Съдържание

Условие Часть 1. Характеристики звезды.Часть 1. Характерное время процессов в звёздах.Часть 2. Анализ равновесия звёзд Решение

BelPhO 2016, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 11-3. 11 класс — 3. Равновесие и устойчивость звёзд

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2016

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полностью получены и прочитаны 22 страницы теоретических условий и 36 страниц соответствующего ключа заключительного этапа 2016 года: девять целых заданий, по три для 9, 10 и 11 классов, с 70 исходными запросами. Сохранены все исходные разделы, продолжения решений, дополнительные оптические рассуждения, сноски, формулы, фотографии, графики и рисунки. Отдельный пустой лист к оптической задаче сохранен полностью, включая код участника и координатную сетку. Время, баллы и отдельная схема оценивания в полученных оригиналах не напечатаны. Общий лист инструкций напечатан для 9 класса; отдельных листов инструкций для 10 и 11 классов в полученном комплекте нет. Дата 16 марта на листе утверждения не подменяет неизвестную дату проведения. В исходной папке нет дополнительных теоретических приложений; экспериментальные оригиналы относятся к отдельно опубликованному туру.

Научные и редакционные разночтения сохранены без исправления оригинала. В ключе Физо повторяются номера формул, максимум во второй части обозначен n_min; I₀ описана как наблюдаемая при неподвижном колесе интенсивность, хотя далее стоит I₀/2. Третья ветвь для второго колеса действительно содержит I₀/3. В осциллографическом ключе напечатаны R₂ вместо обозначения напряжения и различные ссылки на графики. В оптическом условии совпадающие оси обозначены OX/OV, хотя рисунок подписан X(U). Ключ прямо говорит о НЕ параллельных изображениях теней. Сохранены β/α в формуле (7), tan²α в (16), пропущенный K в последнем слагаемом (18), все выражения (19)/(20) и исходные обозначения в аналитическом дополнении. В ключе рассеяния разность Δφ напечатана χ₁−χ₁; в разложении энергии отсутствует коэффициент 2 у смешанного члена.

В условии о стержне λ в пункте 1.5 названа поверхностной плотностью, несмотря на исходную линейную плотность. Последний ответ ключа обозначен 1.6 вместо 1.5, численное k₁ дано без соответствующих исходных числовых параметров. Термоэлектрический ключ не содержит ответа на пункт 1.6; ответ не дописан. Его формула (2) действительно печатает скорость электронов 1,17×10²⁸ м/с. Сохранены исходные знаки, обозначения m/mₑ/v₀/v₁, разные коэффициенты в цепочке (9)/(10), численные мощности с неуказанными числовыми E/λ и различие множителя n в (25)/(26). В звуковом ключе Ω=(2π/ν)(V/c) противоречит предыдущему периоду и численному результату; исходная формула сохранена.

В ключе аквариума используется ξ вместо x, конечная формула скорости не содержит v, а формула (7) содержит исходное ошибочное разложение. В звездном условии две последовательные части обе обозначены «Часть 1» и повторяют номера 1.1–1.3. Ключ содержит β вместо µ, W_E/W_T, повтор (5), последний результат гравитационного интеграла −3GM/(5R) без второго M, а также слово «планеты» вместо звезды. Для 2.4 напечатано промежуточное выражение энергии через плотность, для 2.5 — критерий минимума; отсутствующие конечные формулы M(ρ) не добавлены.

Оригинальная общая обложка

Группа секретных физиков. Республиканская физическая олимпиада 2016 года (Заключительный этап). Теоретический тур. Гомель 2016.

Оригинальный лист утверждения и инструкции для 9 класса

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования ____________________ Р.С. Сидоренко. «16» марта 2016 г.

Республиканская физическая олимпиада 2016 год. (Заключительный этап). Теоретический тур. 9 класс.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач! Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Условие

В данной задаче рассматривается весьма упрощенная модель строения звезды, которая, тем не менее, позволяет оценить ее устойчивость.

Звезда в обычном состоянии представляет собой газовый шар, находящийся в гидродинамическом и тепловом равновесии. Гидродинамическое равновесие обеспечивается равенством сил тяготения и сил давления, действующих на каждый элемент массы звезды. Тепловое равновесие означает равенство энергии, выделяемой в недрах звезды, и энергии, излучаемой с поверхности звезды.

Для оценок рассматривайте сферическую звезду массы $M$ и радиуса $R$ , состоящую из полностью ионизированного водорода. Везде, где не сказано иное, считайте, что для вещества звезды выполняется уравнение состояния идеального газа. Считайте, что источником энергии звезды являются ядерные реакции, идущие в ядре звезды в области массы $0{,}1M$ с максимальным выделением энергии на единицу массы $\mu c^2$ , где $\mu=0{,}01$ .

Вам могут понадобиться значения следующих величин:

гравитационная постоянная $G=6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{м}^3\cdot\text{кг}^{-1}\cdot\text{с}^{-2}$ ;
скорость света $c=3{,}0\cdot10^8$ м/с;
универсальная газовая постоянная $R_G=8{,}31\,\text{Дж}\cdot\text{моль}^{-1}\cdot\text{К}^{-1}$ ;
постоянная Больцмана $k=1{,}38\cdot10^{-23}\,\text{Дж}\cdot\text{К}^{-1}$ ;
постоянная Стефана-Больцмана $\sigma=5{,}67\cdot10^{-8}\,\text{Вт}\cdot\text{м}^{-2}\cdot\text{К}^{-4}$ ;
масса протона $m_p=1{,}67\cdot10^{-27}$ кг;
масса Солнца $M_S=2{,}0\cdot10^{30}$ кг;
радиус Солнца $R_S=7{,}0\cdot10^8$ м;
температура поверхности Солнца $T_S=5{,}7\cdot10^3$ К.

Кроме того, вам могут понадобиться следующие сведения:

тело при температуре $T$ излучает с мощностью на единицу площади, равной $P=\sigma T^4$ ;
в результате ядерных реакцией в ядре звезды образуются более тяжёлые элементы из более лёгких; чем тяжелее элемент, тем большая температура требуется для синтеза из этого элемента;

Для численных оценок параметров звезды используйте значения радиуса, массы и температуры поверхности для Солнца. Давлением излучения пренебрегайте.

Часть 1. Характеристики звезды.

1.1 Оцените среднюю плотность звезды $\bar\rho$ .

1.2 Оцените давление в недрах звезды $P_0$ , считая плотность звезды постоянной.

1.3 Оцените температуру в центре звезды $\bar T$ .

В дальнейшем, где не оговорено иное, считайте, что звезда имеет постоянную плотность и температуру, равную полученным значениям.

Часть 1. Характерное время процессов в звёздах.

1.1 Оцените гидродинамическое время звезды $t_H$ , то есть время, за которое элементы вещества звезды сместятся на расстояние порядка 10% радиуса звезды под действием силы тяготения при отсутствии остальных сил.

1.2 Оцените тепловое время звезды $t_T$ , то есть время, требуемое для того, чтобы излучить 10% тепловой энергии звезды при отсутствии дополнительных источников энергии.

1.3 Оцените ядерное время звезды $t_N$ , то есть время, требуемое, чтобы излучить 10% энергии, выделяющихся в звезде в результате ядерных реакций. Сравните величины характерных времён процессов в звезде и сделайте вывод о протекании процессов в звезде.

Часть 2. Анализ равновесия звёзд

В этой части считайте, что внутренняя энергия звездного вещества определяется по формуле

\varepsilon=K(T)\rho^{\gamma-1}+L(T).\qquad(1)

где $\varepsilon$ — внутренняя энергия, приходящаяся на единицу массы, $K$ и $L$ — некоторые функции, зависящие только от температуры и не зависящие от ее плотности, $\gamma$ — характеристика вещества, называемая показатель адиабаты. В данной части задачи массу звезды считайте постоянной.

2.1 Существенную роль в эволюции звезд играет ее гравитационная энергия. Как зависит гравитационная энергия однородной звезды от ее массы $M$ и радиуса $R$ .

2.2 Определите вид зависимости полной энергии звезды $E$ от её массы, радиуса и показателя адиабаты. Постройте схематические графики зависимости полной энергии звезды массы $M$ от ее радиуса при различных значениях показателя адиабаты $\gamma$ . Выберите такие значения этого показателя, при которых вид исследуемой зависимости претерпевает качественные изменения.

2.3 Установите, при каких значениях $\gamma$ равновесие звезды устойчиво, а при каких неустойчиво.

Из трех рассматриваемых параметров звезды (масса $M$ , радиус $R$ и плотность $\rho$ ) независимыми являются только два, эти два параметра могут быть выбраны произвольно. Для дальнейшего рассмотрения в качестве независимых параметров удобно выбрать массу и плотность.

2.4 Определите вид зависимости массы звезды от её плотности $M(\rho)$ в состоянии равновесия.

2.5 Сформулируйте, какому условию должна удовлетворять зависимость $M(\rho)$ , чтобы равновесие звезды было устойчиво.

Решение

1.1 Средняя плотность звезды рассчитывается «по определению»

\bar\rho=\frac MV=\frac{3M}{4\pi R^3}\approx1\cdot10^3\,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}.\qquad(1)

1.2 Так как плотность звезды предлагается считать постоянной, то изменение давления при изменении расстояния до центра звезды на величину r Δ описывается «гидростатической» формулой

\Delta P=-\rho g\Delta r.\qquad(2)

Так как ускорение свободного падения зависит от расстояния до центра по закону

g(r)=g_0\frac rR.\qquad(3)

где $g_0=GM/R^2$ — ускорение на поверхности звезды, то уравнение (2) приобретает вид

\Delta P=-\frac{\rho g_0}Rr\Delta r.\qquad(4)

Проводя суммирование по тонким сферическим слоям и, учитывая, что на поверхности давление равно нулю, получим

P_0-\frac{\rho g_0}R\frac{R^2}2=0.\qquad(5)

Откуда следует, что давление в центре звезды оценивается по формуле

P_0=\frac{\rho g_0}R\frac{R^2}2=\frac3{8\pi}\frac{GM^2}{R^4}\approx1\cdot10^{14}\,\text{Па}.\qquad(5)

1.3 Для оценки температуры можно воспользоваться уравнением состояния идеального газа (с учетом, что молярная масса газа равна $\mu=m_pN_A$ )

P_0=\frac\rho{m_pN_A}R_GT\Rightarrow\bar T=P_0\frac{m_p}{\rho k}=\frac{\rho g_0R}{2}\frac{m_p}{\rho k}=\frac{m_p}{2k}G\frac MR\approx1\cdot10^7\,\text{К}.\qquad(6)

1.1 Для оценки будем считать, что ускорение свободного падения в мало изменяется при погружении на 10% радиуса и равно ускорению свободного падения на поверхности Тогда из закона равноускоренного движения можно получить искомую оценку времени падения

0{,}1R=\frac{g_0t_H^2}2\Rightarrow t_H=\sqrt{\frac{0{,}2R^3}{GM}}\approx8\cdot10^2\,\text{с}.\qquad(7)

1.2 Тепловая энергия звезды оценивается по формуле

W_E=\frac32kT\cdot2\frac M{m_p}=3\frac M{m_p}kT\approx6\cdot10^{41}\,\text{Дж}.\qquad(8)

Здесь учтено, что электроны имеют такую же энергию, как и протоны. В единицу времени звезда излучает с поверхности энергию, равную

L=4\pi R^2\sigma T_S^4\approx4\cdot10^{26}\,\text{Вт}.\qquad(9)

Тогда оценка теплового времени дается формулой

t_T=0{,}1\frac{W_T}{L}\approx1{,}5\cdot10^{14}\,\text{с}\approx5\cdot10^6\,\text{лет}.\qquad(10)

1.3 Ядерное время звезды $t_N$ оценивается аналогично. Ядреная энергия, выделяющаяся в результате ядерных реакций равна

W_N=0{,}1M\beta c^2\approx2\cdot10^{44}\,\text{Дж}.\qquad(11)

Поэтому

t_N=0{,}1\frac{W_N}L\approx5\cdot10^{16}\,\text{с}\approx2\cdot10^9\,\text{лет}.\qquad(12)

Часть 2. Анализ равновесия звёзд

2.1 В данному случае нет необходимости находить полную формулу для гравитационной энергии, достаточно только определить вид зависимости, который проще всего найти с помощью метода размерностей. Простой анализ показывает, что искомая зависимость должна иметь вид

W_G=-\alpha G\frac{M^2}R.\qquad(13)

Где α- безразмерный коэффициент. Так как гравитационная энергия есть энергия притяжения, то она является отрицательной.

Примечание. При необходимости можно рассчитать и точное численное значение этого коэффициента. Для этого выделим внутри однородного шара тонкий сферический слой радиуса r и толщиной dr . Гравитационная энергия взаимодействия этого слоя с шаром определяется по формуле

Оригинальный рисунок со всеми исходными стрелками, осями, шкалами, данными и обозначениями.

W_G=-G\frac{m'\,dm}{r}.

где $m'=\frac43\pi r^3\rho=M r^3/R^3$ — масса части шара, находящейся под рассматриваемым слоем, $dm=4\pi r^2dr\rho=3M r^2dr/R^3$ — масса выделенного слоя. Подставим эти значения в формулу для гравитационной энергии и проведем элементарное интегрирование по всем слоям, в результате получим

W_G=-\int_0^RG\frac{m'\,dm}{r}=-3GM^2\int_0^R\frac{r^3}{R^3}\frac{r^2dr}{R^3}\frac1r=-\frac35G\frac MR.

2.2 Полная энергия звезды состоит из ее внутренней энергии, определяемой формулой (1), приведенной в условии задачи, и гравитационной энергией, найденной в предыдущем пункте:

W=M\varepsilon+W_G=M\left(K(T)\rho^{\gamma-1}+L(T)\right)-\alpha G\frac{M^2}R.\qquad(14)

Теперь необходимо выразить плотность звезды через ее массу и радиус:

\rho=\frac M{\frac43\pi R^3}.\qquad(15)

Окончательное выражение для энергии принимает вид

W=M\varepsilon+W_G=M\left(K(T)\left(\frac M{\frac43\pi R^3}\right)^{\gamma-1}+L(T)\right)-\alpha G\frac{M^2}R=A\frac{M^\gamma}{R^{3\gamma-3}}-B\frac{M^2}R+C.\qquad(16)

где $A,B,C$ — некоторые положительные величины, не зависящие от массы и радиуса планеты, причем последнее постоянное слагаемое может быть опущено. Схематический вид зависимости $W(R)$ легко установить, рассматривая поведение функции в предельных случаях $R\to0$ и $R\to\infty$ . Простой анализ показывает, что при $3\gamma-3>1$ данная функция имеет точку минимума, в противном случае она имеет точку максимума. Для примера на рисунке показаны графики функции $W=1/R^\alpha-1/R$ , при различных значениях показателя степени $\alpha$ , которые приведены на рисунке.

2.3 Чтобы положения равновесия (ему соответствуют точки экстремума энергии) было устойчивым необходимо, чтобы функция имела минимум энергии. В нашем случае, как это следует из анализа зависимости $W(R)$ , это условие достигается при

3\gamma-3>1\Rightarrow\gamma>\frac43.\qquad(17)

2.4 Чтобы получить зависимость массы звезды от ее плотности (помните, что радиус звезды не является постоянным!) достаточно выразить ее радиус

R=\sqrt[3]{\frac M{\frac43\pi\rho}}=\beta M^{1/3}\rho^{-1/3}.\qquad(18)

И подставить его в выражение для полной энергии (16)

W=A\frac{M^\gamma}{R^{3\gamma-3}}-B\frac{M^2}R=A'M\rho^{\gamma-1}-B'M^{5/3}\rho^{1/3}.\qquad(19)

2.5 Условие устойчивого равновесия и в этом варианте может быть сформулировано аналогично — функция $W(\rho)$ должна иметь точку минимума.

Оригинал в Архива: 2016_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2016_theoretical_solutions.pdf