Съдържание

Условие Часть 1. Скорость звука в воздухе.Часть 2. Распространение звука в неоднородно нагретой атмосфере.Часть 3. Не кричите против ветра!Решение

BelPhO 2019, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 11-3. 11 класс — 3. Преломление… звука

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2019

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полностью получены и прочитаны 60 оригинальных страниц: 24 страницы условий и 36 страниц соответствующего ключа заключительного этапа 2019 года. Девять напечатанных родительских заданий содержат 15 целых задач и 72 исходных запроса. Разминка 9 класса прямо названа четырьмя независимыми задачами, разминка 10 класса — тремя; их исходный общий контекст сохранен. Разминка 11 класса прямо названа двумя почти не связанными задачами; обе сохранены отдельно с общим исходным контекстом. Ссылка второго ключа на результат предыдущей задачи сохранена буквально. Все связанные задания сохранены целиком, с исходными частями и продолжениями ключей. Все напечатанные пустые бланки, графики, таблицы, схемы, альтернативные методы и дополнения для скептиков получены. Баллы, время и отдельная схема оценивания отсутствуют в полученных оригиналах. Экспериментальные оригиналы относятся к отдельно опубликованному туру.

В исходном ключе полосы сохранены t<v₀/(µg) в обеих ветвях (10), отсутствие +d во второй ветви (13) и tan α=v₀/u в (16). В ключе напряжений повторяется x=0 для обоих граничных потенциалов и номер (2), сопротивление напечатано с множителем S; расход (11) q=S₁v₁=2S₀v₁√[(2/3)(P₀−P₁)/ρ] противоречит указанным площадям и размерности. В ключе короткого толчка сохранены τ² в (9), повтор 1.2 и (20), ссылка на (10) как на уравнение колебаний, U вместо U₀. Вопрос 2.7 просит максимальное смещение в процессе движения, но ключ отвечает смещением к концу действия поля; недостающий ответ не дописан. В ключе насоса сохранено название третьего этапа для изменения давления, хотя диаграмма показывает участок 2–3.

В ключе ФЭУ сохранены слова «меньше длительности импульса», обратная η в интервале фотонов и интенсивность, пропорциональная η, несмотря на исходное описание квантового выхода и неперекрывающихся импульсов. Сохранена ссылка на условие (24), d вместо D и отличающаяся нумерация ответов 2.3/2.4/2.5. У отдельного неравенства на K30 знаменатель действительно пустой; он оставлен пустым и показан оригинальным изображением. Следующая формула (26) явно печатает τ/2. В условии звука 2.3 сохранено z=f(z); в ключе — повтор (12)/(35), 0,49·10⁻³ м в (27), отсутствие c в квадратичных коэффициентах (36)/(37) и последний номер 3.5 вместо 3.4. Это исходные научные и редакционные разночтения, а не предложенные исправления.

Оригинальная обложка

Республиканская физическая олимпиада 2019. Заключительный этап. Теоретический тур. Витебск 2019.

Условие

Так как и звук, и свет являются волнами (конечно, разной природы), то законы распространения звука и света аналогичны. Например, в однородных средах и свет, и звук распространяются прямолинейно; преломление световых и звуковых лучей подчиняется закону Снеллиуса и т.д.

Часть 1. Скорость звука в воздухе.

Скорость звука в газе (молярная масса которого равна $M$ ) зависит от давления $P$ и плотности газа $\rho$ по формуле, которую можно представить в виде

c=AP^\alpha\rho^\beta.\qquad (1)

Здесь $A$ - безразмерный коэффициент пропорциональности.

1.1 Используя метод размерностей, определите показатели степеней $\alpha,\beta$ в этой формуле.

1.2 Найдите зависимость скорости звука в газе от абсолютной температуры $T$ . Считайте, что коэффициент $A$ в формуле (1) известен.

1.3 Пусть скорость звука при температуре $T_0$ равна $c_0$ . Произвольную температуру представим в виде $T=T_0+\Delta T$ . Получите формулу для зависимости скорости звука от величины $\Delta T$ . В этой формуле все параметры должны быть точно известны.

Часть 2. Распространение звука в неоднородно нагретой атмосфере.

Пусть температура воздуха изменяется с высотой $z$ по закону

T=T_0+\gamma z.\qquad (2)

Параметры этой зависимости считайте известными, параметр $\gamma$ может быть как положительным, так и отрицательным.

При распространении звука в описанной атмосфере звуковые лучи слегка искривляются. Пусть источник звука $S$ находится на поверхности земли, которую будем считать плоской. Совместим с этим источником начало системы координат $(x,z)$ , как показано на рисунке. Рассмотрим звуковой луч, выходящий из источника под углом $\alpha_0$ к горизонту.

Оригинальный рисунок: все исходные обозначения, линии, стрелки, шкалы, данные и подписи сохранены.

2.1 Нарисуйте схематически семейство лучей, выходящих из источника в двух случаях: если параметр $\gamma$ в формуле (2) положительный $\gamma>0$ ; если он отрицательный $\gamma<0$ .

Далее будем считать, температура воздуха у поверхности земли равна $t_0=20^\circ\text C$ (при этой температуре скорость звука равна $c_0=340\,\text{м}/\text{с}$ ) и уменьшается на $1^\circ\text C$ при подъеме на каждые 100 метров.

2.2 Получите зависимость скорости звука от высоты при заданных условиях $c(z)$ . Рассчитайте численные значения параметров в полученной формуле.

Математические подсказки. 1. При малом изменении температуры траекторию луча можно приближенно считать параболой, описываемой функцией $z(x)$ . Кроме того, рассматриваются лучи, распространяющиеся под малыми углами $\alpha$ к горизонту. В этом приближении (с точностью до малых второго порядка $\alpha^2$ ) справедливы приближенные формулы

\operatorname{tg}\alpha\approx\sin\alpha\approx\alpha,\qquad\cos\alpha\approx1-\frac{\alpha^2}{2}.\qquad (3)

2.3 Запишите в явном виде квадратичную функцию $z=f(z)$ , график которой проходит через начало координат.

2.4 Выразите ее производную $f'(x)$ как функцию $z$ .

В дальнейшем используйте полученное соотношение для описания траекторий лучей в квадратичном приближении.

2.5 Получите уравнение луча, выходящего из источника под углом $\alpha_0$ к горизонту, используя квадратичное приближение.

2.6 На каком максимальном расстоянии от источника может услышать звук человек, уши которого находятся на высоте 2,0 м над поверхностью земли? Затуханием звука в воздухе можно пренебречь.

Часть 3. Не кричите против ветра!

В данной части задачи температуру воздуха будем считать постоянной и равной $t_0=20^\circ\text C$ . Но над поверхностью земли дует постоянный ветер, скорость которого направлена горизонтально и возрастает с высотой по линейному закону

v(z)=v_0+\beta z.\qquad (4)

Где $v_0=10\,\text{м}/\text{с}$ , $\beta=5{,}0\cdot10^{-2}\,\text{с}^{-1}$ - постоянные величины. Источник звука по-прежнему находится на поверхности земли, используйте прежнюю систему координат.

При распространении звука в движущемся воздухе скорость распространения звукового волнового фронта равна сумме скоростей звука в неподвижном воздухе $c_0$ и нормальной (к волновому фронту) составляющей скорости ветра $\vec v$

c=c_0+v\cos\alpha.\qquad (5)

3.1 Нарисуйте схематически семейство звуковых лучей, распространяющихся от источника под разными углами как по ветру, так и против ветра.

3.2 Пусть звуковой луч на высоте $z$ распространяется под углом $\alpha$ к горизонту. Получите уравнение, описывающее изменение угла $\alpha$ при малом изменении высоты $\Delta z$ .

3.3 Получите функцию $z(x)$ , описывающую траекторию луча, вышедшего под углом $\alpha_0$ из источника в квадратичном приближении. Рассмотрите лучи, распространяющиеся по ветру и против ветра.

3.4 На основании вашего решения задачи, кратко сформулируйте основную причину того, что по ветру звук распространяется дальше, чем против ветра.

Решение

Часть 1. Скорость звука в воздухе.

1.1 Подставим размерности величин, входящих в формулу для скорости звука

c=AP^\alpha\rho^\beta\qquad (1)

И запишем условия совпадения размерностей:

[\text м\cdot\text с^{-1}]=\left[\frac{\text{кг}\cdot\text м}{\text с^2\cdot\text м^2}\right]^\alpha\left[\frac{\text{кг}}{\text м^3}\right]^\beta=[\text{кг}]^{\alpha+\beta}[\text м]^{-\alpha-3\beta}[\text с]^{-2\alpha}.\qquad (2)

\alpha+\beta=0,\qquad-\alpha-3\beta=1,\qquad-2\alpha=-1.\qquad (3)

Решение этой системы имеет вид

\alpha=\frac12;\qquad\beta=-\alpha=-\frac12.\qquad (4)

Следовательно, формула для скорости звука следующая:

c=A\sqrt{\frac P\rho}.\qquad (5)

1.2 Из уравнения состояния идеального газа

PV=\frac mM RT\qquad (6)

следует, что

\frac P\rho=\frac RM T.\qquad (7)

Поэтому зависимость скорости звука от температуры описывается формулой

c=A\sqrt{\frac P\rho}=A\sqrt{\frac RM T}.\qquad (8)

1.3 Подставим указанное выражение для температуры и преобразуем его

c=A\sqrt{\frac RM T}=A\sqrt{\frac RM(T_0+\Delta T)}=A\sqrt{\frac RM T_0}\sqrt{1+\frac{\Delta T}{T_0}}=c_0\sqrt{1+\frac{\Delta T}{T_0}}.\qquad (9)

Здесь $c_0=A\sqrt{(R/M)T_0}$ - скорость звука при температуре $T_0$ .

Часть 2. Распространение звука в неоднородно нагретой атмосфере.

2.1 Если температура воздуха изменяется с высотой, то соответственно изменяется и скорость звука, причем эта зависимость описывается формулой

T=T_0+\gamma z\quad\Rightarrow\quad c=c_0\sqrt{1+\frac\gamma{T_0}z}.\qquad (10)

Известный закон преломления света является следствием его волновых свойств, поэтому его можно обобщить на любые волновые процессы. Это можно доказать, например, используя принцип Гюйгенса. Изменение скорости распространения волны в оптике принято описывать, вводя показатель преломления среды. По аналогии со светом можно ввести «звуковой» показатель преломления.

При температуре $T_0$ показатель преломления будем считать равным 1, тогда зависимость показателя преломления от высоты имеет вид

n=\frac{c_0}{c}=\frac1{\sqrt{1+\frac\gamma{T_0}z}}.\qquad (11)

При заданном определении показателя преломления, закон преломления звука будет иметь вид

n\cos\alpha=\cos\alpha_0.\qquad (12)

Здесь $\alpha$ - угол между звуковым лучом и горизонтом.

Используя этот закон и выражение (11) для зависимости показателя преломления от высоты, можно указать качественное поведение звуковых лучей. Если температура воздуха возрастает с высотой ( $\gamma>0$ ), то показатель преломления убывает – в этом случае звуковые лучи, преломляясь, изгибаются вниз. Некоторые из них даже могут достичь поверхности земли (см. рис). В противном случае ( $\gamma<0$ ) – лучи изгибаются вверх. Отметим, что именно эта ситуация чаще встречается в атмосфере.

2.2 При заданных условиях зависимость скорости звука от высоты имеет вид

c=c_0\sqrt{1+\frac\gamma{T_0}z}=c_0\sqrt{1+\beta z}.\qquad (12)

Численные значения параметров в этой формуле равны

c_0=340\,\frac{\text м}{\text с}.\qquad (13)

$\gamma=\Delta T/\Delta z=-1{,}0\,\text К/(100\,\text м)=-1{,}0\cdot10^{-2}\,\text К/\text м$ , следовательно.

\beta=\frac\gamma{T_0}=-1{,}0\cdot10^{-2}\,\frac{\text К}{\text м}\cdot\frac1{293\,\text К}=-3{,}4\cdot10^{-5}\,\text м^{-1}.\qquad (14)

2.3 Уравнение параболы, проходящей через начало координат, в общем виде задается функцией

z=ax^2+bx.\qquad (15)

2.4 Производная от функции (15) равна

z'=2ax+b.\qquad (16)

В это выражение следует подставить значение $x$ , выраженное через $z$ . Для зависимости $z(x)$ надо решить уравнение

ax^2+bx-z=0.\qquad (17)

Из которого следует, что

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4az}}{2a}.\qquad (18)

Подставляя это выражение в формулу (16), получим

z'=\pm\sqrt{b^2+4az}.\qquad (19)

Два значения производной соответствуют двум ветвям параболы, т.е. при $x>0$ следует брать положительный корень, при $x<0$ - отрицательный. Таким образом, если производная от функции описывается уравнением (19), то его решение при нулевых начальных условиях есть функция (15)

2.5 Для расчета траектории луча $z(x)$ воспользуемся законом преломления

n\cos\alpha=\cos\alpha_0\qquad (20)

В котором зависимость показателя преломления от высоты задается функцией

n=\frac1{\sqrt{1+\beta z}}.\qquad (21)

Согласно определению угла $\alpha$ , его тангенс равен производной от искомой функции $z(x)$ . Значение тангенса угла найдем с помощью тригонометрических формул

\tan\alpha=\sqrt{\frac1{\cos^2\alpha}-1}=\sqrt{\frac{n^2}{\cos^2\alpha_0}-1}=\sqrt{\frac{n^2-1+(1-\cos^2\alpha_0)}{\cos^2\alpha_0}}=\sqrt{\tan^2\alpha_0+\frac{n^2-1}{\cos^2\alpha_0}}.\qquad (22)

Нам требуется найти приближенное уравнение траектории (в квадратичном приближении). Для этого достаточно подкоренное упростить с помощью приближенных формул, считая $z$ (точнее $\beta z$ ) и $\alpha$ малыми величинами и, оставляя в них только первый порядок. В этом приближении

\frac{n^2-1}{\cos^2\alpha_0}\approx\frac1{1+\beta z}-1\approx(1-\beta z)-1=-\beta z.\qquad (23)

Тогда уравнение для траектории луча приобретает вид

z'=\sqrt{\alpha_0^2-\beta z},\qquad (24)

который совпадает с уравнением (19). Поэтому решение этого уравнения задается функцией

z=-\frac\beta4x^2+\alpha_0x.\qquad (25)

Так как параметр $\beta<0$ , то ветви параболы оказываются направленными вверх – звук «уходит» ввысь!

2.6 Звуковые лучи, выходящие из источника под разными углами $\alpha_0$ являются параболами с одним коэффициентом при $x^2$ , поэтому самая «нижняя» парабола есть луч вышедший горизонтально ( $\alpha_0=0$ ). Поэтому для определения расстояния, на котором луч проходит на высоте $h$ необходимо решить уравнение

h=-\frac\beta4x^2,\qquad (26)

из которого находим

x=\sqrt{-\frac{4h}{\beta}}=\sqrt{\frac{4\cdot2{,}0\,\text м}{3{,}4\cdot10^{-5}\,\text м^{-1}}}=0{,}49\cdot10^{-3}\,\text м.\qquad (27)

Заметим, что на больших расстояниях не будет слышен звук даже от мощного источника (например, взрыва), потому что звуковые волны уходят вверх. Дифракцией звуковых волн в данной задаче пренебрегаем.

Часть 3. Не кричите против ветра!

3.1 При наличии ветра скорость распространения звука зависит от направления (можно сказать, что среда является анизотропной). Поэтому закон преломления в форме (12) применять нельзя. В таком случае оказывается удобным рассматривать изменение волновых поверхностей (фронтов) – поверхностей, которые звуковые лучи пересекаю нормально.

Рассмотрим участок волнового фронта $AB$ , распространяющегося приблизительно по направлению ветра. Так как скорость ветра возрастает с высотой, то верхняя часть фронта будет смещаться быстрее нижней, поэтому лучи нормальные к этому фронту будут отклоняться вниз.

При распространении звука против ветра ситуация обратная – верхняя часть фронта движется медленнее, поэтому в этом случае лучи отклоняются вверх. Аналогичная ситуация будет реализовываться и для других лучей: при движении по ветру они отклоняются вниз (прижимаются к земле), при распространении против ветра лучи отклоняются вверх.

3.2 Опишем «поворот» волнового фронта более подробно.

Рассмотрим луч, распространяющийся на высоте $z$ под углом $\alpha$ к горизонту.

Изобразим участок волнового фронта $AB$ шириной $2h$ . Согласно подсказке, сделанной в условии задачи скорость фронта равна сумме скоростей звука в неподвижном воздухе и нормальной составляющей скорости ветра, поэтому скорость смещения точек фронта равна

c'=c+v\cos\alpha.\qquad (28)

Только необходимо учесть, что разные точки фронта находятся на разной высоте, поэтому они движутся с разной скоростью. Потому, что скорость ветра зависит от высоты - $v(z)=v_0+\beta z$ . Крайние точки выбранного участка фронта смещены относительно его середины на величину $\Delta z=h\cos\alpha$ . Поэтому скорости ветра в этих точках равны

v_\pm=v_0\pm\beta h\cos\alpha,\qquad (29)

где $v_0$ - скорость ветра на высоте $z$ . За малый промежуток времени $\Delta t$ смещения крайних точек задаются выражениями

\Delta S_\pm=(c+v_\pm\cos\alpha)\Delta t.\qquad (30)

Из рисунка следует, что различие скоростей движения этих точек приведет к повороту фронта на угол

\begin{aligned}\Delta\alpha&=-\frac{(c+v_+\cos\alpha)\Delta t-(c+v_-\cos\alpha)\Delta t}{2h}=-\frac{(v_+-v_-)\cos\alpha\Delta t}{2h}\\&=-\frac{2\beta h\cos^2\alpha\Delta t}{2h}=-\beta\cos^2\alpha\Delta t.\end{aligned}\qquad (31)

За тот же промежуток времени центр выбранного участка сместится по высоте на величину

\Delta z=(c+v_0\cos\alpha)\sin\alpha\cdot\Delta t\approx c\sin\alpha\cdot\Delta t.\qquad (32)

Здесь учтено, что $v\ll c$

Следовательно, уравнение, описывающее изменение угла $\alpha$ имеет вид

\frac{\Delta\alpha}{\Delta z}=-\frac{\beta\cos^2\alpha}{c\sin\alpha}.\qquad (33)

3.3 В рамках использованного приближения уравнение (33) преобразуется к виду

\frac{\Delta\alpha}{\Delta z}=-\frac{\beta\cos^2\alpha}{c\sin\alpha}\approx-\frac{\beta}{c\cdot\alpha}.\qquad (34)

Из которого не сложно найти зависимость $\alpha(z)$ с учетом начальных условий:

\alpha\Delta\alpha=-\frac\beta c\Delta z\quad\Rightarrow\quad\Delta\left(\frac{\alpha^2}{2}\right)=-\frac\beta c\Delta z\quad\Rightarrow\quad\frac{\alpha^2}{2}-\frac{\alpha_0^2}{2}=-\frac\beta c z.\qquad (35)

Окончательно получаем

\alpha=\sqrt{\alpha_0^2-\frac{2\beta}{c}z}.\qquad (35)

Для скептиков, сомневающихся в мощи приближенных методов. Уравнение (33) может быть решено точно

\frac{d\alpha}{dz}=-\frac{\beta\cos^2\alpha}{c\sin\alpha}\quad\Rightarrow\quad\frac{\sin\alpha}{\cos^2\alpha}d\alpha=-\frac\beta c dz\quad\Rightarrow\quad\int_{\alpha_0}^{\alpha}\frac{\sin\alpha}{\cos^2\alpha}d\alpha=-\frac\beta c z.

Этот интеграл выражается через элементарные функции

\int_{\alpha_0}^{\alpha}\frac{\sin\alpha}{\cos^2\alpha}d\alpha=-\int_{\alpha_0}^{\alpha}\frac{d(\cos\alpha)}{\cos^2\alpha}=\left.\frac1{\cos\alpha}\right|_{\alpha_0}^{\alpha}=\frac1{\cos\alpha}-\frac1{\cos\alpha_0}.

Далее необходимо выразить в явном виде $\cos\alpha$ , провести тригонометрические преобразования типа (22) и … получить уравнение (35)!

Как обычно – не понимаешь физики – сиди и интегрируй!

Вернемся, однако, к уравнению (35). Так как при малых углах $\alpha$ , угол равен производной $z'(x)$ , то это уравнение совпадает с уравнением (24), поэтому его решением является функция

z=-\frac\beta2x^2+\alpha_0x.\qquad (36)

Таким образом, при распространении звука по ветру лучи представляют собой параболы, ветви которых направлены к земле.

При распространении звука против ветра необходимо поменять знак в уравнении (33), соответственно поменяется знак и решении, т.е. в этом случае лучи будут описываться функциями

z=+\frac\beta2x^2+\alpha_0x.\qquad (37)

Отметим, что в этом случае $x<0$ , но и $\alpha_0<0$ .

Полученные результаты корректно описывают ход лучей, построенных в результате качественного анализа.

3.5 Итак, причиной того, что звук лучше распространяется по ветру является преломление звуковых лучей, в этом случае они «прижимаются» к земле и являются слышимыми. В противоположном направлении лучи уходят вверх и минуют уши слушателей. Также существенно, что, как правило, скорость ветра возрастает с высотой (вблизи поверхности скорость ветра меньше из-за влияния вязкого трения о поверхность земли).

Изменение скорости распространения звука по и против ветра никакой роли не играет: во-первых, скорость ветра мала по сравнению со скоростью звука; во-вторых, не принципиально услышите ли вы раньше или позже на несколько миллисекунд!

Оригинал в Архива: 2019_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2019_theoretical_solutions.pdf