Съдържание

Условие Часть 1. Шкала Фаренгейта.Часть 2. В каких единицах измерял работу Дж. Джоуль?Часть 3. Измерение энергии в рублях.Решение

BelPhO 2020, Областен етап, 9,10,11 — Задача 9-2. 9 класс — 2. Единица измерения энергии – рубль!

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2020

Третий этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены и полностью прочитаны все 22 страницы условий и 31 страница соответствующего теоретического ключа. Сохранены девять целых заданий: по три для 9, 10 и 11 классов, с 73 явно обозначенными запросами. Вводный пункт 1.5 первого задания не превращен в дополнительный запрос. Сохранены все исходные разделы, методы и альтернативные расчеты, числовые таблицы, сноски, графики и рисунки. Полностью получены таблица измерений и две сетки к задаче 9-3, а также пустой атмосферный бланк к задаче 11-2. Последний повернут для удобства чтения без изменения исходных данных. Время, баллы и отдельная шкала оценивания в оригиналах не напечатаны. Дополнительных теоретических приложений в исходной папке нет; экспериментальные оригиналы принадлежат отдельному туру.

Сохранены исходные научные и редакционные несогласованности. В задаче 9-1 первый запрос напечатан 10.3, тогда как ответ ключа обозначен 1.1. В задаче 9-2 пункт 1.1 дважды называет перевод из Фаренгейта в Цельсий; пункт 1.2 просит температуру в Кельвинах, но ключ дает только 97,9°F. Ответ в Кельвинах не дописан. Для опыта Джоуля условие содержит 772,7 футо-фунта, текст ключа — 838, а его формула — 773; все варианты сохранены. Разные задания используют свои исходные значения g. Ключ Торричелли ссылается на формулу 6 вместо 5 и утверждает, что время в η раз меньше, хотя формула содержит 1/η. В ключе к цепочке брусков третий этап таблицы повторяет F₁/x₁ в столбцах F₂/x₂; уравнение движения среднего бруска не содержит F₂, а удлинение первой пружины обозначено x₂. В ключе к газу повторен номер формулы 13.

В гравитационном ключе разложение (3) имеет степень +2; формула (7) сохраняет h=Rη/2 после отрицательного определения η. Формулы сил (11)/(12) печатают r²/R², тогда как исходное ускорение содержит R²/r². Орбитальная формула (21) теряет множитель 1/2 при подстановке; напечатанный конечный коэффициент 2 и полная сноска сохранены. Ключ электростатической пушки меняет знак между производной и силой и заканчивается силой: итоговая скорость незаряженного шарика, запрошенная в 2.2, не напечатана и не добавлена. В ключе шарльера формула (16) не содержит V по сравнению с (15), исходный график повторяет отметку 0,6; в части о монгольфьере сохранено утверждение о неизменности массы воздуха, повтор номера (19) и все различные приближенные высоты/альтернативные методы. В сейсмической таблице ключа значения t² сохранены такими, как напечатаны, хотя расходятся с квадратами указанных времен. Для наклонного пласта текст задает X=Lₖ², а график использует Lₖ, единицы коэффициента и знаки расходятся; отрицательный коэффициент −2,65 и положительные ответы 17,5°/2,3 км сохранены. Остальные исходные номера, обозначения и грамматические ошибки также не исправлены.

Оригинальная общая обложка

Республиканская физическая олимпиада. 2020 год. (III этап). Теоретический тур.

Условие

Несмотря на то, что в настоящее время существует международная система единиц СИ, достаточно часто для измерения различных физических величин используются внесистемные единицы. В данной задаче вы должны продемонстрировать свое умение использовать различные единицы, переходить от одних единиц к другим, сравнивать их между собой и т.д.

При решении задачи обращайте внимание на правильность округления полученных численных значений.

Часть 1. Шкала Фаренгейта.

В США до настоящего времени для измерения температуры используется шкала Фаренгейта, предложенная еще в 1724 году. С привычной для нас шкалой Цельсия шкала Фаренгейта связана линейной зависимостью и следующими точными соотношениями:

нулю градусов Цельсия ( $t^{\circ\mathrm C}=0{,}0^\circ$ ) соответствует 32 градуса Фаренгейта ( $t^{\circ\mathrm F}$ );
ста градусам Цельсия ( $t^{\circ\mathrm C}=100^\circ$ ) соответствуют 212 градусов Фаренгейта.

1.1 Получите точные формулы, позволяющие переводить значения температуры в градусах Фаренгейта в градусы Цельсия и, наоборот, из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия.

1.2 Чему равна нормальная температура человеческого тела ( $36{,}6^\circ\mathrm C$ ) в шкале Кельвина?

1.3 Чему равны значения температур $0{,}0^\circ\mathrm F$ и $100^\circ\mathrm F$ в градусах Цельсия.

Часть 2. В каких единицах измерял работу Дж. Джоуль?

Вы знаете, что количество теплоты и механическая работа могут измеряться в единицах энергии, потому что они являются двумя способами изменения энергии. Однако, до середины 19 века глубокая связь между теплотой и работой не была известна. Поэтому для измерения количества теплоты была введена особая единица — калория, которая определялась, как количество теплоты, которое требуется для нагревания 1 грамма воды на 1 градус Цельсия.

В 1847–1850 года английский ученый Джеймс Прескотт Джоуль провел серию точнейших экспериментов по измерению, так называемого, механического эквивалента теплоты. Он установил количественное соотношение между единицей теплоты (калорией) и единицей механической работы. В качестве единицы работы Дж. П. Джоуль использовал «футо-фунт» — работу, которую необходимо совершить, чтобы поднять один фунт на высоту в один фут.

Справка:

1 английский фут — единица длины, равная 0,3048 м;

1 английский фунт — единица массы, равная 453,6 г;

Ускорение свободного падения считать равным $g=9{,}811\,\mathrm{\text{м}/\text{с}^2}$ .

2.1 Чему равна работа в 1 футо-фунт в Джоулях?

По результатам своих измерений Дж. Джоуль сделал основной вывод (считайте числа приведенные здесь точными):

Количество теплоты, которое в состоянии нагреть 1 фунт воды на 1 градус по Фаренгейту, равно и может быть превращено в механическую энергию, которая в состоянии поднять 772,7 фунта на высоту в 1 фут.

2.2 Определите по данным Дж. Джоуля, чему равна 1 калория в Джоулях.

Часть 3. Измерение энергии в рублях.

В данной части численные данные округляйте до двух значащих цифр.

В Республике Беларусь электроэнергию принято рассчитывать в киловатт-часах (кВт-час), а тепловую энергию в Гигакалориях (Гкал, $1\,\mathrm{\text{Гкал}}=10^9\,\mathrm{\text{кал}}$ ). С 1 июня 2019 года стоимость 1 кВт-час электроэнергии равна 15 копеек, а стоимость 1 Гкал — 18,5 рублей.

3.1 Рассчитайте, чему равна энергия в 1 кВт-час в джоулях. Сколько стоит 1 Дж по тарифам за электроэнергию?

3.2 Рассчитайте, чему равна энергия в 1 Гкал в джоулях. Сколько стоит 1 Дж по тарифам за тепловую энергию?

3.3 Массу какого груза надо поднять на высоту 10 м (примерно третий этаж), чтобы совершить работу в 1 кВт-час (и заработать 15 копеек)?

3.4 Согласно инструкции поставщики тепловой энергии для расчета потребленной тепловой энергии применяют формулу

Q=AV\Delta t^\circ\qquad(1)

Где $Q$ — количество потребленной тепловой энергии в Гкал, $V$ — объем использованной горячей воды в кубических метрах (м³), $\Delta t^\circ$ — разность температур, на которую нагревают воду, $A$ — численный коэффициент. Рассчитайте численное значение этого коэффициента.

3.5 Рассчитайте стоимость теплоты, необходимой для приема горячей ванной. Считайте, что объем ванной равен 200 литров, воду подогревают от $15^\circ\mathrm C$ до $40^\circ\mathrm C$ . Напоминаем: масса одного литра воды — один килограмм.

Решение

Часть 1. Шкала Фаренгейта.

1.1 Так как связь линейна, то формулы, связывающие эти шкалы, должны быть линейными. В задаче требуется получить точные формулы, поэтому коэффициенты в этих формулах должны быть точными. Заметим, что изменению температуры на 100 градусов Цельсия соответствует изменение на 180 градусов Фаренгейта, т.е.

100^\circ\mathrm C=180^\circ\mathrm F.\qquad(1)

или $1^\circ\mathrm C/(1^\circ\mathrm F)=9/5$ .

Кроме того, нули шкал сдвинуты. Так $t^{\circ\mathrm C}=0{,}0^\circ$ соответствует $32^\circ\mathrm F$ , что свидетельствует о том, что шкала Фаренгейта сдвинута на $32^\circ\mathrm F$ . Поэтому формула, связывающая шкалу Цельсия со шкалой Фаренгейта, имеет вид

t^{\circ\mathrm F}=\frac95t^{\circ\mathrm C}+32^\circ\mathrm F\qquad(2)

Для проверки полученного соотношения можно воспользоваться второй опорной точкой: рассчитаем по полученной формуле значение температуры $100^\circ\mathrm C$ по шкале Фаренгейта $\frac95\cdot100^\circ\mathrm C+32^\circ\mathrm F=212^\circ\mathrm F$ .

Из формулы (2) легко получить формулу для обратного перехода

t^{\circ\mathrm C}=\frac59(t^{\circ\mathrm F}-32^\circ\mathrm F)\qquad(3)

Отметим, что записи этих же формул, с использованием десятичных дробей, не будут точными.

1.2 Для расчета воспользуемся формулой (2):

t^{\circ\mathrm F}=\frac95\cdot36{,}6^\circ\mathrm C+32^\circ\mathrm F=97{,}9^\circ\mathrm F\qquad(4)

Так как формулы перехода являются точными, то округлять следует до разряда, соответствующего последнему разряду в исходных данных.

1.3 Для перехода используем формулу (3):

t^{\circ\mathrm C}=\frac59(0{,}0^\circ\mathrm F-32^\circ\mathrm F)=-18^\circ\mathrm C.\qquad(5)

t^{\circ\mathrm C}=\frac59(100^\circ\mathrm F-32^\circ\mathrm F)=37{,}8^\circ\mathrm C.\qquad(6)

В соответствии с исходными данными первое число округлено до двух значащих цифр, второе — до трех.

Часть 2. В каких единицах измерял работу Дж. Джоуль?

2.1 Работа при поднятии груза массы $m$ на высоту $h$ рассчитывается по формуле

A=mgh\qquad(1)

Для того, чтобы получить работу в Джоулях, необходимо в эту формулу подставить значения величин, измеренных в единицах системы СИ:

A(1\,\mathrm{\text{ф}\cdot \text{ф}})=0{,}4536\,\mathrm{\text{кг}}\cdot9{,}811\,\mathrm{\text{м}/\text{с}^2}\cdot0{,}3048\,\text{м}=1{,}356\,\mathrm{\text{Дж}}.\qquad(2)

2.2 По определению 1 калория равна количеству теплоты, которое требуется, чтобы нагреть 1 грамм воды на 1 градус Цельсия. По результатам измерений Дж. П. Джоуля на нагревание $m_0=1\,\mathrm{\text{фунт}}$ на $\Delta t=1^\circ\mathrm F$ потребовалась энергия, равная потенциальной энергии 838 футо-фунтов, поднятых на высоту в 1 фут. Следовательно, энергия в 1 калорию рассчитывается по формуле, в которой массу воды надо выразить в граммах, а разность температур в градусах Цельсия:

Q(1\,\mathrm{\text{кал}})=\frac{mgh}{m_0\Delta t(^\circ\mathrm C)}=\frac{773\cdot0{,}4536\cdot9{,}811\cdot0{,}3048}{1000\cdot0{,}4536\cdot\frac59}=4{,}159\,\mathrm{\text{Дж}/\text{кал}}.\qquad(3)

Часть 3. Измерение энергии в рублях.

3.1 При мощности в 1 Вт за 1 секунду совершается работа в 1 Дж. Поэтому $1\,\mathrm{\text{Дж}}=1\,\mathrm{\text{Вт}}\cdot1\,\text{с}$ . Тогда

1\,\mathrm{\text{кВт}\cdot \text{час}}=1000\,\mathrm{\text{Вт}}\cdot3600\,\text{с}=3{,}6\cdot10^6\,\mathrm{\text{Дж}}\ (\text{точно}).\qquad(4)

Цена (price) одного «электроджоуля» равна

\operatorname{Pr}(1\,\mathrm{\text{Дж}})=\frac{0{,}15}{3{,}6\cdot10^6}=4{,}2\cdot10^{-8}\,\mathrm{\text{руб}/\text{Дж}}.\qquad(5)

или 4,2 микрокопейки.

3.2 1 Гигакалория в джоулях равна

1\,\mathrm{\text{Гкал}}=4{,}159\cdot10^9\,\mathrm{\text{Дж}}\approx4{,}2\cdot10^9\,\mathrm{\text{Дж}}.\qquad(6)

Цена (price) одного «теплоджоуля» равна

\operatorname{Pr}(1\,\mathrm{\text{Дж}})=\frac{18{,}5}{4{,}16\cdot10^9}=4{,}5\cdot10^{-8}\,\mathrm{\text{руб}/\text{Дж}}.\qquad(5)

или 4,5 микрокопейки, что немного дороже «электроджоуля».

3.3 Из формулы для потенциальной энергии в поле тяжести земли находим

E=mgh\qquad m=\frac E{gh}=\frac{3{,}6\cdot10^6\,\mathrm{\text{Дж}}}{9{,}81\,\mathrm{\text{м}/\text{с}^2}\cdot10\,\text{м}}=3{,}6\cdot10^4\,\mathrm{\text{кг}}.\qquad(6)

Итак, чтобы заработать 15 копеек по тарифам за электроэнергию, необходимо поднять 36 тонн на высоту 10 м — и кто скажет, что цена электроэнергии высока?

3.4 Используем формулу для количества теплоты, необходимо для нагревания

Q=cm\Delta t.\qquad(7)

По определению калории теплоемкость воды равна $c=1\,\mathrm{\text{кал}/(\text{г}\cdot \text{град})}$ , или $c=1\cdot10^3\,\mathrm{\text{кал}/(\text{кг}\cdot \text{град})}$ . Масса 1 кубометра воды (т.е. плотность) равна $\rho=1{,}0\cdot10^3\,\mathrm{\text{кг}/\text{м}^3}$ . Подставим эти значения в формулу (7):

Q=cm\Delta t=\left(1\cdot10^3\,\mathrm{\text{кал}/(\text{кг}\cdot \text{град})}\right)\left(1{,}0\cdot10^3\,\mathrm{\text{кг}/\text{м}^3}\cdot V\right)\Delta t^\circ=1{,}0\cdot10^6\,\mathrm{\text{кал}/(\text{м}^3\cdot \text{град})}\,V\Delta t^\circ.\qquad(8)

Наконец, переходим к Гигакалориям:

Q=1\cdot10^6\,\mathrm{\text{кал}/(\text{м}^3\cdot \text{град})}\,V\Delta t^\circ=1{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm{\text{Гкал}/(\text{м}^3\cdot \text{град})}\,V\Delta t^\circ.\qquad(9)

Таким образом, формула расчета полученной теплоты звучит так: объем использованной воды в кубометрах умножаем на нагрев в градусах и делим на тысячу»

3.5 Используя полученную формулу, рассчитываем количество теплоты (в Гигакалориях): $Q=0{,}2\cdot25/1000=5\cdot10^{-3}\,\mathrm{\text{Гкал}}$ , и умножая на цену, получаем стоимость тепловой энергии в ванне

\operatorname{Pr}=5\cdot10^{-3}\,\mathrm{\text{Гкал}}\cdot18{,}5\,\mathrm{\text{руб}/\text{Гкал}}=0{,}093\,\mathrm{\text{руб}},

или примерно 10 копеек.

Оригинал в Архива: 3_etap_2020_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2020_theoretical_solutions.pdf