Съдържание

BelPhO 2022, Областен етап, 11. клас — Задача 11-1. Подбери зависимость!

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2022

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (3 этап). Экспериментальный тур. 11 класс.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены ошибки исходных документов: в условии 11-2 для g напечатано м/с без квадрата; ссылка на пункт 2.3 есть, хотя такой пункт отсутствует. В ключе 11-1 формула симметричной разности содержит одинаковые индексы k+1 в обоих слагаемых числителя и знаменателя, а γ напечатана со знаком минус. В ключе 11-2 масса поддона равна 0,36 г в пункте 3.1 и 0,56 г в таблице пункта 3.2. Сохранены все исходные значения, пустые ячейки и словесные опечатки; это не исправленные научные решения. Подробности пунктов 3.2.1–3.2.2 и схема подвеса в ключе не напечатаны.

Общие указания. 11 класс. Экспериментальный тур

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать рабочие страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к организаторам.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Данный комплект заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия двух заданий (5 стр.).

Решения задач. 11 класс (для жюри)

Задания экспериментального тура данной олимпиады предоставляют для участников большие возможности для самостоятельного выбора параметров установок, диапазонов исследования, методов измерений. Иными словами – проявить свои творческие способности. Кроме того, результаты измерений сильно зависят от предоставленного оборудования, которое может различаться в разных областях нашей Республики.

Поэтому, относитесь к приведенным ниже результатам, как к ориентировочным. Желательно (или даже обязательно) провести собственные измерения. Поэтому здесь приводятся только основные теоретические положения и результаты некоторых измерений, полученные авторами данных заданий. Методы обработки результатов измерений являются в большинстве своем, стандартными, поэтому подробно не описываются.

Условие

Физика – наука экспериментальная! Развитие практически любого раздела физики начинается с накопления наблюдений, качественных, а затем количественных экспериментов. Очень часто экспериментальные исследования проводятся без строгой теории – накапливаются экспериментальные данные, появляются эмпирические (на основе опыта) зависимости.
В данном задании Вам предстоит продемонстрировать свои умения в количественном описании экспериментально полученных зависимостей.
Предмет исследования – вращение воды в банке.

Оборудование: стеклянная банка 0,5 л; ложечка для размешивания, секундомер электронный с памятью этапов, деревянные зубочистки, клейкая лента.

Для измерения законов вращения воды в банке, разметьте ее: прикрепите 4 кусочка клейкой ленты на боковую поверхность банки на равном расстоянии друг от друга, на несите на них метки, тем самым Вы сможете измерять углы поворота (с точностью до четверти оборота). Углы поворота $\varphi$ следует измерять в оборотах, угловые скорости $\omega$ в «оборотах в секунду».
Для наблюдения вращения и измерения его характеристик удобно использовать зубочистку, которую следует аккуратно опускать в центр банки, после раскручивания воды. Вода должна заполнять ¾ банки.
Для описания законов движения Вы должны использовать 3 модели:

равномерное вращение

\varphi = \omega_0 t;\qquad (1)

вращение с постоянным ускорением

\varphi = \omega_0 t - \dfrac{\beta t^2}{2};\qquad (2)

экспоненциальное затухание

\omega = \omega_0 \exp(-\gamma t).\qquad (3)

Будем считать, что модель применима, если она описывает закон движения с погрешностью, не превышающей 10%. Модель равномерного движения рассматривается только на начальном этапе вращения (время от нуля и до…)

Все измерения проведите в двух случаях:
А) «быстрое» вращение, когда начальная угловая скорость превышает 0,5 оборота/с:
Б) «медленное» вращение, когда начальная угловая скорость меньше 0,2 оборота/с.
Рекомендуем в случае А) проводить измерен времен каждого оборота; в случае Б) можно засекать времена через каждые четверть оборота.

1 Проведите измерения угла поворота воды в банке от времени: для случаев «быстрого» и «медленного» вращений. Постройте графики полученных зависимостей.

Предложите для каждой описанной модели движения такой график, который позволяет выделить область применимости этой модели.

2 Постройте графики, позволяющие выделить области применимости каждой из трех оговоренных моделей. Выделите диапазоны угловых скоростей, в которых данная модель применима. Определите параметры формул, описывающих движение воды.

3 Укажите, какая модель описывает движение в наибольшем диапазоне углов поворота.

4 Оцените погрешность определения параметра $\gamma$ в модели (3) в диапазоне применимости этой модели. Укажите физический смысл этого параметра.

Решение

Задание 11-1. Подбери зависимость!

1. Результаты измерений зависимостей угла поворота жидкости от времени приведены в таблицах и соответствующих графиках.

Таблица 1. «Быстрое» вращение.

t, с	$φ$	$φ/t$	$ω$	$\lnω$
0	0
2,33	1	0,43	0,458	−0,782
4,37	2	0,46	0,481	−0,732
6,49	3	0,46	0,409	−0,894
9,26	4	0,43	0,376	−0,978
11,81	5	0,42	0,326	−1,120
15,39	6	0,39	0,270	−1,308
19,21	7	0,36	0,239	−1,432
23,76	8	0,34	0,202	−1,597
29,09	9	0,31	0,156	−1,856
36,55	10	0,27	0,116	−2,154
46,32	11	0,24	0,274

Исходный график угла поворота от времени для быстрого вращения: все измеренные точки, оси, шкалы и заголовок.

Таблица 2. «Медленное» вращение.

t, с	$φ$ , кол. об.	$φ/t$	$ω$	$\lnω$
0	0
1,06	0,25	0,24	0,242	−1,421
2,07	0,5	0,24	0,281	−1,270
2,84	0,75	0,26	0,303	−1,194
3,72	1,00	0,27	0,281	−1,270
4,62	1,25	0,27	0,250	−1,386
5,72	1,5	0,26	0,221	−1,509
6,88	1,75	0,25	0,226	−1,486
7,93	2,00	0,25	0,200	−1,609
9,38	2,25	0,24	0,186	−1,683
10,62	2,50	0,24	0,193	−1,645
11,97	2,75	0,23	0,235

Исходный график угла поворота от времени для медленного вращения: все точки, шкалы и заголовок.

В таблицах также посчитаны угловые скорости вращения воды в сосуде $\omega$ . Расчеты этой величины проведены по симметрично схеме:

\omega(t_k)=\frac{\varphi_{k+1}-\varphi_{k+1}}{t_{k+1}-t_{k+1}}

2. Чтобы выделить области применимости модели, полученные зависимости необходимо линеаризовать.

Так область применимости модели равномерного движения определяется видом построенных графиков: им соответствуют диапазоны, где эти зависимости можно считать линейными и проходящими через начало координат. С этой точки зрения дя быстрого вращения является область первых 10 с. Для медленного вращения в пределах погрешности измерения такой областью можно считать весь временной диапазон.

Для проверки модели равноускоренного движения можно построить зависимость угловой скорости от времени, которая теоретически описывается линейной функцией $\omega=\omega_0-\beta t$ . Ниже приведены графики этих зависимостей.

Исходный график угловой скорости от времени для быстрого вращения: измеренные точки, линия, шкалы и заголовок.

Исходный график угловой скорости от времени для медленного вращения: измеренные точки, линия, шкалы и заголовок.

Из этих графиков следует, что:
При быстром вращении модель не применима потому, что четка видна нелинейность зависимости;
При медленном вращении малость изменения угловой скорости (вспомните, движение почти равномерное) не позволяет на фоне неизбежных ошибок измерения выделить линейный участок.
Для проверки модели экспоненциального затухания надо построить полученную зависимость в полулогарифмическом масштабе. Что сделано на следующем рисунке.

Этот график свидетельствует, что эта модель хорошо описывает быстрое движение жидкости практически во всем диапазоне.

Исходный график угловой скорости в логарифмическом масштабе: полная шкала, все точки и напечатанная линия y = −0,0421x − 0,619.

3. Таким образом, быстрое вращение лучше всего описывается моделью экспоненциально затухания. Медленное вращение – моделью равномерного движения.

4. Параметр этой модели $\gamma=-0{,}042\,\text{с}^{-1}$ есть постоянная затухания. Погрешность найденного значения 8%. Наиболее наглядный смысл имеет обратная величина – имеющая смысл характерного времени затухания.

Оригинал в Архива: G_2022_E11_usloviya.pdf · официални решения: G_2022_E11_reshenie.pdf