают от них. Рассмотрим некоторое поперечное сечение внутри металла. В среднем половина электронов приходит в эту точку со стороны положительного направления оси $x$ , а половина — со стороны отрицательного.

Тогда плотность потока теплоты, обусловленная электронами, пришедшими со стороны отрицательного направления оси $x$ с проекцией скорости $v_x$ равна

q_-(x)=\frac12n_xv_x\cdot\frac32kT(x-v_x\tau).\qquad(14)

а с положительного —

q_+(x)=-\frac12n_xv_x\cdot\frac32kT(x+v_x\tau).\qquad(15)

где $n_x$ — концентрация электронов с проекцией скорости $v_x$ .

Тогда полная плотность потока теплоты для электронов с проекцией скорости $v_x$ равна

q(x)=\frac34kn_xv_x(T(x-v_x\tau)-T(x+v_x\tau)).\qquad(16)

Предполагая, что температура меняется незначительно на длине свободного пробега электрона, получаем, что

T(x\pm v_x\tau)\approx T(x)\pm v_x\tau\frac{\Delta T}{\Delta x}(x)\Rightarrow q(x)=-\frac32kn_xv_x^2\tau\frac{\Delta T}{\Delta x}(x).\qquad(17)

Тогда полная плотность потока теплоты

q(x)=-\sum\frac32kn_xv_x^2\tau\frac{\Delta T}{\Delta x}(x)=-\frac32kn\langle v_x^2\rangle\tau\frac{\Delta T}{\Delta x}(x)=-\frac12kn\langle v^2\rangle\tau\frac{\Delta T}{\Delta x}(x).\qquad(18)

так как $\langle v_x^2\rangle=\frac13\langle v^2\rangle$ .

3.2. Для теплопроводности металла (меди) получаем следующее значение

\kappa=\frac12kn\langle v^2\rangle\tau=1{,}99\cdot10^2\,\text{Вт}\cdot\text{м}^{-1}\cdot\text{К}^{-1}.\qquad(19)

3.3. Численное значение постоянной Лоренца найдем из формулы подсказки

L=\frac\kappa{\sigma T}=\frac32\left(\frac ke\right)^2=1{,}12\cdot10^{-8}\,\text{Вт}\cdot\text{Ом}\cdot\text{К}^{-2}.\qquad(20)

Часть 4. Эффект Томсона.

4.1. Рассуждения в данном пункте практически полностью повторяют оные из пункта 2.1. Действительно, при этом

\langle v_Q\rangle=\left\langle\frac12(v_x(x-v_x\tau)-v_x(x+v_x\tau))\right\rangle=-\left\langle\tau v_x\frac{\Delta v_x}{\Delta x}\right\rangle.\qquad(21)

С учетом правил работы с бесконечно малыми величинами, данное выражение можно преобразовать как

\langle v_Q\rangle=-\left\langle\tau v_x\frac{\Delta v_x}{\Delta x}\right\rangle=-\left\langle\frac\tau2\frac{\Delta v_x^2}{\Delta x}\right\rangle=-\frac\tau2\frac{\Delta\langle v_x^2\rangle}{\Delta x}=-\frac\tau6\frac{\Delta\langle v^2\rangle}{\Delta x}=-\frac{k\tau}{2m_e}\frac{\Delta T}{\Delta x}.\qquad(22)

4.2. Пусть электрон испытывает одно столкновение в точке с координатой $x-d$ , а второе — в точке с координатой $x$ . Тогда выделение теплоты во втором столкновении равно

Q=\frac{m_e}2(\langle v_1\rangle^2-\langle v_0\rangle^2)=\frac{m_e}2\left(2\left(\frac{eE\tau}{m_e}\right)^2+\langle v_0(x-d)\rangle^2-\langle v_0(x)\rangle^2\right).\qquad(23)

Полученное выражение можно привести к виду

\langle v_0(x-d)\rangle^2-\langle v_0(x)\rangle^2=-\frac{\Delta\langle v_0(x)\rangle^2}{\Delta x}\langle d\rangle=-\frac{3k}{m_e}\frac{\Delta T}{\Delta x}\left\langle v_{0x}t+\frac{eEt^2}{2m_e}\right\rangle=-\frac{3keE\tau^2}{m_e^2}\frac{\Delta T}{\Delta x}.\qquad(24)

Откуда следует, что

p=\frac{(eE\tau)^2}{m_e}-\frac{3keE\tau^2}{2m_e}\frac{\Delta T}{\Delta x}.\qquad(25)

Численное значение дает

p=-\frac{3nkeE\tau}{2m_e}\frac{\Delta T}{\Delta x}=-\frac{3nkeE\tau}{2m_e}\lambda=7{,}71\cdot10^6\,\text{Вт}\cdot\text{м}^{-3}.\qquad(26)

4.3. Из формулы (25) следует, что мощность дополнительной теплоты Томсона пропорциональна плотности тока и градиенту температур, причем коэффициент пропорциональности равен

\mu=-\frac{3k}{2e}.\qquad(27)

Оригинал в Архива: 2016_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2016_theoretical_solutions.pdf