Съдържание

Условие Часть 1. Два бруска.Часть 2. Три бруска.Часть 3. Цепочка из N брусков.Решение

BelPhO 2020, Областен етап, 9,10,11 — Задача 10-1. 10 класс — 1. Бруски и пружинки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2020

Третий этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены и полностью прочитаны все 22 страницы условий и 31 страница соответствующего теоретического ключа. Сохранены девять целых заданий: по три для 9, 10 и 11 классов, с 73 явно обозначенными запросами. Вводный пункт 1.5 первого задания не превращен в дополнительный запрос. Сохранены все исходные разделы, методы и альтернативные расчеты, числовые таблицы, сноски, графики и рисунки. Полностью получены таблица измерений и две сетки к задаче 9-3, а также пустой атмосферный бланк к задаче 11-2. Последний повернут для удобства чтения без изменения исходных данных. Время, баллы и отдельная шкала оценивания в оригиналах не напечатаны. Дополнительных теоретических приложений в исходной папке нет; экспериментальные оригиналы принадлежат отдельному туру.

Сохранены исходные научные и редакционные несогласованности. В задаче 9-1 первый запрос напечатан 10.3, тогда как ответ ключа обозначен 1.1. В задаче 9-2 пункт 1.1 дважды называет перевод из Фаренгейта в Цельсий; пункт 1.2 просит температуру в Кельвинах, но ключ дает только 97,9°F. Ответ в Кельвинах не дописан. Для опыта Джоуля условие содержит 772,7 футо-фунта, текст ключа — 838, а его формула — 773; все варианты сохранены. Разные задания используют свои исходные значения g. Ключ Торричелли ссылается на формулу 6 вместо 5 и утверждает, что время в η раз меньше, хотя формула содержит 1/η. В ключе к цепочке брусков третий этап таблицы повторяет F₁/x₁ в столбцах F₂/x₂; уравнение движения среднего бруска не содержит F₂, а удлинение первой пружины обозначено x₂. В ключе к газу повторен номер формулы 13.

В гравитационном ключе разложение (3) имеет степень +2; формула (7) сохраняет h=Rη/2 после отрицательного определения η. Формулы сил (11)/(12) печатают r²/R², тогда как исходное ускорение содержит R²/r². Орбитальная формула (21) теряет множитель 1/2 при подстановке; напечатанный конечный коэффициент 2 и полная сноска сохранены. Ключ электростатической пушки меняет знак между производной и силой и заканчивается силой: итоговая скорость незаряженного шарика, запрошенная в 2.2, не напечатана и не добавлена. В ключе шарльера формула (16) не содержит V по сравнению с (15), исходный график повторяет отметку 0,6; в части о монгольфьере сохранено утверждение о неизменности массы воздуха, повтор номера (19) и все различные приближенные высоты/альтернативные методы. В сейсмической таблице ключа значения t² сохранены такими, как напечатаны, хотя расходятся с квадратами указанных времен. Для наклонного пласта текст задает X=Lₖ², а график использует Lₖ, единицы коэффициента и знаки расходятся; отрицательный коэффициент −2,65 и положительные ответы 17,5°/2,3 км сохранены. Остальные исходные номера, обозначения и грамматические ошибки также не исправлены.

Оригинальная общая обложка

Республиканская физическая олимпиада. 2020 год. (III этап). Теоретический тур.

Условие

В данной задаче рассматривается растяжение цепочки, состоящей из одинаковых брусков и одинаковых пружинок, лежащих на горизонтальной поверхности вдоль одной прямой. Массы всех брусков равны $m$ , жесткости пружинок — $k$ , массы пружинок пренебрежимо малы, коэффициент трения брусков о поверхность — $\mu$ .

Оригинальный рисунок со всеми исходными стрелками, осями, шкалами, данными и обозначениями.

Часть 1. Два бруска.

1.1 Цепочка состоит из двух брусков. В начальный момент времени бруски покоятся, пружина не деформирована. Какую минимальную постоянно действующую горизонтальную силу $\vec F$ необходимо приложить к одному из брусков, чтобы сдвинуть с места второй.

Внимание! Далее (во всех частях задачи) будем рассматривать «квазистационарное» приближение: приложенная сила изменяется очень медленно, так, что в любой момент времени ускорением брусков можно пренебречь, следовательно, в любой момент времени сумма сил, действующих на каждый брусок равна нулю. Пока не сдвинется последний брусок!

1.2 В системе, описанной в п.1.1, прилагаемая сила медленно возрастает от нуля. При каком значении этой силы сдвинется второй брусок? Чему будет равна деформация пружины в этот момент времени?

Часть 2. Три бруска.

На горизонтальной поверхности расположена цепочка их трех брусков. Бруски покоятся, пружины не деформированы. К крайнему бруску начинают прикладывать горизонтально силу $\vec F$ , которая медленно возрастает.

В численных расчетах примите, что $\mu mg=f_0=1{,}0\,\text{Н}$ , $\mu mg/k=l_0=1{,}0\,\mathrm{\text{см}}$ .

2.1 При какой минимальной силе $F_{\min}$ сдвинутся все бруски?

2.2 Постройте график зависимости суммарного удлинения цепочки $x$ от модуля приложенной силы $F$ при ее изменении от нуля до найденного значения $F_{\min}$ . Получите формулы, описывающие каждый характерный этап движения, найдите значения в «узловых» точках.

2.3 Покажите, что энергетический баланс «сходится». Рассчитайте энергию, поступившую в цепочку, укажите и рассчитайте количественно, на что израсходована эта энергия.

2.4 Найдите установившееся (после прекращения колебаний брусков) удлинение цепочки, если приложенная сила достигла значения $2F_{\min}$ и перестала изменяться.

Часть 3. Цепочка из N брусков.

На горизонтальной поверхности из $N$ брусков. В начальный момент времени все бруски покоятся, пружины не деформированы. К крайнему бруску начинают прикладывать горизонтально силу $\vec F$ , которая медленно возрастает.

3.1 Найдите общую деформацию цепочки к моменту времени, когда сдвинется последний брусок.

3.2 Найдите установившееся (после прекращения колебаний брусков) удлинение цепочки, если приложенная сила достигла значения $2N\mu mg$ и перестала изменяться.

Решение

Часть 1. Два бруска.

1.1 Чтобы сдвинуть с места второй брусок, к нему необходимо приложить силу равную максимальной силе трения покоя, т.е.

F_2=\mu mg.\qquad(1)

Такой силой может быть только силы упругости пружинки. Следовательно, ее необходимо растянуть на величину

x=\frac{F_2}k=\frac{\mu mg}k.\qquad(2)

Очевидно, что на такую же величину необходимо сместить первый брусок. Если к бруску приложить постоянную силу (превышающую силу трения), то он начнет двигаться ускоренно, по мере растяжения пружинки ускорение будет уменьшаться. После того, как сила упругости в сумме с силой трения превысит приложенную силу, брусок будет продолжать двигаться в том же направлении (по инерции) с уменьшающейся скоростью. Когда скорость бруска станет равной нулю, смещение бруска будет максимально. Именно в это момент смещение бруска должно стать равным величине, определяемой формулой (2). Для движения первого бруска запишем уравнение закона сохранения и превращения энергия: работа постоянной силы пойдет на увеличение потенциальной энергии пружины и работу против силы трения:

Fx=\frac{kx^2}2+\mu mgx.\qquad(3)

Из этого уравнения находим (с учетом формулы (2)):

F=\frac{kx}2+\mu mg=\frac32\mu mg.\qquad(4)

Отметим, что эта сила меньше, чем суммарная сила трения, действующая на два бруска.

1.2 Все предыдущие рассуждения, касающиеся второго бруска, остаются в силе. Теперь учтем, что в используемом приближении сумма сил, действующих на первый брусок, также должна равняться нулю. Следовательно, к нему должна быть приложена сила, равная сумме сил упругости и силы трения, т. е.

F=2\mu mg.\qquad(5)

Деформация пружины в этом случае также определяется формулой (2).

Часть 2. Три бруска.

Обозначим модули сил упругости пружинок $F_1$ и $F_2$ . А деформации пружинок $x_1,x_2$ . Нумерация брусков и пружинок показана на рисунке.

2.1 Последний брусок сдвинется, если на него подействует сила упругости $F_2=\mu mg=f_0$ . Сила упругости первой пружинки в этом момент будет равна сумме сил упругости второй пружинки и силы трения, т.е. $F_1=F_2+\mu mg=2f_0$ . Приложенная сила в этот момент времени должна превысить $F_2$ также на величину силы трения, т.е. минимальная сила, необходимая для того, чтобы сдвинуть все бруски, равна

F_{\min}=F_1+\mu mg=3f_0.\qquad(6)

Этот же результат можно получить и другим, более простым способом. Рассмотрим цепочку целиком. Силы упругости являются внутренними силами для всей цепочки, поэтому они не влияют на ускорение центра масс (которое равно нулю). Поэтому сумма внешних сил также должна быть рана нулю. Поэтому прикладываемая сила должна быть равна суммарной силе трения, действующей на цепочку, т.е. $F_{\min}=3\mu mg=3f_0$ .

2.2 Рассмотрим движение по этапам. Для удобства все выкладки отразим в таблице. Величину силы выразим как $F=zf_0$ , где $z$ — безразмерный параметр.

Сила $F$	Сила $F_1$	Деформация $x_1$	Сила $F_2$	Деформация $x_2$	Суммарная деформация $x=x_1+x_2$
1 этап: все бруски поятся
$F\in[0,f_0]$	$F_1=0$	$x_1=0$	$F_2=0$	$x_2=0$	$x=0$
2 этап: сдвинулся первый брусок, второй и третий покоятся
$F\in[f_0,2f_0]$	$F_1=F-f_0=(z-1)f_0$	$x_1=(z-1)l_0$	$F_2=0$	$x_2=0$	$x=(z-1)l_0$
3 этап сдвинулся второй брусок, третий покоится
$F\in[2f_0,3f_0]$	$F_1=(z-1)f_0$	$x_1=(z-1)l_0$	$F_1=F-f_0=(z-2)f_0$	$x_1=(z-2)l_0$	$x=(2z-3)l_0$

Таким образом, искомая зависимость представляет собой ломаную линию, состоящую из прямолинейных отрезков. Значения координат в «узловых» точках (когда начинается движение очередного бруска) показаны в следующей таблице и на графике.

$z=F/f_0$	$\lambda=x/l_0$
0	0
1	0
2	1
3	3

2.3 В рассматриваемую систему (цепочку) энергия поступает благодаря работе внешней силы $F$ . Работу этой силы легко подсчитать с помощью построенного графика. Численно работа равна площади между осью $x$ (на графике вертикальна) и графиком зависимости $F(l)$ . Простой расчет дает следующее значение для работы силы:

A=f_0l_0\left(\frac{1+2}2\cdot1+\frac{2+3}2\cdot2\right)=\frac{13}2f_0l_0.\qquad(7)

Часть этой энергии пошла на увеличение потенциальной энергии пружин. Деформация первой пружины равна $2l_0$ , второй — $l_0$ . Поэтому энергия деформированных пружин равна

U=\frac k2(2l_0)^2+\frac k2(l_0)^2=\frac52f_0l_0.\qquad(8)

Часть энергии была израсходована на работу против сил трения (т.е. перешла во внутреннюю, тепловую энергию). Первый брусок сместился на расстояние $3l_0$ , второй на расстояние $l_0$ , поэтому количество выделившейся из-за трения теплоты равно

Q=3f_0l_0+f_0l_0=4f_0l_0.\qquad(9)

Таким образом, уравнение энергетического баланса

A=U+Q\qquad(10)

выполняется.

2.4 Так как внешняя сила заставила все бруски двигаться, то после прекращения колебаний все бруски будут двигаться с одинаковым ускорением равным

a=\frac{F-3\mu mg}{3m}=\frac{2\cdot3\mu mg-3\mu mg}{3m}=\mu g.\qquad(11)

Для последнего бруска уравнение второго закона Ньютона имеет вид

ma=F_2-\mu mg.\qquad(12)

Откуда следует, что $F_2=\mu mg+ma=2\mu mg$ , а удлинение второй пружины

x_2=\frac{F_2}k=\frac{2\mu mg}k=2l_0.\qquad(13)

Из второго закона Ньютона для центрального бруска

ma=F_1-\mu mg

Следует, что сила упругости первой пружины на $2f_0$ больше силы упругости второй, а ее удлинение на $2l_0$ больше второй, т.е. $x_2=4l_0$ . В итоге получаем, что суммарное удлинение цепочки в этом случае равно

x=x_1+x_2=6l_0.\qquad(14)

Часть 3. Цепочка из N брусков.

3.1 Подробное рассмотрение предыдущих частей задачи показывает, что сила упругости последней пружинки равна $f_0=\mu mg$ , а сила упругости каждой следующей возрастает на величину $f_0=\mu mg$ . Соответственно, деформация крайней равна $l_0=\mu mg/k$ , каждой следующей возрастает на величину $l_0=\mu mg/k$ . Следовательно, общая деформация цепочки вычисляется как сумма

x=l_0+2l_0+3l_0+\ldots+(N-1)l_0=\frac{N(N-1)}2l_0.\qquad(15)

3.2 Из 2 закона Ньютона (см. п. 2.3) следует, что в данном случае деформация каждой цепочки возрастает на величину $2l_0$ . Поэтому и общее удлинение будет в 2 раза больше, чем в предыдущем пункте

x=2l_0+4l_0+6l_0+\ldots+2(N-1)l_0=N(N-1)l_0.\qquad(16)

Оригинал в Архива: 3_etap_2020_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2020_theoretical_solutions.pdf