BelPhO 2021, Областен етап, 11. клас, експеримент — Задача 2. Установление вида зависимости

Описание установки.

В данной задаче исследуются малые колебания крутильного маятника. Схема маятника показана на рис. 1

Металлический стержень с резьбой 1 подвешен симметрично на двух вертикальных нитях 2. Нити располагаются вертикально на расстоянии $a$ от оси маятника. Длину нитей обозначим $L$. По стержню можно передвигать две гайки 3, расположенные симметрично на расстоянии $r$ от оси маятника. Верхние концы нити привязаны к стержню 4 (в качестве которого используется карандаш), который закрепляется горизонтально в лапке штатива (на рис. 1 не показан). К стержню снизу могут прикрепляться дополнительные грузы 5, общая масса которых равна $m$.
В работе необходимо измерять период крутильных колебаний стержня – его вращение вокруг оси маятника в горизонтальной плоскости, сама ось симметрии должна оставаться неподвижной.

Будьте аккуратны при сборке установки:

• все установка должна быть симметрична;
• нижние дополнительные груза обязательно подвешивайте к треугольному подвесу с помощью кусочка вертикальной нити, так, чтобы в процессе колебаний стержня грузы не вращались;
• При подвязывании нитей используйте петли, чтобы можно было легко их передвигать.

Период крутильных колебаний стержня является сложной и неизвестной функцией параметров установки $T = F(m, L, a, r)$, которую Вам необходимо исследовать экспериментально. Выводить теоретически эту функцию не требуется.

При экспериментальном исследовании зависимостей следует изменять только один параметр, остальные оставляя неизменными. В этом случае удается получить вид зависимости исследуемой величины (в данном случае – периода колебаний) от изменяемого параметра. Вид этой однопараметрической зависимости можно предсказать теоретически, не решая полностью задачу «в общем виде».

Именно такой подход к экспериментальным исследованиям Вы должны реализовать при выполнении данного задания.

Теоретическое введение.

При расчете периодов часто используется подход, основанный на использовании закона сохранения механической энергии:

В этом уравнении $U(\varphi)$ - потенциальная энергия системы, как функция угла поворота стержня в горизонтальной плоскости. При малых колебаниях эта функция приближенно может быть представлена в виде

где $K$ - постоянный коэффициент, зависящий от параметров системы.

$E_{\mathrm{k}}(\omega)$ - кинетическая энергия системы, зависящая от угловой скорости вращения стержня $\omega$. При малых колебаниях эта функция имеет вид

где $M$ - постоянный коэффициент, также зависящий от параметров системы.
При выполнении условий (2)-(3) период колебаний определяется по формуле

Часть 1. Основной набор параметров.

Соберите установку при следующих параметрах:
длина нитей подвеса $L_0 = 30\text{см}$;
расстояние от нитей подвеса до оси маятника $a_0 = 2{,}0\text{см}$;
гайки находятся в центре стержня $r_0 \approx 0$;
дополнительные грузы отсутствуют $m_0 = 0$;

Эти значения параметров далее будем называть «основными». Все дальнейшие измерения проводите при этих значениях, за исключение того параметра, который вы варьируете в эксперименте.

1.1 Измерьте период крутильных колебаний стержня $T_0$ при основном наборе параметров. Оцените погрешность измеренного значения периода колебаний.

В дальнейших измерениях оценка погрешностей не требуется.
В дальнейших частях задания при обработке результатов используйте отношение периода колебаний $T$, к найденному значению периода при основных параметрах $T_0$. Обозначим это отношение $z = \dfrac{T}{T_0}$

Часть 2. Зависимость периода колебаний от числа подвешенных грузов $T(n)$

2.1 Какой из коэффициентов $K$ или $M$ будет изменяться при изменении массы дополнительных грузов? Определите вид этой зависимости.

2.2 Укажите вид зависимости параметра $z$ от числа подвешенных грузов $n$.

2.3 Укажите, в каких переменных исследуемая зависимость будет линейной. Укажите (если это возможно) физический смысл параметров этой линейной зависимости.

2.4 Проведите измерения зависимости периода колебаний стержня от числа подвешенных грузов.

2.5 Представьте полученную зависимость в виде линеаризованного графика.

2.6 Рассчитайте численные значения коэффициентов линеаризованной зависимости. Определите возможные значения параметров установки, которые можно найти из данного эксперимента.

Снимите дополнительные грузы – далее они вам не понадобятся.

Часть 3. Зависимость периода колебаний маятника от положения гаек $T(r)$

3.1 Какой из коэффициентов $K$ или $M$ будет изменяться при изменении положения гаек $r$? Определите вид этой зависимости.

3.2 Укажите вид зависимости параметра $z$ от положения гаек $r$.

3.3 Укажите, в каких переменных исследуемая зависимость будет линейной.

3.4 Постройте график линеаризованной зависимости. Подтверждает ли он ваши теоретические предсказания?

Часть 4. Зависимость периода колебаний от отношения $\eta = \dfrac{L}{a}$.

Зависимость периода колебаний от отношения $\eta = \dfrac{L}{a}$ имеет вид

Выводить эту формулу не нужно.

4.1 Укажите, в каких переменных исследуемая зависимость будет линейной. Из возможных вариантов выберите тот, который позволяет определить параметр $\gamma$.

4.2 Проведите измерения зависимости периода колебаний стержня от отношения $\eta = \dfrac{L}{a}$

4.3 Представьте полученную зависимость в виде линеаризованного графика, позволяющего определите показатель степени $\gamma$.

4.4 Рассчитайте численное значение показателя степени $\gamma$.