Съдържание

BelPhO 2021, Заключителен етап, 9. клас — Задача 3. Систематические погрешности электрических схем

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2021

Республиканская физическая олимпиада 2021 год (Заключительный этап). Теоретический тур. 9 класс.

Внимание: Бележка към темата

Полностью прочитаны оригинальные 6 страниц условий и 10 страниц решений теоретического тура заключительного этапа 2021 года, 9 класс, вариант 2. Комплект печатно содержит три задания; в разминке отдельно напечатаны две независимые задачи 1.1 и 1.2, поэтому представлены четыре целые задачи. Сохранены все прежние пункты, три прежних адреса и шесть исходных рисунков; задачи 2 и 3 со всеми связанными частями сохранены целиком. Полностью восстановлены ключ, методы, графики и заполненный бланк. Баллы и отдельная схема оценивания не напечатаны; отдельный бланк графиков к задаче 2 не получен. Ошибки оригинала сохранены: в ключе задачи 1.1 формула (8) содержит ρ₂−ρ₃ вместо ρ₁−ρ₃ в соседних формулах; в ключе задачи 1.2 напечатано d=10 м и h≈1,1 км, тогда как в условии d=1,0 м; в решении задачи 2 повторён номер (14), в (18) отсутствует знак между m₀ и m₁ и местами μ напечатано без индекса; в решении задачи 3 повторён номер (6), в (11) напечатано I_A и слово «амперметр» там, где соседние формулы и таблица используют ток через вольтметр. Напечатанные приближённые отношения, строгие границы режимов, грамматика и «исходный Рафик» сохранены. В исходнике верхняя граница графика ускорений пересекает колонтитул; это пересечение сохранено в исходном рисунке. В ключе также буквально сохранены «при указном значении» и «в кинетическую энергия».

Титульный лист

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач! Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли. Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Пакет заданий содержит:

титульный лист (стр. 1);
условия 3 теоретических задач (стр. 2-6).

Условие

При проведении измерений вольтамперных характеристик (ВАХ – зависимость силы тока через исследуемый элемент от напряжения на нем) используют различные электрические цепи. Одной из самых популярных схем является схема, показанная на рис. 1.

Схема: источник U₀, последовательно резисторы R₁ и R₂; параллельно R₁ подключена цепь из амперметра A (сопротивление R_A) и резистора r, параллельно r — вольтметр V (сопротивление R_V). — Рис. 1

При расчетах таких цепей часто использую различные приближения (считают, что сопротивление амперметра равно нулю, сопротивление вольтметра бесконечно большим и т.д.).

Такие приближения вносят систематические погрешности в проводимые расчеты и анализ полученных экспериментальных результатов.

В данной задаче вам необходимо построить разумные оценки погрешностей, вносимых тем обстоятельством, что приборы являются не идеальными.

При расчетах рекомендуем использовать приближенную формулу, справедливую при малых $x$ :

\frac{1}{1+x} \approx 1 - x \quad (1)

Часть 1. Погрешность делителя напряжения.

На рис. 2а показана схема делителя напряжения на двух резисторах, сопротивления которых равны $R_1, R_2$ . Изменяя сопротивления этих резисторов, можно изменять напряжение $U_1$ на резисторе $R_1$ . При подключении к этому резистору исследуемой схемы с общим сопротивлением $r$ (Рис. 2б), напряжение на резисторе $R_1$ изменяется и принимает некоторое значение $\widetilde{U}_1$ . Однако, в некоторых случаях различием между $U_1$ и $\widetilde{U}_1$ пренебрегают.

Две схемы делителя напряжения: а) источник U₀ и последовательно R₁, R₂, стрелками отмечено напряжение U₁ на R₁; б) та же схема, к R₁ параллельно подключен резистор r, напряжение на R₁ обозначено Ũ₁. — Рис. 2

1.1 Рассчитайте значения напряжений $U_1$ и $\widetilde{U}_1$ .

1.2 Рассчитайте, при каком значении сопротивления исследуемой цепи $r$ относительное изменение напряжения $\varepsilon_V = \left|\dfrac{U_1 - \widetilde{U}_1}{U_1}\right|$ не превышает 1%. Получите формулу в общем виде и проведите численный расчет при $R_1 = R_2 = 10\ \text{Ом}$ .

Часть 2. Погрешность, вносимая амперметром

В цепи, показанной на рис. 3а, обозначим силу тока в цепи $I$ . При подключении амперметра сила тока в цепи изменяется и становится равной $\widetilde{I}$ .

Две схемы: а) источник U₀ и резистор r, стрелкой показан ток I; б) источник U₀, амперметр A с сопротивлением R_A и резистор r, стрелкой показан ток Ĩ. — Рис. 3

2.1 Рассчитайте, при каком значении сопротивления амперметра $R_A$ относительное изменение силы тока в цепи $\varepsilon_A = \left|\dfrac{I - \widetilde{I}}{I}\right|$ не превышает 1%. Получите формулу в общем виде и проведите численный расчет при $r = 10\ \text{Ом}$ .

Часть 3. Погрешность, вносимая вольтметром.

Для измерения напряжения используется схема, показанная на рис. 4б. При отсутствии вольтметра напряжение на резисторе $R_1$ равно $U_1$ , при подключении вольтметра с сопротивлением $R_V$ , напряжение на этом резисторе становится равным $\widetilde{U}_1$ .

Две схемы: а) источник U₀, последовательно R₁ и R₂, выводы для напряжения U₁ на R₁; б) та же схема, параллельно R₁ подключен вольтметр V с сопротивлением R_V, показывающий Ũ₁. — Рис. 4

3.1 Рассчитайте, при каком значении сопротивления исследуемой цепи $r$ относительное изменение напряжения $\varepsilon_V = \left|\dfrac{U_1 - \widetilde{U}_1}{U_1}\right|$ не превышает 1%. Получите формулу в общем виде и проведите численный расчет при $R_1 = R_2 = 10\ \text{Ом}$ .

Часть 4. Корректировка измеренной ВАХ

С помощью схемы, приведенной на рис. 1, проведено измерение зависимости силы тока, которое показывает амперметр $\widetilde{I}$ , от показаний вольтметра $\widetilde{U}$ для некоторого нелинейного элемента $r$ (его сопротивление не постоянно, а изменятся при изменении напряжения). Сопротивление вольтметра $R_V = 2{,}0\,\text{кОм}$ , сопротивление амперметра $R_A = 2{,}0\,\text{Ом}$ .

На отдельном бланке (на следующей странице) приведен график измеренной зависимости. Для вашего удобства в Таблице 1 приведены численные значения этих величин, по которым построен график.

4.1 На этом же бланке постройте скорректированный график ВАХ исследуемого элемента (зависимость силы тока через этот элемент $I$ от напряжения на этом элементе $U$ ).

На этом же листе приведите расчетные формулы, по которым Вы провели корректировку графика, необходимые расчеты можете провести в свободных графах Таблицы 1.

Не забудьте сдать этот Бланк!

Бланк к задаче 3 (Часть 4)

График «ВАХ» на миллиметровой сетке: по оси абсцисс «Напряжение U, В» от 0,0 до 6,0, по оси ординат «Сила тока, мА» от 0,0 до 14,0; точки измерений соединены плавной выпуклой кривой от (0; 0) до (5,0; 12,34). — ВАХ

Таблица 1.

$\widetilde{U}$ , В	$\widetilde{I}$ , мА
0,00	0,00
0,50	2,46
1,00	4,00
1,50	5,31
2,00	6,50
2,50	7,60
3,00	8,63
3,50	9,61
4,00	10,56
4,50	11,46
5,00	12,34

Расчетные формулы:

Решение

Задача 9-3. Систематические погрешности электрических схем

Часть 1. Погрешность делителя напряжения.

1.1 Расчет напряжений проводится с использованием закона Ома и законов последовательного и параллельного соединения проводников. Так

Полные исходные схемы делителя напряжения а) и б) с источником U0, R1,R2,r и U1/Ũ1. — Рис. 2

U_1=U_0\frac{R_1}{R_1+R_2}.\qquad (1)

Для расчета напряжения при подключении исследуемой цепи $r$ в формуле (1) сопротивление $R_1$ заменить сопротивлением $\widetilde R_1$ параллельно соединенных резистора $R_1$ и исследуемой цепи сопротивлением $r$ . При этом

\frac{1}{\widetilde R_1}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{r}.\qquad (2)

Тогда

\begin{aligned}\widetilde U_1&=U_0\frac{\widetilde R_1}{\widetilde R_1+R_2}=U_0\frac{1}{1+\frac{R_2}{\widetilde R_1}}=U_0\frac{1}{1+R_2\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{r}\right)}=U_0\frac{1}{1+\frac{R_2}{R_1}+\frac{R_2}{r}}=\\&=\frac{U_0}{1+\frac{R_2}{R_1}}\left(1+\frac{R_1R_2}{r(R_1+R_2)}\right)^{-1}\approx\frac{U_0R_1}{R_1+R_2}\left(1-\frac{R_1R_2}{r(R_1+R_2)}\right)=U_1\left(1-\frac{R_1R_2}{r(R_1+R_2)}\right).\end{aligned}\qquad (3)

При выводе учтено, что для малого изменения напряжения должно выполняться условие $r\gg R_1,R_2$ . На сколько это меньше, показывает формула (3), из которой следует, что относительное изменение напряжения равно

\varepsilon_V=\left|\frac{U_1-\widetilde U_1}{U_1}\right|=\frac{R_1R_2}{r(R_1+R_2)}.\qquad (4)

Указанное изменение напряжение не превысит указанную величину при выполнении условия

\frac{R_1R_2}{r(R_1+R_2)}<\varepsilon_V\quad\Rightarrow\quad r>\frac{R_1R_2}{\varepsilon_V(R_1+R_2)}.\qquad (5)

При $R_1=R_2=10\text{ Ом}$ и $\varepsilon_V=0{,}01$

r>500\text{ Ом}.\qquad (6)

Часть 2. Погрешность, вносимая амперметром

2.1 Силы тока в приведенных цепях рассчитываются элементарно:

Полные схемы а) и б) с идеальным источником, элементом r, амперметром RA и стрелками I/Ĩ. — Рис. 3

\begin{gathered}I=\frac{U_0}{r}\\\widetilde I=\frac{U_0}{r+R_A}\approx\frac{U_0}{r}\left(1-\frac{R_A}{r}\right).\end{gathered}\qquad (6)

Таким образом, относительное изменение силы тока при подключении амперметра равно

\varepsilon_A=\left|\frac{I-\widetilde I}{I}\right|=\frac{R_A}{r}.\qquad (7)

Указанное требование будет выполнено, при

\frac{R_A}{r}<\varepsilon_A\qquad R_A<\varepsilon_A r=0{,}10\text{ Ом}.\qquad (8)

Часть 3. Погрешность, вносимая вольтметром.

3.1 Для решения этой части задачи достаточно заметить, что рассматриваемые здесь схемы полностью эквивалентны схемам, рассмотренным в Части 1. Поэтому можно воспользоваться результатами, полученными в этой части, если сопротивление $r$ заменить на сопротивление вольтметра $R_V$ . Тогда относительное изменение напряжения не превысит 1% при выполнении условия

\frac{R_1R_2}{R_V(R_1+R_2)}<\varepsilon_V\quad\Rightarrow\quad R_V>\frac{R_1R_2}{\varepsilon_V(R_1+R_2)}=500\text{ Ом}.\qquad (9)

Часть 4. Корректировка измеренной ВАХ

Исходная общая схема с источником U0, R1,R2, амперметром RA, исследуемым элементом r и вольтметром RV. — Рис. 1

4.1 В использованной схеме показания вольтметра равны напряжению на исследуемом элементе

U=\widetilde U.\qquad (10)

Амперметр показывает сумму сил токов через исследуемый элемент и вольтметр:

\widetilde I=I+I_A.\qquad (11)

Таким образом, для корректировки полученной зависимости необходимо из показаний амперметра вычесть силу тока через амперметр, которая рассчитывается по закону Ома:

I=\widetilde I-\frac{\widetilde U}{R_V}.\qquad (12)

Необходимые расчеты и скорректированный график приведены в таблице и на бланке.

На этом графике: верхняя кривая – исходный Рафик; нижняя прямая – зависимость силы тока через вольтметр от напряжения, средняя кривая – «истинный» график вольтамперной характеристики исследуемого элемента.

Бланк к задаче 3 (Часть 4)

Заполненный график ВАХ: верхняя исходная кривая, средняя исправленная, нижняя прямая тока через вольтметр; все исходные отметки, оси, подписи и рамка.

Таблица 1.

$\widetilde U$ , В	$\widetilde I$ , мА	$I_V$ , мА	$I_r$ , мА
0,00	0,00	0,00	0,00
0,50	2,46	0,25	2,21
1,00	4,00	0,50	3,50
1,50	5,31	0,75	4,56
2,00	6,50	1,00	5,50
2,50	7,60	1,25	6,35
3,00	8,63	1,50	7,13
3,50	9,61	1,75	7,86
4,00	10,56	2,00	8,56
4,50	11,46	2,25	9,21
5,00	12,34	2,50	9,84

Расчетные формулы

Сила тока через вольтметр: $I_V=\dfrac{\widetilde U}{R_V}$ .

Сила тока через исследуемый элемент $I_r=\widetilde I-I_V$ .

Оригинал в Архива: rfo-2021-var-2-teortur-9-klass-doc.pdf · официални решения: rfo-2021-var-2-teor-tur-9-klass-reshenija.pdf