Съдържание

BelPhO 2017, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 10-1.2. 10 класс — 1.2. «Разминка»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2017

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 17 страниц условий и 31 страница соответствующего теоретического ключа. Сохранены 12 целых задач: по четыре для 9, 10 и 11 классов, под девятью напечатанными родительскими заданиями, 60 явно обозначенных групп запросов вместо каталожных 66 частей. В двух «Разминках» первый составной запрос напечатан без внутренних номеров и сохранен целиком; две прямо названные несвязанными задачи каждой «Разминки» сохранены отдельно; части внутри каждой задачи остаются вместе. Группа 2.1–2.4 «Конденсатора» напечатана как один общий запрос и не разбита искусственно. Все полные ключи девяти напечатанных родительских заданий, альтернативные выводы, числовые таблицы, пояснения, исходные формулы и графики получены. Один исходный пустой бланк к «Векторной кинематике» напечатан на странице 4 условий: сноска говорит, что оба выданных бланка одинаковы. Сохранены этот полный бланк и оба заполненных бланка ключа. График давления насыщенного пара к циклу Ренкина сохранен полностью. Отдельные выданные бланки построений к «Кольцевой» и «Пилообразному и импульсному току» не получены. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны. Экспериментальные оригиналы принадлежат отдельному опубликованному туру и здесь не использованы; изображение обложки сохранено в исходном PDF.

Печатные научные и редакционные несогласованности сохранены без исправления: диапазон 20–70°C терморезистора при напечатанных постоянных дает отрицательное сопротивление выше 65°C; инструкция указывает пункты 3–6, хотя имеется пункт 7; пример координат отличается от последующих исходных координат, а выражение для построенного вектора S₂ имеет размерность скорости. В разминке 10 класса сохранены исходная формула Пуазейля, полное слагаемое μmgl в работе при начальной точке l/4 и напечатанные множители π³/r⁴ в силе и работе. У «Конденсатора» сохранены отсутствующее равенство в первой формуле и первая часть выражения ΔC. График p–T цикла Ренкина показывает прямой участок 3–4, тогда как текст ключа называет его непрямым. В разминке 11 класса сохранены название потенциальной энергии кинетической, исходные ссылки, d=2h при обозначении b в условии и напечатанное γ≈11°. У «Кольцевой» сохранены E_z/E_z, коэффициент силы диполя, двойное равенство, смена знака в цепочке магнитной силы и повтор пункта 3.3; второй пункт 3.3 помечен † только для различения ссылок, а ключ называет его 3.4. В последнем ключе сохранены пропуск номера формулы 7, утверждение о независимости тока от времени, разные масштабные значения графиков при напечатанном I₃=U/5, исходные номера рисунков и ссылка на формулу 45 вместо 46. Грамматические ошибки и остальные исходные обозначения сохранены.

Оригинальная общая обложка

Группа секретных физиков. Республиканская физическая олимпиада 2017 года (Заключительный этап). Теоретический тур. Гродно. 2017.

Условие

Данное задание состоит из двух несвязанных между собой задач.

Задача 1.2

При протекании газа по трубе на него действуют силы вязкого трения со стороны стенок трубы. Расход газа (объем газа, протекающего через поперечное сечение трубы в единицу времени) определяется формулой Пуазейля

q=\frac{r^4\Delta P}{8\pi\eta l},\qquad(1)

где $l$ — длина трубы, $r$ — ее внутренний радиус, $\Delta P$ — разность давлений на концах трубы, $\eta$ — коэффициент вязкости протекающего газа.

1.2.1 Воздух пропускают через тонкую трубку, прикладывая к ее концам разность давлений $\Delta P_0$ . При этом расход газа равен $q_0$ . Чему будет равен расход газа через трубку такой же длины, но в два раза большего радиуса, при той же разности давлений на ее концах? Две описанных трубки соединены последовательно. Чему будет равен расход газа через эту составную трубку, если к ее концам приложить такую же разность давлений $\Delta P_0$ ?

1.2.2 В очень длинной тонкостенной медной трубе длины $l$ и радиуса $r$ находится воздух. В трубу вставляют поршень, который может двигаться по трубе. Какую работу необходимо совершить, чтобы с помощью поршня вытолкнуть весь воздух из трубы, двигая его с постоянной скоростью $v$ , значительно меньшей скорости звука в воздухе?

Оригинальный научный рисунок с полными стрелками, границами, осями, числовыми данными и подписями.

Считайте, что на свободном конце трубы и за поршнем давление постоянно и равно $P_0$ . Трением поршня о стенки трубы можно пренебречь.

Во всех пунктах задачи считайте, что избыточное давление мало, так, что изменением объема газа при изменении давления можно пренебречь.

Решение

Задача 1.2

1.2.1 С помощью формулы Паузейля находим

q_1=\frac{(2r)^4\Delta P}{8\pi\eta l}=16\frac{r^4\Delta P}{8\pi\eta l}=16q_0.\qquad(1)

При соединении двух трубок необходимо учесть, что давления на концах трубок перераспределяться так, чтобы расходы газов через них были одинаковы. Обозначим разности давлений концах трубок $\Delta P_0,\Delta P_1$ . Для расходов газов из уравнения Пуазейля можно записать

\begin{aligned}q&=g\Delta P_0,\\q&=16g\Delta P_1,\\q_0&=g\Delta P.\end{aligned}\qquad(2)

Где $g$ — некоторая постоянная величина, $q$ — искомый расход через составную трубку.

Кроме того

\Delta P_0+\Delta P_1=\Delta P.\qquad(3)

Из этих уравнений находим

\frac qg+\frac q{16g}=\Delta P\quad\Rightarrow\quad q=\frac{16}{17}g\Delta P=\frac{16}{17}q_0.\qquad(4)

1.2.2 Так как труба тонкостенная и хорошо проводит тепло, а скорость движения поршня мала, то процесс можно считать изотермическим и равновесным. Т.е. при любом положении поршня распределение давления газа соответствует равновесному движению газа. В этом случае формула Пуазейля применима при любом положении поршня. Обозначим расстояние от конца трубы до поршня $x$ , а избыточное (над атмосферным) давление вблизи поршня $p$ .

Расход газа при движении поршня со скоростью $v$ равен

q=vS.\qquad(5)

Где $S$ — площадь поперечного сечения трубы

Из формулы Пуазейля можно найти, какое избыточное давление может обеспечить такой расход и какую силу следует прикладывать к поршню:

q=vS=\frac{r^4p}{8\pi\eta(l-x)}\quad\Rightarrow\quad p=\frac{8\pi\eta Sv}{r^4}(l-x)\quad\Rightarrow\quad F=pS=\frac{8\pi\eta S^2v}{r^4}(l-x)=\frac{8\pi^3\eta v}{r^4}(l-x).

Так как сила изменяется по линейному закону от максимального до нулевого значения, то при вычислении работы можно взять ее среднее значение $\langle F\rangle=\frac12F_{\max}$ .

Тогда работа по выталкиванию воздуха из трубы будет равна

A=\langle F\rangle l=\frac{4\pi^3\eta v}{r^4}l^2.\qquad(6)

Оригинал в Архива: 2017_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2017_theoretical_solutions.pdf