Съдържание

Условие Часть 1. Вал неподвижен, трения нет!Часть 2. Вал неподвижен, трение есть!Часть 3. Вал вращается, трение есть!Часть 3.Решение

BelPhO 2017, Областен етап, 9,10,11 — Задача 11-3. 11 класс — 3. Автоколебания

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2017

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены 18 страниц условий и 26 страниц архивного ключа. Сохранены девять отдельных целых заданий — по три для 9,10,11 класса, со всеми 66 печатными группами запросов, а не каталожными 75 частями. Общие утверждение и инструкции повторены в оригинале отдельно для каждого класса. Обложка утверждений для 2017 года датирована декабрем 2016 года. Баллы, время и отдельные критерии оценивания не напечатаны.

Решение звуковых волн 11-2 отсутствует. Ключ на стр. 20 ошибочно назван «Задача 11-2. Звуковые волны, эффект Доплера», но все его содержание на стр. 20–23 — полный ключ сфер 11-1. Оно связано именно со сферами, исходный ошибочный заголовок виден в примечании. Отдельные выданные бланки графиков 9-2 и построений 10-2 отсутствуют в полученных оригиналах; графики условий и расширенные построения ключа сохранены. График 9-2 напечатан до самой нижней границы исходной стр. 4, без добавления данных за границей оригинала.

У велокомпьютера часть отображаемых формул и промежуточных численных результатов отсутствует в самом PDF, что проверено по двум исходным рендерам. Такие места помечены в ключе, новые формулы не сочинены. У пружины отсутствуют результат после «Откуда» на стр. 16 и формула равномерной внешней силы на стр. 17; некоторые порядковые обозначения также не напечатаны. В условии Доплера пропущено обозначение скорости звука, а в условии автоколебаний — формула после «относительно небольшой скоростью».

Сохранены буквальные исходные несогласованности: номера 1.4–1.7 и 4.1/4.2, ошибочные ссылки в сосуде и номера 2.1/2.2 ключа; повтор 3.2 в автоколебаниях при последнем 3.3 ключа; повтор 2.4 и(5), C 0=108 Дж/К и Q 0=2,2·10³Дж при исходном c 0=1 кДж/(кг·К), c 0 вместо стоимости s 0, площадка 2 aH и 660 Вт при прежних 4 aH и 7200 Вт, подстановка 1·10⁹Дж вместо 11,6·10⁸Дж в доме; увеличение времени падения в√2 раза в тексте рядом сτ 1=τ/√2; незавершенное равенство(7) иρ 2 вместоρ 1 в сосуде; повторΔx 1 в сумме пружины и формуле(19), исходные номера и ссылка(25); τ вместоΔτ в рассуждениях, φ 2=−4° иφmax в формуле равновесия автоколебаний. Напечатанные значения и знаки не исправлены.

9 класс — 2. Велокомпьютер — примечания к оригиналу:

Формула(1) отсутствует в полученном оригинале: напечатаны только точка и номер.

Формула(4) отсутствует в оригинале.

Формула(5) отсутствует в оригинале.

Формула(7) отсутствует в оригинале.

Численная формула(8) отсутствует в оригинале.

На стр. 3 ключа после слов «достигая максимального значения» отсутствует обозначение этого значения.

Формула(10) отсутствует в оригинале.

Формула(11) отсутствует в оригинале.

На стр. 3 ключа не напечатано условие после фразы «График полученной зависимости (11) для».

Формула(12) отсутствует в оригинале.

На стр. 4 ключа в фразе «пересекает график функции … сверху вниз» отсутствует название второй функции.

После последнего знака равенства формулы(13) в оригинале нет выражения.

Формула(16) отсутствует в оригинале.

В формуле(17) сохранилась только буква $S$ и точка; остальное выражение отсутствует.

Формула(18) отсутствует в оригинале.

Левая часть формулы(20) отсутствует.

Формула(21) отсутствует в оригинале.

Формула(25) отсутствует в оригинале.

10 класс — 2. Утечка … центра масс — примечания к оригиналу:

После последнего знака равенства в формуле(7) нет выражения.

10 класс — 3. «Мягкая» пружина — примечания к оригиналу:

На стр. 16 ключа после «Откуда» в решении 1.2 отсутствует итоговый результат.

На стр. 17 ключа после фразы о равномерном движении внешняя сила не напечатана.

На стр. 17–18 ключа оставлены пропуски порядковых обозначений частей пружины.

11 класс — 1. Проводящие и диэлектрические сферы — примечания к оригиналу:

В полученном ключе на стр.20 напечатан заголовок «Задача 11-2. Звуковые волны, эффект Доплера». Ниже, однако, находится решение проводящих и диэлектрических сфер из задания 11-1: все шесть запросов,41 формула и шесть схем сфер. Этот исходный ошибочный заголовок сохранен в примечании; к задаче Доплера данное решение не относится.

11 класс — 2. Звуковые волны, эффект Доплера — примечания к оригиналу:

На стр. 15 условий после «скорость звука в среде» не напечатано обозначение.

11 класс — 3. Автоколебания — примечания к оригиналу:

На стр. 18 условий после «с относительно небольшой скоростью» не напечатана формула.

Продолжение той же части 3 отдельно сохраняет второй исходный запрос 3.2; он не перенумерован.

Оригинальная общая обложка

Республиканская физическая олимпиада 2017 года. (III этап). Теоретический тур. =2017=

Оригинальные утверждение и общие инструкции — 9 класс

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования. _________________Р.С.Сидоренко. «» декабря 2016 г.

Республиканская физическая олимпиада 2017 год. (IIIэтап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач! Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

9 класс.

Оригинальные утверждение и общие инструкции — 10 класс

Республиканская физическая олимпиада 2017 год. (IIIэтап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

10 класс.

Оригинальные утверждение и общие инструкции — 11 класс

Республиканская физическая олимпиада 2017 год. (IIIэтап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

11 класс.

Условие

В данной задаче рассматривается поведение следующего механического устройства. На горизонтальный вал 1 радиуса $r=2{,}0\text{ см}$ насажена муфта 2, к которой жестко прикреплен стержень 3, на конце которого закреплен массивный шарик 4. Шарик, стержень и муфту будем называть маятником. Масса шарика $m$ значительно больше массы стержня и муфты. Расстояние от оси вала до центра шарика равно $l=8{,}0\text{ см}$ . Шарик можно рассматривать как материальную точку. Между муфтой и валом существует небольшой зазор.

Вал может вращаться с постоянной угловой скоростью $\omega_0$ вокруг своей оси. Коэффициент трения покоя между муфтой и валом равен $\mu_0=0{,}80$ , коэффициент трения скольжения $\mu=0{,}60$ . Ускорение свободного падения $g=9{,}8\text{ м/с}^2$ . Положение стержня будем задавать углом его отклонения от вертикали $\varphi$ . В приближении малых колебаний применимы приближенные формулы

\sin\varphi\approx\varphi,\qquad\cos\varphi\approx1-\frac{\varphi^2}2.

Оригинальный научный рисунок или таблица: все оси, подписи, стрелки, размеры, кривые, данные, пустые клетки и исходные границы.

Часть 1. Вал неподвижен, трения нет!

В данной части задачи рассмотрим поведение стержня на неподвижном валу, при условии, что трение пренебрежимо мало.

1.1 Чему равен период малых свободных колебаний стержня?

1.2 Стержень отклонили на угол $\varphi_0=30^\circ$ от вертикали и отпустили. Запишите закон движения стержня, то есть зависимость угла отклонения от времени $\varphi(t)$ . Запишите зависимость угловой скорости движения стержня от времени $\omega(t)$ . Отклонение в $30^\circ$ можно считать малым.

1.3 Постройте схематически фазовую диаграмму движения стержня. Фазовой диаграммой называется кривая, описывающая зависимость угловой скорости от угла отклонения $\omega(\varphi)$ .

Часть 2. Вал неподвижен, трение есть!

В данной части задачи по-прежнему вал неподвижен, но учитываем силу трения, действующую между валом и муфтой. Можно считать, что модуль силы трения в процессе малых колебаний стержня остается постоянным.

2.1 Укажите максимальный угол отклонения стержня, при котором он еще может находится в состоянии покоя.

2.2 Стержень отклонили на угол $\varphi_0=30^\circ$ от вертикали и отпустили. Найдите угол отклонения стержня в момент следующей остановки.

2.3 Нарисуйте схематическую фазовую траекторию движения маятника в этом случае.

Часть 3. Вал вращается, трение есть!

Рассмотрим поведение маятника на вращающемся валу с относительно небольшой скоростью .

3.1 Определите на какой максимальный угол может отклонится маятник при вращении вала под действием силы трения покоя.

3.2 Определите положение равновесия маятника, при условии, что муфта проскальзывает по валу.

Часть 3.

3.2 Качественно опишите процесс движения маятника. Покажите, что маятник будет колебаться. На каком этапе его движения он будет получать энергию, чтобы компенсировать потери на трение? Постройте схематически фазовую траекторию движения маятника в этом случае.

Решение

Задача 11-3. Автоколебания

Часть 1. Вал неподвижен, трения нет!

1.1 Период малых свободных колебаний стержня можно рассчитать по формуле

T=2\pi\sqrt{\frac lg}=2\pi\sqrt{\frac{0{,}08}{9{,}8}}=0{,}57\text{ с}.\qquad(1)

1.2 Закон движения стержня, то есть зависимость угла отклонения от времени $\varphi(t)$ , есть закон гармонических колебаний

\varphi(t)=\varphi_0\cos\Omega t,\qquad(2)

где $\Omega=\sqrt{g/l}$ круговая частота колебаний стержня. Зависимость угловой скорости движения стержня от времени $\omega(t)$ имеет вид

\omega(t)=-\varphi_0\Omega\sin\Omega t.\qquad(3)

Отклонение в 30°можно считать малым.

1.3 Фазовая диаграмма движения стержня является эллипсом.

Часть 2. Вал неподвижен, трение постоянно.

2.1 Из рисунка, на котором изображены силы, действующие на маятник следует:

N=mg\cos\varphi_{\max}.\qquad(4)

Величина силы трения $F=\mu_0N=\mu_0mg\cos\varphi_{\max}$ . В состоянии равновесия сумма моментов сил, действующих на маятник равна нулю, поэтому

\mu_0mg\cos\varphi_{\max}\cdot r=mgl\sin\varphi_{\max}\Rightarrow\tan\varphi_{\max}=\mu_0\frac rl=0{,}8\frac{2{,}0}{8{,}0}=0{,}20\Rightarrow\varphi_{\max}\approx11^\circ.\qquad(5)

2.2 Изменение энергии маятника равно работе силы трения, поэтому

-mgl\cos\varphi_0-(-mgl\cos\varphi_1)=\mu mgr(\varphi_0+\varphi_1).\qquad(6)

Полагая углы малыми и, пользуясь приближенной формулой для косинуса, получим

\varphi_0^2-\varphi_1^2=2\mu\frac rl(\varphi_0+\varphi_1)\Rightarrow\varphi_1=\varphi_0-2\mu\frac rl.\qquad(7)

То есть угол отклонения уменьшается на величину $\Delta\varphi=2\mu r/l=2\cdot0{,}6\cdot2/8=0{,}30=17^\circ$ . Аналогичное уменьшение будет и до второй остановки.

2.3 Итак первая остановка произойдет при $\varphi_1=-(30^\circ-17^\circ)=-13^\circ$ , следующая остановка $\varphi_2=-4^\circ$ попадает в зону застоя, т.е. маятник остановится. Схематически фазовая диаграмма имеет вид, показанный на рисунке.

Часть 3. Вал вращается, трение есть!

3.1 Максимальный угол отклонения определяется трением покоя. Силы, действующие на маятник на вращающемся против часовой стрелки валу, показаны на рисунке. Угол $\alpha$ задает направление на точку касания муфты и вала. Запишем условия равновесия маятника. В проекции на горизонтальную ось

N\sin\alpha=F\cos\alpha=\mu_0N\cos\alpha.\qquad(8)

Из этого уравнения следует, что

\tan\alpha=\mu_0.\qquad(10)

В проекции на вертикаль:

mg=N\cos\alpha+\mu_0N\sin\alpha.\qquad(11)

С учетом(10)последнее выражение преобразуется к виду

mg=N\cos\alpha+\tan\alpha N\sin\alpha\Rightarrow N=\frac{mg}{\cos\alpha+\tan\alpha\cdot\sin\alpha}=mg\cos\alpha.\qquad(12)

Тогда сила трения описывается формулой (опять же, принимая во внимание формулу(10))

F=\mu_0N=\mu_0mg\cos\alpha=\frac{\mu_0}{\sqrt{1+\mu_0^2}}mg.\qquad(13)

Наконец, запишем условие равенства моментов сил, действующих на маятник

\frac{\mu_0}{\sqrt{1+\mu_0^2}}mgr=mgl\sin\varphi_{\max}.\qquad(14)

Из которого находим

\sin\varphi_{\max}=\frac{\mu_0}{\sqrt{1+\mu_0^2}}\frac rl=0{,}16,\quad\varphi_{\max}=9{,}0^\circ.\qquad(15)

3.2 Для расчета положения равновесия можно воспользоваться формулой(15), в которой заменить коэффициент трения покоя на коэффициент трения скольжения

\sin\overline\varphi=\frac\mu{\sqrt{1+\mu^2}}\frac rl=0{,}13,\quad\varphi_{\max}=7{,}0^\circ.\qquad(16)

3.3 Качественно процесс движения маятника будет происходить следующим образом. Вначале маятник неподвижен относительно вала и поднимается с угловой скоростью $\omega_0$ , равной скорости вращения вала (участок 1-2). Достигнув максимально возможной высоты, найденной в п.3.1 он начнет проскальзывать (точка 2). Сила трения скачком уменьшается, маятник по инерции продолжает подниматься. Исчерпав запас кинетической энергии в некоторой точке 3, он остановится. Так как он не попадает в зону застоя, то начнет двигаться вниз (участок 3-4). На этом этапе его фазовая траектория совпадает с траекторией затухающих колебаний. Достигнув максимального отклонения в точке 4, он начнет двигаться в противоположном направлении, при этом его скорость будет возрастать. Когда его скорость достигнет значения $\omega_0$ , опять «включится» сила трения покоя, под действием которой он будет подниматься. Далее процесс повторяется. Понятно, что подкачка энергии маятника происходит благодаря работе силе трения покоя на участке 1-2.

Оригинал в Архива: 3_etap_2017_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2017_theoretical_solutions.pdf