Съдържание

Условие Решение

BelPhO 2019, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-2. Задание 2. Оборотный маятник

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2019

Республиканская физическая олимпиада · Заключительный этап · Экспериментальный тур · 2019

Обложка

Республиканская физическая олимпиада
2019
Заключительный этап
Экспериментальный тур

Витебск
2019

Условие

Задание 2. Оборотный маятник

Ускорение свободного падения считать равным $g=9{,}8\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$ .

Приборы и оборудование: оборотный маятник, штатив, линейка, секундомер.

Полная исходная схема двух положений маятника с осями O1/O2, координатами, грузами и расстояниями.

Оборонный маятник (маятник Бесселя) представляет собой тонкий стержень, на котором закреплены две оси $O_1$ и $O_2$ и два подвижных груза (металлические шайбы), которые можно перемещать по стержню. Маятник можно подвешивать в лапке штатива, так чтобы он свободно колебался на оси повеса в прямом (1) и перевернутом (2) положениях.

Оси должны быть расположены симметрично относительно центра стержня, расстояние между ними должно быть $b=16$ см. Положения грузов задаются координатами $x_1,x_2$ , которые отсчитываются от центра стержня.

Если пренебречь массами стержня и осей, а грузы считать материальными точками, то периоды колебаний маятника в прямом и перевернутом положении рассчитываются по формулам (их вывод не требуется)

\begin{aligned} T_1&=2\pi\sqrt{\frac1g\frac{\left(\frac b2-x_1\right)^2+\left(\frac b2-x_2\right)^2}{\left(\frac b2-x_1\right)+\left(\frac b2-x_2\right)}}:\\ T_2&=2\pi\sqrt{\frac1g\frac{\left(\frac b2+x_1\right)^2+\left(\frac b2+x_2\right)^2}{\left(\frac b2+x_1\right)+\left(\frac b2+x_2\right)}}: \end{aligned}\qquad (1)

Приведенной длиной физического маятника $l$ называется длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний.

Часть 1. Теоретическая.

1.1 Получите уравнение для множества точек $(x_1,x_2)$ , для которых приведена длина маятника в прямом положении постоянна и равна $l_1$ . На диаграмме $(x_1,x_2)$ постройте это множество точек.

1.2 Получите уравнение для множества точек $(x_1,x_2)$ , для которых приведена длина маятника в перевернутом положении постоянна и равна $l_2$ . На той же диаграмме $(x_1,x_2)$ постройте это множество точек.

1.3 Постройте на диаграмме множество точек $(x_1,x_2)$ , для которых приведенные длины маятника в прямом и перевернутом положениях постоянны одинаковы и равны $l_0$ . Укажите чему равна приведенная длина $l_0$ в этом случае.

Построения данной части выполняйте в тетради и схематически.

Часть 2. Экспериментальная.

2.1 Установите первый груз на середине стержня ( $x_1=0$ ). Измерьте зависимости периодов колебаний маятника в прямом $T_1(x_2)$ и перевернутом положениях $T_2(x_2)$ в зависимости от координаты второго груза $\left(x_2>\frac b2\right)$ . Постройте графики полученных зависимостей.

2.2 Используя полученные данные, определите значение координаты второго груза $x_2^*$ , при которой периода колебаний в прямом и перевернутом положении одинаковы. Определите период колебаний маятника $T_0$ в этом случае.

2.3 Рассчитайте значение приведенной длины маятника $l_0$ , когда периоды колебаний маятника в прямом и перевернутом положениях совпадают. Оцените погрешность найденного значения.

Часть 3. Сравнение.

3.1 Изменяя положение второго груза $x_2$ , экспериментально определите значения координаты первого груза $x_1$ при которых период колебаний маятника в прямом положении равен $T_0$ (найденному в п.2.2). При найденных значениях $(x_1,x_2)$ измерьте значения периода колебаний маятника в перевернутом положении.

3.2 Постройте диаграмму найденных экспериментально точек $(x_1,x_2)$ . Нанесите на нее рассчитанную в п. 1.3 теоретическую диаграмму.

3.3 Укажите возможные причины наблюдаемых различий.

Решение

Задание 11 - 2. Оборотный маятник

Часть 1. Теоретическая

1.1 Из приведенной в условии формулы для периода колебаний, следует, что приведенная длина будет постоянной при выполнении условия

\frac{\left(\frac b2-x_1\right)^2+\left(\frac b2-x_2\right)^2}{\left(\frac b2-x_1\right)+\left(\frac b2-x_2\right)}=l_1\qquad (1)

Данное выражение можно преобразовать к более простому и наглядному виду

\begin{aligned} &\left(\frac b2-x_1\right)^2+\left(\frac b2-x_2\right)^2-l_1\left(\frac b2-x_1\right)-l_1\left(\frac b2-x_2\right)=0\Rightarrow\\ &\left(\frac b2-x_1\right)^2-l_1\left(\frac b2-x_1\right)=\left(\frac b2-x_1\right)^2-2\frac{l_1}2\left(\frac b2-x_1\right)+\frac{l_1^2}4-\frac{l_1^2}4=\left(\frac b2-\frac{l_1}2-x_1\right)^2-\frac{l_1^2}4\Rightarrow\\ &\left(\frac b2-\frac{l_1}2-x_1\right)^2+\left(\frac b2-\frac{l_1}2-x_2\right)^2=\frac{l_1^2}2 \end{aligned}\qquad (2)

Эта формула задает окружность с центром $C$ с координатами $x_1=\frac b2-\frac{l_1}2$ ; $x_2=\frac b2-\frac{l_1}2$ , радиус этой окружности $R_1=\frac{l_1}{\sqrt2}$ . Легко заметить, что при любых значениях приведенной длины $l_1$ окружность проходит через точку $A_1$ с координатами $x_1=\frac b2$ ; $x_2=\frac b2$ . Эта точка есть вершина квадрата со стороной равной расстоянию между осями $b$ , центр этого квадрата находится в начале координат.

Исходная диаграмма приведенной длины с окружностями, квадратом, центром C, A1/A2 и всеми размерами.

1.2 Для перевернутого положения преобразования выполняются аналогично (можно просто изменить знаки перед параметрами $x_1$ и $x_2$ ). Уравнение геометрического места точек в данном случае имеет вид

\left(\frac b2-\frac{l_1}2+x_1\right)^2+\left(\frac b2-\frac{l_1}2+x_2\right)^2=\frac{l_2^2}2\qquad (3)

Это есть окружность, проходящая через противоположную вершину квадрата $A_2$ .

1.3 Для того, чтобы периоды колебаний были одинаковы при обоих положениях маятника необходимо, чтобы построенные окружности совпадали. Т.е. окружность должна быть описана вокруг построенного квадрата. Уравнение этой окружности

x_1^2+x_2^2=\frac{b^2}2.\qquad (4)

Соответствующая ей приведенная длина оказывается равной расстоянию между осями $l_0=b$ .

Часть 2. Экспериментальная.

2.1 Результаты измерений зависимости периодов колебаний в прямом ( $T_1$ ) и перевернутом положениях ( $T_2$ ) от координаты $x_2$ приведены в Таблице 1, по данным которой построен график исследованной зависимости

Таблица 1.

$X_2$ , мм	Времена 10 колебаний: $t_1$ , с	Времена 10 колебаний: $t_1$ , с	Времена 10 колебаний: $t_2$ , с	Времена 10 колебаний: $t_2$ , с	$T_1$ , с	$T_2$ , с
90	7,02	6,90	7,50	7,37	0,696	0,744
95	7,35	7,28	7,71	7,64	0,750	0,768
100	7,94	7,85	7,78	7,88	0,790	0,783
105	8,38	8,35	7,86	7,89	0,837	0,788
110	9,06	8,96	7,98	7,91	0,901	0,795
115	9,65	9,74	8,00	8,08	0,970	0,804
120	10,63	10,69	8,21	8,20	1,066	0,821
125	12,17	12,09	8,34	8,31	1,213	0,833
130	13,59	13,54	8,36	8,39	1,357	0,838

Полный исходный график периодов T1/T2 от координаты X2, все точки, обе кривые, шкалы и заголовок.

2.2 Для более точного определения значений координаты, когда периоды совпадают и значения этого периода можно провести линейную интерполяцию зависимостей в области пересечения.

Полный исходный график линейной интерполяции обоих периодов в области пересечения.

Из этого рисунка следует, что

x_2^*=99\text{мм};

T_0=0{,}779\text{с}

2.3 Приведенная длина маятника в этом случае оказывается равной

l=\frac{T_0^2g}{4\pi^2}=152\text{мм},

Что примерно равно расстоянию между осями маятника. Этот результат есть первое подтверждение построенной теории.

Часть 3. Сравнение.

Для выполнения этой части задачи удобнее построить график теоретический, а затем с его помощью искать нужные положения грузов. Важно отметить, что для каждого значения координаты $x_2$ существует два симметричных относительно центра маятника положения $\pm x_1$ , при которых периоды колебаний равны $T_0$ . Измерения показывают, что экспериментальные точки лежат достаточно близко к построенной окружности.

Полный исходный график постоянства периода: окружность, четыре экспериментальные точки, квадрат, все шкалы и подписи.

Оригинал в Архива: 2019_experimental_problems.pdf · официални решения: 2019_experimental_solutions.pdf