Съдържание

BelPhO 2017, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 11-3. 11 класс — 3. «Пилообразный и импульсный ток»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2017

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 17 страниц условий и 31 страница соответствующего теоретического ключа. Сохранены 12 целых задач: по четыре для 9, 10 и 11 классов, под девятью напечатанными родительскими заданиями, 60 явно обозначенных групп запросов вместо каталожных 66 частей. В двух «Разминках» первый составной запрос напечатан без внутренних номеров и сохранен целиком; две прямо названные несвязанными задачи каждой «Разминки» сохранены отдельно; части внутри каждой задачи остаются вместе. Группа 2.1–2.4 «Конденсатора» напечатана как один общий запрос и не разбита искусственно. Все полные ключи девяти напечатанных родительских заданий, альтернативные выводы, числовые таблицы, пояснения, исходные формулы и графики получены. Один исходный пустой бланк к «Векторной кинематике» напечатан на странице 4 условий: сноска говорит, что оба выданных бланка одинаковы. Сохранены этот полный бланк и оба заполненных бланка ключа. График давления насыщенного пара к циклу Ренкина сохранен полностью. Отдельные выданные бланки построений к «Кольцевой» и «Пилообразному и импульсному току» не получены. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны. Экспериментальные оригиналы принадлежат отдельному опубликованному туру и здесь не использованы; изображение обложки сохранено в исходном PDF.

Печатные научные и редакционные несогласованности сохранены без исправления: диапазон 20–70°C терморезистора при напечатанных постоянных дает отрицательное сопротивление выше 65°C; инструкция указывает пункты 3–6, хотя имеется пункт 7; пример координат отличается от последующих исходных координат, а выражение для построенного вектора S₂ имеет размерность скорости. В разминке 10 класса сохранены исходная формула Пуазейля, полное слагаемое μmgl в работе при начальной точке l/4 и напечатанные множители π³/r⁴ в силе и работе. У «Конденсатора» сохранены отсутствующее равенство в первой формуле и первая часть выражения ΔC. График p–T цикла Ренкина показывает прямой участок 3–4, тогда как текст ключа называет его непрямым. В разминке 11 класса сохранены название потенциальной энергии кинетической, исходные ссылки, d=2h при обозначении b в условии и напечатанное γ≈11°. У «Кольцевой» сохранены E_z/E_z, коэффициент силы диполя, двойное равенство, смена знака в цепочке магнитной силы и повтор пункта 3.3; второй пункт 3.3 помечен † только для различения ссылок, а ключ называет его 3.4. В последнем ключе сохранены пропуск номера формулы 7, утверждение о независимости тока от времени, разные масштабные значения графиков при напечатанном I₃=U/5, исходные номера рисунков и ссылка на формулу 45 вместо 46. Грамматические ошибки и остальные исходные обозначения сохранены.

Оригинальная общая обложка

Группа секретных физиков. Республиканская физическая олимпиада 2017 года (Заключительный этап). Теоретический тур. Гродно. 2017.

Условие

1.

Пусть некоторый источник напряжения (ИН) создаёт напряжение $U(t)$ «пилообразной» формы в зависимости от времени $t$ (рис.1). К данному источнику подключают конденсатор ёмкостью $C=1{,}0\,\text{мкФ}$ (рис.2).

Оригинальный научный рисунок с полными стрелками, границами, осями, числовыми данными и подписями.

Рисунок 1.

Рисунок 2.

1.1 Определите период $T$ колебаний напряжения источника.

1.2 Получите уравнения зависимостей $U(t)$ на временных интервалах 0,0–0,50 мс и 0,50–2,5 мс.

1.3 Получите уравнения зависимостей силы тока $I(t)$ в данной цепи на временных интервалах 0,0–0,50 мс и 0,50–2,5 мс.

1.4 Постройте на «Бланке построений» График №1 полученных зависимостей $I(t)$ на временном интервале в два периода.

2.

Источник включают в режим, при котором он задаёт напряжение в соответствии с графиком на рисунке 3. К источнику подключают катушку с индуктивностью $L=1{,}0\,\text{мГн}$ (рис.4). Активное сопротивление катушки считайте равным нулю.

Рисунок 3.

Рисунок 4.

2.1 Получите уравнения зависимостей $I(t)$ на временных интервалах 0,0–1,0 мс и 1,0–2,0 мс.

2.2 Постройте на «Бланке построений» График №2 полученных зависимостей $I(t)$ на временном интервале 0,0–5,0 мс.

3.

Источник включают в режим, при котором он задаёт напряжение в соответствии с графиком на рисунке 5. К источнику подключают резистор сопротивлением $R_0$ (рис.6).

Рисунок 5.

Рисунок 6.

3.1 Постройте на «Бланке построений» График №3 зависимости мощности, выделяющейся на резисторе, от времени.

3.2 Рассчитайте среднюю мощность, выделяющуюся на резисторе, за большой промежуток времени.

4.

Источник включают в режим, при котором он задаёт напряжение $U(t)$ в соответствии с графиком на рисунке 7. К источнику подключают электрическую схему (рис. 8). Сопротивления всех резисторов $R_1=R_3=2{,}0\,\text{Ом}$ , $R_2=4{,}0\,\text{Ом}$ . Диоды считайте идеальными.

Рисунок 7.

Рисунок 8.

4.1 Постройте на «Бланке построений» График №4 зависимости силы тока от времени $I_3(t)$ на резисторе $R_3$ на временном интервале в два периода.

4.2 Определите количество теплоты $Q$ , выделившееся на резисторе $R_3$ за промежуток времени $\Delta t=6{,}0\,\text{мс}$ .

Примечание: во всех пунктах данной задачи источник напряжения считайте идеальным (т.е. создаваемое им напряжение на внешней цепи не зависит от параметров этой цепи), сопротивлением соединительных проводов пренебречь.

Указание: каждый график обязательно строить на выданном вам «Бланке построений».

Подсказка. Если физические величины $y$ и $x$ связаны прямо пропорционально $y=kx$ , или линейно $y=kx+b$ , то изменения этих физических величин связаны прямо пропорционально $\Delta y=k\Delta x$ . При изменении некоторой величины $x$ на малую величину $\Delta x$ справедливы соотношения:

\frac12\Delta(x^2)=x\Delta x;\qquad \frac13\Delta(x^3)=x^2\Delta x.

Решение

Часть 1.

1.1 Период колебаний напряжения $T=3{,}0\,\text{мс}$ .

1.2 Зависимости $U(t)$ на временном интервале 0,0–0,50 мс прямо пропорциональная. Зависимости $U(t)$ имеет вид:

U=k_1t,\qquad(1)

где $k_1=8{,}0\,\text{кВ}/\text c$ .

На временном интервале 0,50–2,5 мс зависимости $U(t)$ линейная. Зависимости $U(t)$ имеет вид:

U=U_0+k_2t\ (\text В),\qquad(2)

где $k_2=-4{,}0\,\text{кВ}/\text c$ , $U_0=6{,}0\,\text В$ .

1.3 Если напряжение в электрической цепи, содержащей конденсатор, изменяется, то в цепи течёт ток зарядки или перезарядки конденсатора. Для получения зависимости $I(t)$ воспользуемся уравнением

I=\frac{\Delta q}{\Delta t}.\qquad(3)

Заряд конденсатора определяется уравнением

q=CU.\qquad(4)

На временном интервале 0,0–0,50 мс

q=Ck_1t.\qquad(5)

Следовательно:

\Delta q=Ck_1\Delta t,\qquad(6)

I_1=Ck_1=1{,}0\,\text{мкФ}\cdot8{,}0\,\frac{\text{кВ}}{\text c}=8{,}0\,\text{мА}.\qquad(8)

На временном интервале и 0,50–2,5 мс

q=CU_0+Ck_2t.\qquad(9)

Следовательно:

\Delta q=Ck_2\Delta t,\qquad(10)

I_2=Ck_2=1{,}0\,\text{мкФ}\cdot\left(-4{,}0\,\frac{\text{кВ}}{\text c}\right)=-4{,}0\,\text{мА}.\qquad(11)

При заданной форме напряжения сила тока в электрической цепи, содержащей источник напряжения и конденсатор, от времени не зависит.

1.4 График зависимости $I(t)$ на временном интервале в два периода представлен на рисунке 10.

Рисунок 10.

Часть 2.

2.1 На временном интервале 0,0–1,0 мс зависимость $U(t)$ прямо пропорциональная

U(t)=k_3t,\qquad(12)

где $k_3=4{,}0\cdot10^3\,\text В/\text c$ .

Так как, согласно условию задачи, полное сопротивление цепи равно нулю, то Закон Ома для полной цепи приобретает вид:

U+\mathcal E_{si}=0.\qquad(13)

Так как

\mathcal E_{si}=-L\frac{\Delta I}{\Delta t},\qquad(14)

то

U-L\frac{\Delta I}{\Delta t}=0.\qquad(15)

Следовательно

L\frac{\Delta I}{\Delta t}=U,\qquad(16)

откуда

\Delta I=\frac UL\Delta t.\qquad(17)

Подставляя в (17) уравнение (12) получим:

\Delta I=\frac{k_3t}{L}\Delta t,\qquad(18)

откуда

\Delta I=\frac{k_3}{2L}\Delta(t^2),\qquad(19)

I=\frac{k_3}{2L}t^2.\qquad(20)

На временном интервале 1,0–2,0 мс $U(t)=0$ .

Закон Ома для полной цепи приобретает вид:

L\frac{\Delta I}{\Delta t}=0,\qquad(21)

откуда $\Delta I=0$ , следовательно

I(t)=\mathrm{const}.\qquad(22)

Сила тока на указанном временном интервале остаётся постоянной и имеет значение, как и в момент времени 1,0 мс. Обозначим $t_1=1{,}0\,\text{мс}$ , тогда

I(t)=I(t_1)=\frac{k_3}{2L}t_1^2=\frac{4{,}0\cdot10^3\,\text В/\text c}{2\cdot1{,}0\cdot10^{-3}\,\text{Гн}}\cdot1{,}0\cdot10^{-6}\,\text c^2=2{,}0\,\text А.

2.2 График зависимости силы тока от времени $I(t)$ на временном интервале 0,0–5,0 мс представлен на рисунке 11.

Рисунок 11.

Часть 3.

3.1 Средняя тепловая мощность будет определяться зависимостью модуля напряжения и силы тока от времени. Построим графики данных зависимостей (см. рис. 12, 13).

Рисунок 12. Зависимость модуля напряжения от времени

Рисунок 13. Зависимость модуля силы тока от времени

«Произведение» зависимостей на рисунках 12 и 13 даст нам зависимость мощности, выделяющейся на резисторе, от времени. Несложно догадаться, что зависимость $P(t)$ будет «состоять» из симметричных кусочков парабол (рис. 14) с максимальной точкой $P_0=U_0I_0$ .

Средняя тепловая мощность за длительный промежуток времени будет равна средней тепловой мощности за период колебаний модуля силы тока и напряжения.

Так как на временном интервале, равном периоду колебаний модуля силы тока и напряжения, графики данных величин симметричны относительно прямой, проходящей через точку максимума и перпендикулярной оси времени, то средняя тепловая мощность за первую половину периода $t_0$ будет равна средней тепловой мощности за вторую половину периода и равна средней тепловой мощности за период. Таким образом, достаточно определить среднюю тепловую мощность за первую половину периода $t_0$ колебаний модуля силы тока и напряжения.

Определим мгновенное значение тепловой мощности на временном интервале $[0,t_0]$ .

P(t)=U(t)\cdot I(t),\qquad(23)

где

U(t)=\frac{U_0}{t_0}t,\qquad(24)

I(t)=\frac{I_0}{t_0}t.\qquad(25)

Подставляя (24) в (25) получим:

P(t)=\frac{U_0I_0}{t_0^2}t^2.\qquad(26)

С другой стороны, мгновенную мощность можно определить как

P(t)=\frac{\Delta Q}{\Delta t}.\qquad(27)

Приравнивая (26) и (27) и выполняя преобразования, получим:

\Delta Q=\frac{U_0I_0}{t_0^2}t^2\Delta t,\qquad(28)

откуда

Q(t)=\frac{U_0I_0}{3t_0^2}t^3.\qquad(29)

Теплота, выделяемая за половину периода колебаний модуля силы тока и напряжения

Q(t_0)=\frac{U_0I_0t_0}{3}.\qquad(30)

Средняя тепловая мощность, выделяемая на резисторе $R_0$ :

\langle P\rangle=\frac{Q(t_0)}{t_0}=\frac{U_0I_0}{3},\qquad(31)

\langle P\rangle=\frac{I_0^2R_0}{3},\qquad(32)

\langle P\rangle=\frac{U_0^2}{3R_0}.\qquad(33)

3.2 Среднюю тепловую мощность, выделяемую на резисторе $R_0$ , через действующие значения силы тока и напряжения можно определить как:

\langle P\rangle=I_\text{д}^2R_0,\qquad(34)

\langle P\rangle=\frac{U_\text{д}^2}{R_0}.\qquad(35)

Приравнивая (32) и (34), (33) и (35) получим:

I_\text{д}=\frac{I_0}{\sqrt3},\qquad(36)

U_\text{д}=\frac{U_0}{\sqrt3}.\qquad(37)

Часть 4.

4.1 Изобразим эквивалентные схемы заданной электрической цепи для положительной и отрицательной части периода (рис. 15 и 16)

Рисунок 15. Эквивалентная схема электрической цепи для положительной части периода

Рисунок 16. Эквивалентная схема электрической цепи для отрицательной части периода

Зависимости силы тока от времени $I_3(t)$ на резисторе $R_3$ на положительной части периода

I_3(t)=\frac{U_{AB}(t)}{R_3}.\qquad(38)

Где

R_{AB}=\frac43\,\text{Ом},\qquad(39)

U_{AB}(t)=\frac{2U(t)}{5}.\qquad(40)

I_3(t)=\frac{U(t)}{5}.\qquad(41)

Для второго интервала получим

R_{BE}=\frac{R_3}{2}=1{,}0\,\text{Ом},\qquad U_{BE}(t)=\frac{U(t)}5.

График зависимости силы тока от времени $I_3(t)$ на резисторе $R_3$ на временном интервале в два периода представлен на рисунке 17.

Рисунок 17.

4.2 Для определения количества теплоты построим графики зависимостей модуля напряжения и силы тока на резисторе $R_3$ от времени (рис. 18 и 19).

Рисунок 18. Зависимость модуля напряжения от времени

Рисунок 19. Зависимость модуля силы тока от времени

Обозначим среднее значение тепловой мощности выделяющейся на положительной части периода $\langle P\rangle_1$ , на отрицательной части периода — $\langle P\rangle_2$ .

Обозначим максимальные значения модулей напряжения и силы тока на положительной части периода $U_{01}$ и $I_{01}$ , на отрицательной части периода — $U_{02}$ и $I_{02}$ . Из графиков (рис. 8 и 16) следует, что период колебаний силы тока и напряжения одинаков и составляет 3,0 мс. Длительность положительной части периода равна 2,0 мс, отрицательной 1,0 мс.

Тогда

Q=Q_1+Q_2,\qquad(42)

Q=\langle P\rangle_1\cdot\frac23\Delta t+\langle P\rangle_2\frac13\Delta t.\qquad(43)

Применяя равенство (31) получим:

\langle P\rangle_1=\frac{U_{01}I_{01}}3,\qquad(44)

\langle P\rangle_2=\frac{U_{02}I_{02}}3.\qquad(45)

Подставляя (44) и (45) в (43) получим:

Q=\frac{2U_{01}I_{01}}9\Delta t+\frac{U_{02}I_{02}}9\Delta t=(2U_{01}I_{01}+U_{02}I_{02})\frac{\Delta t}9.\qquad(46)

По графикам (рис. 18 и 19) определяем:

U_{01}=4{,}0\,\text В;\quad I_{01}=4{,}0\,\text А;\quad U_{02}=2{,}0\,\text В;\quad I_{02}=2{,}0\,\text А.

Подставляя эти значения в (45) получим:

Q=(2\cdot4{,}0\,\text В\cdot4{,}0\,\text А+2{,}0\,\text В\cdot2{,}0\,\text А)\frac{6{,}0\,\text{мс}}9=24\,\text{мДж}.\qquad(47)

Оригинал в Архива: 2017_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2017_theoretical_solutions.pdf