BelPhO 2021, Заключителен етап, 9. клас — Задача 9-2. Изображения

Часть 1. Линза

1.1. Получим на экране изображение объектов, расположенных за окном кабинета (деревья, здания, и пр.). Так как расстояния от них до линзы по сравнению с фокусным расстоянием линзы можно считать бесконечно большим, то лучи, исходящие от данных предметов, можно считать параллельными и после преломления их в линзе они будут формировать изображение в фокальной плоскости. Фокусное расстояние будет равно расстоянию от линзы до экрана.

У авторов задачи $F=(9{,}8\pm0{,}5)\text{ см}$

(Если для определения фокусного расстояния учащиеся получили изображение предмета с помощью лампочки, измерили расстояния $d$ и $f$, и определили $F$, используя формулу тонкой линзы, то такое выполнение оценивается меньшим количеством баллов, так как это не прямое, а косвенное измерение!)

1.2. Значения (с учётом погрешностей), полученные учащимися на основе построения изображений, должны соответствовать результатам вычислений с использованием формулы тонкой линзы, которые приводят авторы.

В первом случае: $a_1=f_1=3{,}0F=30\text{ см}$,

во втором случае: $a_2=f_2/\cos30^\circ=4{,}3F/0{,}866=5{,}0F=50\text{ см}$.

1.3. Принципиальное отличие результатов в том, что в п. 1.2. изображение смещается дальше от оптического центра, а в эксперименте данного пункта изображение смещается ближе к оптическому центру и находится на расстоянии около 15 см от него. Объясняются данные отличия тем, что при построении изображения толщиной линзы пренебрегают и используют свойства параксиальных лучей. Эксперимент будет соответствовать модели тонкой линзы и параксиальных лучей только в том случае, когда точечный предмет располагается на главной оптической оси линзы. Если точечный предмет удалён от главной оптической оси так, что угол между лучом, исходящим от предмета и проходящим через оптический центр линзы, и главной оптической осью составляет 10° и более, то модели тонкой линзы и параксиальных лучей использовать нельзя!

1.4. и 1.5 Таблица 1. Результаты исследования зависимости $f(\alpha)$

Выполнение п. 1.4. – первая и третья колонки таблицы 1.

Для получения уравнения зависимости $f(\sin\alpha)$ определим сначала значения $\sin\alpha$ (вторая колонка таблицы 1) и построим график $f(\sin\alpha)$. Видим, что экспериментальные точки легли вблизи некоторой усредняющей прямой, поэтому уравнение $f(\sin\alpha)$ может быть представлено линейной зависимостью.

Используя метод наименьших квадратов или простую графическую обработку, получим для интервала углов от 0 до 50°:

Часть 2. Зеркало

2.1. Авторы выражают уверенность в том, что члены жюри, которые будут проверять данную задачу, без каких-либо затруднений смогут построить требуемое изображение.

2.2. Так как предмет находится в главной плоскости линзы, то расстояние от предмета до зеркала равно $l$., следовательно, расстояние от изображения, создаваемого зеркалом, до линзы равно $2l$. Изображение, создаваемое зеркалом, рассматриваем как предмет для линзы, тогда $d=2l$.

Выполняя подстановку в (1), получим:

2.3. Таблица 3. Результаты исследования зависимости $l(f)$

Выполнение п. 2.3. – первая и вторая колонки таблицы 3.

2.4. Для установления подтверждается или нет уравнение (4), вычислим значения $1/(2l)$ и $1/f$ (третья и четвёртая колонки таблицы 3) и построим график зависимости $\dfrac1f\left(\dfrac1{2l}\right)$.

Анализируя данный график, видим, что зависимость $\dfrac1f\left(\dfrac1{2l}\right)$ на интервале $l=6{,}0\div50{,}0\text{ см}$ не может быть представлена линейной функцией. Разделим исследованный интервал значений $l$ на две части.

Интервал $l=6{,}0\div10{,}0\text{ см}$. Применяя метод наименьших квадратов или простую графическую обработку, получим:

Видим, что коэффициент перед $\dfrac1{2l}$ не равен 1, следовательно, на данном интервале уравнения (3) и (4) не выполняются.

Интервал $l=11{,}0\div50{,}0\text{ см}$. Применяя метод наименьших квадратов или простую графическую обработку, получим:

Видим, что коэффициент перед $\dfrac1{2l}$ так же не равен 1, следовательно, на данном интервале уравнения (3) и (4) так же не выполняются.

Результаты данного эксперимента можно объяснить тем, что лучи, падающие на линзу после отражения от зеркала, не являются параксиальными, и модель тонкой линзы в данном случае применять нельзя, следовательно, уравнения тонкой линзы здесь так же «не работают».