BelPhO 2020, Областен етап, 9–11 клас — Задача 9-1. · «Струя из бутылки»

Часть 1. Закон движения уровня воды в бутылке.

1.1 При вытекании уровень воды в бутылке изменялся от 10 до 2 см, проводились измерения моментов времени, когда уровень воды изменялся на 1 см. Результаты измерений приведены в Таблице 1: $h$ — высота уровня воды над отверстием, $t$ — время от начала выливания до момента, когда уровень воды равнялся $h$.

Таблица 1.

График зависимости высоты уровня воды от времени показан на рисунке.

1.2 Если приведенная формула правильно описывает зависимость $z(t)$, то зависимость корня из высоты от времени должна быть линейной

На следующем рисунке показана эта линеаризованная зависимость.

Как следует из графика, полученная зависимость действительно является линейной. Что подтверждает применимость формулы (1). Незначительно от линейной зависимости отклоняется только последняя точка.

1.3 Из вида функции $z=\frac a2(t-\tau)^2$ следует, что движение уровня воды является равноускоренным. Тогда параметр $a$ является ускорением, $\tau$ — полное время вытекания.

По графику линеаризованной зависимости можно определить (например, графически) коэффициенты зависимости $\sqrt z=kt+b$:

Коэффициент наклона $k=-8{,}0\cdot10^{-3}\,\frac{\text{см}^{0{,}5}}{\text{с}}$;

Величина сдвига $b=3{,}1\,\text{см}^{0{,}5}$.

По этим данным можно найти требуемые физические параметры закона движения:

• время вытекания $\tau=-\frac bk\approx390\,\text{с}$.
• ускорение $a=2k^2\approx1{,}3\cdot10^{-4}\,\frac{\text{см}}{\text{с}^2}$.

Часть 2. Измерение длины струи.

2.1 Измерения длины струи проводились на высоте 2,5 см ниже отверстия, высота уровня воды в бутылке изменялась от 7 до 4 см.

2.2 Результаты измерения зависимости длины струи от времени приведены в Таблице 2. Измерения проводились по прежней методике: засекались в памяти этапов времена, когда длина струи уменьшалась на 0,5 см. График зависимости показан на рисунке.

Таблица 2.

2.3 Полученные данные свидетельствуют, что зависимость длины струи от времени линейна и может быть описана функцией

Параметры этой зависимости могут быть определены по графику

Начальная длина струи $l_0=9{,}8\,\text{см}$;

Скорость изменения длины $V=3{,}3\cdot10^{-2}\,\frac{\text{см}}{\text{с}}$.

2.4 Линейная зависимость длины струи от времени легко объяснима:

• высота падения струи постоянная, поэтому время движения постоянно;
• поэтому длина струи пропорциональна начальной скорости струи;
• в соответствии с формулой Торричелли начальная скорость пропорциональна корню из высоты;
• как показано в первой части этой задачи корень из высоты линейно зависит от времени,

Поэтому и длина струи линейно убывает со временем.

Примечание читателя к источнику

В ключе формула (1) печатает положительный множитель перед $(t-\tau)$, хотя график и найденный $k$ убывают. Знак и все исходные данные сохранены буквально. Источник использует $z$ и $h$ для уровня воды, $l$ и $L$ для длины струи.